（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量 的重要性灵活选取。
（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。
例如：并 t 不t0时反刻映e系(t0统)很性大能，的但好误坏差。在系统开始前形成，
Q(t)可开始取值小，而后取值大
第6章 线性二次型的最优控制
线性二次型问题的本质： 用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。
)]dt
0
(0 4)
其中g和r都是正的常数。因此在目前情况下，最 优控制问题是：找u(t)的变化规律．使槽中液体
经I小时后从0℃上升到40℃ ，并要求散失的热 量最小，即方程(4）中J(u)取最小值。
第6章 线性二次型的最优控制
2. 最优化问题的分类
静态最优化问题。最优化问题的解不随时间t的变化而变化，则 称为静态最优化(参数最优化)问题。
解：因假定槽中液体处于完全混合状态，故可用x(t)表示其温度。由热力学可知，
槽中液体温度的变化率与温差[u(t)一x(t)]成正比，为简便计，令比例系数为1，于
是有
dx(t) u(t) x(t)
(0 3)
dt
在1小时内散失掉的热量可用下式表示：
J (u)
1
[qx
2
(t
)

ru
2
(t
(5 1)
初始条件 x(t0 ) x0,终端时间 t
假设控制向量 u(t) 不受约束 ，求最优控制 u*(t) ，使系统的二次型
性能指标取极小值。
J
(u)

1 2
xT
(t
f
)Fx(t
f
)

1 2
t f [xT (t)Q(t)x(t) u(t)T R(t)u(t)]dt
t0
(5 4)
第6章 线性二次型的最优控制
2. 最优控制问题的数学模型 用以下4个方程来描述 (1)给定系统的状态方程
x(t) f [x(t), u(t), t]
(0 8)
(2)状态方程的边界条件
t t0 t tf
x(t0 ) x0 x(t f ) S
(0 9)
(3)给定性能指标
第6章 线性二次型的最优控制
2) 直接法(数值解法)
对于目标函数较为复杂或无明确的数学表达式或无法用解析法求解 的最优化问题，通常可采用直接法(数值解法)来解决。
直接法的基本思想，就是用直接搜索方法经过—系列的迭代以产生
点的序列(简称点列)，使之逐步接近到最优点。直接法常常是根据经验
或试验而得到的。
解决方法：线性规划和非线性规划法。
动态最优化问题。如果最优化问题的解随时间t的变化而变化， 即变量是时间t的函数，则称为动态最优化(最优控制)问题。
解决方法：动态规划和最大值原理。
其它分类：无约束与有约束 确定性和随机性 线性和非线性
第6章 线性二次型的最优控制
3. 最优化问题的解法
1) 间接法(又称解析法)
线性二次型问题的三种重要情形：
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t) y(t) C(t)x(t)
e(t) yr (t) y(t) (5 2)
(5 1)
1) C(t) I yr (t) 0 y(t) x(t) e(t)
状态调节器
2) yr (t) 0 y(t) e(t) 输出调节器
J (u) [x(t f ),t f ]
tf t0
L[x(t),u(t),t]dt
(0 10)
(4)允许控制域 u(t)
u(t) U
(0 11)
终端确状定态一x(个tf) 最，优并控使制性u能*(指t)，标使J(系u)统具从有初极始大状（态极x小(t0）)，值转。移到
第6章 线性二次型的最优控制
第6章 线性二次型的最优控制
4. 最优控制问题
最优控制问题的实质，就是求解给定条件下给定系统的 控制规律，致使系统在规定的性能指标(目标函数)下具有最 优值。
限制条件
初始状态
控制装置 控制作用
性能最好
受控对象
要求状态
第6章 线性二次型的最优控制
1. 最优控制问题的性能指标 (1)积分型性能指标
(拉格朗日型)
1956~1958年，庞特里亚金创立“最大值原理”。 它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程碑。对 于“最大值原理”，由于放宽了有关条件的使得许多古典变分法和动态 规划方法无法解决的工程技术问题得到解决，所以它是解决最优控制问 题的一种最普遍的有效的方法。同时，庞特里亚金在《最优过程的数学 理论》著作中已经把最优控制理论初步形成了一个完整的体系。
第6章 线性二次型的最优控制
最优控制的发展简史： 先期工作：
1948年，维纳(N.Wiener)发表《控制论》，引 进了信息、反馈和控制等重要概念，奠定了控 制论(Cybernetics)的基础。并提出了 相对于某 一性能指标进行最优设计的概念。
1954年，钱学森编著《工程控制论》，作者系
1. 最优控制理论的发展
现代控制理论是研究系统状态的控制和观测的理论，主 要包括5个方面： 线性系统理论：研究线性系统的性质，能观性、能控性 、稳定性等。 系统辨识：根据输入、输出观测确定系统的数学模型。 最优控制：寻找最优控制向量u(t) 最佳滤波（卡尔曼滤波）：存在噪声情况下，如何根据 输入、输出估计状态变量。 适应控制：参数扰动情况下，控制器的设计
此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作 ，还有不等式约束条件下的非线性最优必要条件(库恩—图克定理) 以及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。
第6章 线性二次型的最优控制
经典控制理论设计控制方法
幅值裕量、相位裕量（频率指标） 上升时间、调节时间、超调量（时域 指标）
特点：系统的控制结构是确定的，控制参数设计 一般采用试凑方法，不是最优结果。
第6章 线性二次型的最优控制
6.1 线性二次型问题
线性二次性问题的提法：
设线性时变系统的状态方程为
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t) y(t) C(t)x(t)
(5 1)
假设控制向量 u(t)不受约束 ，用 yr (t)表示期望输出，则误差向量为
e(t) yr (t) y(t) (5 2)
求最优控制 u*(t) ，使下列二次型性能指标最小。
J
(u)

