2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷（五）数学（解析版）第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z ＝1－i 32－a i为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．22．已知集合A ＝{x |12log x ≥－1}，B ＝{x |y ＝－x 2－x ＋2}，则A ∩B ＝( )A ．{x |0<x ≤1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |－1≤x ≤2}D ．{x |x ≤1}3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则n ∥β的一个充分条件是( ) A ．m ⊥β，且m ⊥n B ．m ∥β，且m ∥n C ．α⊥β，且n ⊥α D ．α∥β，且n ⊂α4．由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，定义个位数字比十位数字大、千位数字是偶数、百位数字为奇数的没有重复数字的四位数为“特征数”．从组成的所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个四位数是“特征数”的概率为( )A.320B.310C.35D.255．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线l 的方程为y ＝kx －1，则切线l 与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.12B. 14 C ．2 D ．46．已知在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1D ，AC 上的点，且满足A 1D ＝3MD ，AN ＝2NC ，则异面直线MN 与C 1D 1所成角的余弦值为( )A.255B.55C.33D.247．已知T (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p >0)上异于顶点的一动点，过定点⎝⎛⎭⎫－p2，0的直线l 交抛物线于不同的两点M ，N ，若直线TM ，TN 的斜率之和k TM ＋k TN ＝2，则y 0的值为( )A.p2 B ．p C.3p2D ．2p 8．若函数f (x )＝－mx ＋e x －2恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(1，e) B.⎝⎛⎭⎫1e ，1 C.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ D ．(e ，＋∞)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．近年来，我国国内文化和旅游市场潜力不断释放，大众出游热情持续高涨，行业发展整体呈好的趋势，以下为2011—2019年我国国内旅游收入情况统计图．根据统计图，下列结论正确的是( )A ．与2018年相比，2019年国内旅游收入增幅约为19.61%B ．2011—2019年国内旅游收入的中位数为3.4万亿元C ．2011—2019年国内旅游收入的平均数约为3.5万亿元D ．若每年国内旅游收入y (万亿元)与年份x 线性相关，且满足y ＝b (x －2 010)＋1.205，则估计2020年的国内旅游收入为7.2万亿元10．已知⎝⎛⎭⎫2x －1x n 的二项展开式中二项式系数之和为256，则下列结论正确的是( )A ．x 2项的系数为560B ．二项展开式中没有常数项C ．各项系数之和为1D ．各项系数中的最大系数为89611．我们定义这样一种运算“⊗”：①对任意a ∈R ，a ⊗0＝0⊗a ＝a ；②对任意a ，b ∈R ，(a ⊗b )⊗c ＝c ⊗(ab )＋(a ⊗c )＋(b ⊗c )．若f (x )＝e x －1⊗e 1－x ，则以下结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称B ．f (x )在R 上单调递减C ．f (x )的最小值为3D ．f (232)>f (322)>f ⎝⎛⎭⎫log 319 12．若f (x )＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋|sin x |，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为π B ．f (x )的最大值为 2C ．f (x )的最小值为22D ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(2,4)，a －b ＝(－2,0)，则向量a ，b 的夹角为________．14．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－2,0)作垂直于x 轴的直线l ，并与双曲线的渐近线交于M ，N 两点，且△MON 为等边三角形，则该双曲线的标准方程为________．15．在三棱锥P - ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝2，P A ＝PB ＝2，PC ＝3，则三棱锥P - ABC 的外接球的半径为________．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为12，公差为14的等差数列．若[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.5]＝0，[lg 499]＝2，则a n ＝________；数列{[lg a n ]}的前2 000项的和为________．(本题第一空2分，第二空3分．)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在①c ＝1，②b ＝7，③△ABC 外接圆的面积为4921π这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并给出解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝277，________.(1)求角B ；(2)若P 为△ABC 内一点，P A ⊥PB ，∠APC ＝150°，求tan ∠P AB .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2S n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }中，a 1＝2b 1＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)若b 2n ＝b 2n －1＋1，b 2n ＋1＝b 2n ＋a n ，求数列{b n }的前10项和．19．(12分)某电商平台2019年“双十一”的销售额为2 684亿元，为了预测该电商平台在以后“双十一”的销售情况，某部门对该电商平台近10年(2010—2019年)“双十一”的销售额进行了统计，得到下面的散点图以及一些统计量的值(2010年到2019年的年份依次用数字1到10来表示)．(1)以年份编号x 为解释变量，销售额y 为预报变量，在y ＝bx ＋a 和y ＝cx 2＋d中选择一个你认为比较合适的回归模型，并求出该模型(小数点后保留一位有效数字)；(2)根据你得到的模型，计算该电商平台2019年“双十一”的销售额的估计值与2019年实际销售额的误差，并预测该电商平台2020年“双十一”的销售额．附：参考数据：∑i ＝110x i y i ＝77 000，y＝960，∑i ＝110x 2i ＝385，∑i ＝110t i y i ＝654 000，t ＝38.5，∑i ＝110t 2i ＝25 333，其中t i ＝x 2i ，t ＝110∑i ＝110x 2i .参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1nu i v i －n u － v－∑i ＝1nu 2i －n u2，α^＝v －β^u .20．(12分)如图，在多面体ABCDP 中，△ABC 是边长为4的等边三角形，P A ＝AC ，BD ＝CD ＝22，PC ＝PB ＝42，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC .(1)求证：DE ∥平面P AC .(2)线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T - DA - B 为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．21.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1和椭圆C 2：x 2c 2＋y 2b2＝1，其中a >c >b >0，a 2＝b 2＋c 2，C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，且满足e 1︰e 2＝2︰ 3.A ，B 分别是椭圆C 2的右、下顶点，直线AB 与椭圆C 1的另一个交点为P ，且|PB |＝185.(1)求椭圆C 1的方程；(2)与椭圆C 2相切的直线MN 交椭圆C 1于点M ，N ，求|MN |的最大值．22．(12分)已知函数f (x )＝2mx 2－nx ＋ln x 在x ＝1处取得极值． (1)若f (x )在(0,1]上单调递增，求m 的取值范围； (2)若f (x )在(0，e]上的最大值为1，求m 的值．五1．答案：D解析：由z ＝1－i 32－a i ＝1＋i2－a i＝(1＋i )(2＋a i )(2－a i )(2＋a i )＝2＋a i ＋2i －a4＋a 2 ＝2－a ＋(2＋a )i 4＋a 2为纯虚数，可得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2＋a ≠0，解得a ＝2，故选D.2．答案：A解析：由对数函数的性质及12log x ≥－1＝12log 2，解得0<x ≤2，所以A ＝{x |12log x ≥－1}＝{x |0<x ≤2}．由二次根式有意义的条件可得－x 2－x ＋2≥0，得到x 2＋x －2≤0，解得－2≤x ≤1，所以B ＝{x |y ＝－x 2－x ＋2}＝{x |－2≤x ≤1}．所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．故选A. 3．答案：D解析：A ，B ，C 选项都有可能得到n ⊂β，故均不正确；对于D ，由α∥β，且n ⊂α可得n ∥β，故α∥β，且n ⊂α是n ∥β的充分条件．故选D.4．答案：A解析：由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，共有A 46＝6×5×4×3＝360(个)．第一步，考虑千位数字，情况有C 13＝3(种)；第二步，考虑百位数字，情况有C 13＝3(种)；第三步，同时考虑个位数字和十位数字，情况有C 24＝6(种)，故共有3×3×6＝54(种)．