1 2
eT
(t
f
)Fe(t
f
)

1 2
t f [eT (t)Q(t)e(t) u(t)T R(t)u(t)]dt
t0
F — 半正定对称常数加权矩阵
(5 3)
Q(t) — 半正定对称时变加权矩阵
R(t) — 正定对称时变加权矩阵
第6章 线性二次型的最优控制
《最优控制》 线性二次型最优控制
西华大学电气信息学院
第6章 线性二次型的最优控制
什么是最优控制？
寻找容许控制作用（规律），使动态系统 （受控对象）从初始状态转移到某种要求的 终端状态，且保证所规定的性能指标（目标 函数）取最大（最小）值。
第6章 线性二次型的最优控制
对于目标函数及约束条件具有简单而明确的数学解析表 达式的最优化问题，通常可采用间接法(解析法)来解决。
其求解方法是先按照函数极值的必要条件，用数学分析 方法(求导数方法或变分方法)求出其解析解，然后按照充分 条件或问题的实际物理意义间接地确定最优解。
间接法 (解析法)
无约束法 有约束法
经典微分法 经典变分法 极大值法 库恩-图克法
菲波纳奇（Fibonacci）法
区间消去法
黄金分割(0.618)法
(一维搜索)
函数逼近法（插值法）
直接法
(数值解法)
变量加速法
爬山法
步长加速法
(多维搜索)
方向加速法
单纯形及随机搜索法
第6章 线性二次型的最优控制
3) 以解析法为基础的数值解法。解析与数值计算相结合的方法。 4) 网络最优化方法。以网络图作为数学模型，用图论方法进行投索 的寻优方法。
统地揭示了控制论对自动化、航空、航天、电 子通信等科学技术的意义和重大影响。 其中“最优开关曲线”等素材，直接促进了最 优控制理论的形成和发展。
第6章 线性二次型的最优控制
理论形成阶段：
1953~1957年，贝尔曼(R.E.Bellman)创立“动态规划”原理。 为了解决多阶段决策过程逐步创立的，依据最优化原理，用一组基本的 递推关系式使过程连续地最优转移。“动态规划”对于研究最优控制理 论的重要性，表现于可得出离散时间系统的理论结果和迭代算法。
3) yr (t) 0 e(t) yr (t) y(t) 跟踪问题
第6章 线性二次型的最优控制
6.2 状态调节器问题
终端时间 t ,有限时间问题
终端时间 t ,无限时间问题
6.2.1 有限时间状态调节器问题 设线性时变系统的状态方程为
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
t0
(5 3)
性能
Q(t)e(t)

0
—
状态转移过程中衡量e(t)大小的代价函数
Lu

1 2
u(t)T
R(t)u(t)

0—
状态转移过程中衡量u(t)大小的代价函数
(t
f
)

1 2
e(t
f
)T
Fe(t
f
)

0
—
终端代价函数（衡量终点误差）
加权矩阵的意义：