从所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个数是“特征数”的概率为54360＝320.故选A.5．答案：B解析：由f (x )＝x ＋ln x ，得f ′(x )＝1＋1x，则f ′(x 0)＝1＋1x 0＝k ，得x 0＝1k －1.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝1k －1＋ln 1k －1＝k k －1－1，得ln1k －1＝0，即k ＝2. 所以切线l 的方程为y ＝2x －1，令x ＝0，得到y ＝－1，令y ＝0，得到x ＝12，所求三角形面积为12×12×|－1|＝14，故选B.6．答案：A解析：解法一：取线段AD 上一点E ，使AE ＝2ED ， 连接ME ，NE ，如图所示．因为A 1D ＝3MD ，AN ＝2NC ，所以MD A 1D ＝CN AC ＝DE AD ＝13，所以NE ∥CD ，ME ∥AA 1.又CD ∥C 1D 1，所以易知∠MNE 为异面直线MN 与C 1D 1所成的角． 设该正方体的棱长为3a ，则EN ＝23CD ＝2a ，ME ＝13AA 1＝a ，所以在Rt △MNE 中， MN ＝ME 2＋EN 2＝a 2＋(2a )2＝5a ，所以cos ∠MNE ＝EN MN ＝2a 5a ＝255，故选A.解法二：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 设AB ＝3，则由A 1D ＝3MD ，AN ＝2NC ，得C 1(0,3,3)，D 1(0,0,3)，M (1,0,1)，N (1,2,0)，所以C 1D 1→＝(0，－3,0)，MN →＝(0,2，－1)，则cos 〈C 1D 1→，MN →〉＝C 1D 1→·MN →|C 1D 1→|·|MN →|＝－635＝－255，所以异面直线MN 与C 1D 1所成角的余弦值为255，故选A. 7．答案：B解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋p2(k ≠0)， 代入抛物线方程y 2＝2px 中， 消去x 可得y 2－2pk y ＋p 2＝0，则由Δ＝⎝⎛⎭⎫－2pk 2－4p 2>0， 得到－1<k <1且k ≠0，y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝p 2.则k TM ＋k TN ＝y 1－y 0x 1－x 0＋y 2－y 0x 2－x 0＝y 1－y 0y 212p －y 202p ＋y 2－y 0y 222p －y 202p ＝2p y 1＋y 0＋2p y 2＋y 0 ＝2p (y 1＋y 2＋2y 0)y 1y 2＋(y 1＋y 2)y 0＋y 20＝2p ⎝⎛⎭⎫2pk ＋2y 0p 2＋2p k y 0＋y 20＝2，得2p 2k ＋2py 0＝p 2＋2pky 0＋y 20， 即p 2＋2p k y 0＋y 20－2p 2k－2py 0＝0，得到(y 0－p )(y 0＋2pk －p )＝0，所以y 0＝p .故选B. 8．答案：C解析：解法一：由题意知，f ′(x )＝－m ＋e x －2，当m ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )在R 上单调递增，没有两个不同的零点．当m >0时，由f ′(x )＝－m ＋e x －2＝0，得x ＝2＋ln m ．x >2＋ln m ，f ′(x )>0，函数f (x )在(2＋ln m ，＋∞)上单调递增；x <2＋ln m ，f ′(x )<0，函数f (x )在(－∞，2＋ln m )上单调递减．故f (x )在x＝2＋ln m 处取得最小值，所以f (2＋ln m )＝－m (2＋ln m )＋e ln m <0，得m >1e ，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，故选C.解法二：显然，x ＝0不是函数f (x )的零点，令f (x )＝－mx ＋e x －2＝0，得m ＝e x －2x ，构造函数g (x )＝e x －2x ，则g ′(x )＝e x －2(x －1)x 2，令g ′(x )>0得到x >1，令g ′(x )<0得到x <1且x ≠0，画出函数g (x )＝e x －2x 的图象，如图所示，可知当m ≤0时，直线y ＝m 与g (x )的图象不可能有两个交点；当m >0，且x ＝1时g (x )＝e x －2x 取得最小值，所以g (x )min ＝g (1)＝1e .当m >1e 时，g (x )＝e x －2x的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即函数f (x )＝－mx ＋e x －2恰有两个不同的零点，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，故选C.9．答案：AB解析：选项A ，由图可知，2019年国内旅游收入比2018年增长了1万亿元，增幅约为15.1×100%≈0.196 1×100%＝19.61%，故A 选项正确；选项B ，将2011—2019年这九年的国内旅游收入的金额按照由小到大的顺序排列，可得中位数是3.4万亿元，故B 选项正确；选项C,2011—2019年国内旅游收入的平均数约为1.9＋2.3＋2.6＋3.3＋3.4＋3.9＋4.6＋5.1＋6.19≈3.69(万亿元)，故C 选项不正确；选项D ，由题意可得x＝2 011＋2 012＋2 013＋2 014＋2 015＋2 016＋2 017＋2 018＋2 0199＝2 015，将(2 015,3.69)代入y ＝b (x －2010)＋1.205，得5b ＋1.205＝3.69，可得b ＝0.497，所以y ＝0.497(x －2 010)＋1.205，将x ＝2 020代入，可得y ＝6.175，D 选项不正确．故选AB.10．答案：BC解析：由题意可得C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝256，所以n ＝8，故⎝⎛⎭⎫2x －1x n的二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8(2x )8－r⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 828－r 38-2x r.令8－3r 2＝2，可得r ＝4，所以x 2的系数为(－1)4C 4824＝1 120，A 项不正确；因为8－3r2不可能等于0，所以二项展开式中没有常数项，B 项正确；令x ＝1，则各项系数之和为1，C 项正确；由⎩⎪⎨⎪⎧|(－1)r C r 828－r |≥|(－1)r ＋1C r ＋1827－r|，|(－1)r C r 828－r |≥|(－1)r －1C r －1829－r|，得2≤r ≤3，当r ＝2时，系数为1 792，当r ＝3时，系数为－1 792，D 项不正确．故选BC.11．答案：AC解析：对任意a ，b ∈R ，(a ⊗b )⊗c ＝c ⊗(ab )＋(a ⊗c )＋(b ⊗c )，令c ＝0，得(a ⊗b )⊗0＝0⊗(ab )＋(a ⊗0)＋(b ⊗0)，得(a ⊗b )⊗0＝a ⊗b ＝ab ＋a ＋b ，所以f (x )＝e x －1⊗e 1－x ＝e x －1＋e 1－x ＋1.f (1－x )＝e －x ＋e x ＋1，f (1＋x )＝e －x ＋e x ＋1，所以f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，A 项正确；f ′(x )＝e x －1－e 1－x ，当x >1时，f ′(x )>0，当x <1时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，B 项不正确；f (x )＝e x －1＋e 1－x ＋1≥2e x －1·e 1－x ＋1＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，C 项正确；根据f (x )的图象关于直线x ＝1对称，得f ⎝⎛⎭⎫log 319＝f (log 381)，又f (x )在(1，＋∞)上单调递增，log 381＝4,1<232<322<4，所以f (232)<f (322)<f (log 381)，所以f (232)<f (322)<f ⎝⎛⎭⎫log 319，故D 项错误．故选AC. 12．答案：ACD解析：研究f (x )在[0，π)上的情况，易得f (x )＝|sin x －cos x |＋|sin x |＝⎩⎨⎧cos x ，x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4，2sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎭⎫π4，π.因为y ＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4和y ＝|sin x |的最小正周期均为π，所以f (x )＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋|sin x |的最小正周期为π，故A 正确；当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，f (x )单调递减，f (x )∈⎝⎛⎦⎤22，1.当x ∈⎣⎡⎭⎫π4，π时，f (x )＝2sin x －cos x ＝5sin(x －φ)，其中tan φ＝12，因为tan φ＝12<1，所以可设φ∈⎝⎛⎭⎫0，π4.由0≤x －φ≤π得φ≤x ≤π＋φ.又π<π＋φ<5π4，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，所以f (x )max ＝5，f (x )min ＝22，所以B 错误，C 正确；因为⎝⎛⎭⎫π4，π2⊆⎣⎡⎭⎫π4，π2＋φ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增，所以D 正确．故选ACD. 13．答案：π4解析：将a ＋b ＝(2,4)，a －b ＝(－2,0)相加，得a ＝(0,2)，相减，得b ＝(2,2)，故cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝42×22＝22，则a ，b 的夹角为π4. 14．答案：x23－y 2＝1解析：解法一：由于△MON 为等边三角形，且双曲线的渐近线关于x 轴对称，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，则可设双曲线的方程为x 23m －y 2m＝1(m >0)，则有4＝3m ＋m ＝4m ，解得m ＝1，所以该双曲线的标准方程为x23－y 2＝1.解法二：由于△MON 为等边三角形，且双曲线的渐近线关于x 轴对称，所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150°，故b a ＝33.又c 2＝22＝a 2＋b 2，所以a 2＝3，b 2＝1，所以该双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1.15．答案：133解析：如图，取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，根据AB ＝AC ＝BC ＝2，P A ＝PB ＝2， 得CD ⊥AB ，PD ⊥AB ，且CD ＝PD ＝3，又PC ＝3，所以△PDC 是正三角形，∠PDC ＝60°.设三棱锥P - ABC 的外接球球心为O ，易知O 在△PDC 内部， 过点O 作OE ⊥CD 于点E ，OF ⊥PD 于点F ， 连接OB ，BE ，OD ，则点E ，F 分别是△ABC ，△P AB 的外接圆圆心，且OE ＝OF . 在Rt △ODE 中，∠ODE ＝30°，DE ＝13CD ＝33，所以OE ＝33DE ＝13.在Rt △DBE 中，BE ＝⎝⎛⎭⎫332＋12＝233.设球O 的半径为R ，则R 2＝OE 2＋BE 2＝19＋129＝139，得R ＝133.16．答案：n2 3 782解析：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为12，公差为14的等差数列，所以S n n ＝12＋(n －1)×14＝n ＋14，得S n ＝n 2＋n 4，当n ＝1时，a 1＝S 1＝24＝12；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 4－(n －1)2＋(n －1)4＝n 2.又a 1＝12也适合上式，所以a n ＝n2(n ∈N *)，所以[lg a n ]＝⎣⎡⎦⎤lg n 2， 数列{[lg a n ]}的前2 000项和为[lg a 1]＋[lg a 2]＋[lg a 3]＋…＋[lg a 2 000]． 当n ＝1时，－1≤lg a n <0；当n ＝2,3,4，…，19时，0≤lg a n <1； 当n ＝20,21,22，…，199时，1≤lg a n <2； 当n ＝200,201,202，…，1 999时，2≤lg a n <3； 当n ＝2 000时，lg a n ＝3. 故数列{[lg a n ]}的前2 000项和为 [lg a 1]＋[lg a 2]＋[lg a 3]＋…＋[lg a 2 000]＝－1×1＋18×0＋1×180＋2×1 800＋3＝3 782. 17．解析：(1)若选择①②， 因为cos A ＝277，c ＝1，b ＝7，所以由余弦定理得a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ＝4，所以a ＝2，所以cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－12，所以B ＝120°. 若选择①③，因为cos A ＝277，所以sin A ＝ 1－47＝217. 设△ABC 的外接圆的半径为r ，由正弦定理得r ＝a 2sin A， 因为△ABC 外接圆的面积为4921π， 所以⎝⎛⎭⎫a 2sin A 2π＝4921π，所以a ＝2.由余弦定理得a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ＝4，所以b 2－477b －3＝0， 所以b ＝7或b ＝－377(舍去)， 所以cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－12，B ＝120°. 若选择②③，因为cos A ＝277，所以sin A ＝1－47＝217. 设△ABC 的外接圆的半径为r ， 由正弦定理得r ＝a 2sin A， 因为△ABC 外接圆的面积为4921π， 所以⎝⎛⎭⎫a 2sin A 2π＝4921π，所以a ＝2.由余弦定理得4＝c 2＋7－4c ，解得c ＝1或c ＝3，所以cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－12或12，B ＝120°或60°. (2)选择①②或①③时，解法如下：由题意知∠BPC ＝120°，设∠P AB ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBC 中，∠BCP ＝180°－120°－[120°－(90°－α)]＝30°－α，由正弦定理得2sin 120°＝sin αsin (30°－α)， 所以2sin(30°－α)＝32sin α， 2sin 30°cos α－2cos 30°sin α＝32sin α， 即cos α＝332sin α，所以tan α＝239， 即tan ∠P AB ＝239. 选择②③时解法如下：当∠ABC ＝120°时，由题意知∠BPC ＝120°，设∠P AB ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBC 中，∠BCP ＝180°－120°－[120°－(90°－α)]＝30°－α，由正弦定理得2sin 120°＝sin αsin (30°－α)， 所以2sin(30°－α)＝32sin α， 2sin 30°cos α－2cos 30°sin α＝32sin α， 即cos α＝332sin α，所以tan α＝239， 即tan ∠P AB ＝239. 当∠ABC ＝60°时，同理得∠BCP ＝180°－120°－[60°－(90°－α)]＝90°－α，则由正弦定理得2sin 120°＝3sin αsin (90°－α)， 所以tan α＝439， 即tan ∠P AB ＝439. 18．解析：(1)由S n ＝2S n －1＋2(n ≥2)， ①可得S n －1＝2S n －2＋2(n ≥3)， ②①－②得：S n －S n －1＝2(S n －1－S n －2)，所以a n ＝2a n －1(n ≥3)，又a 2＋a 1＝2a 1＋2，a 1＝2，所以a 2＝4，所以a 2＝2a 1，故{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n .(2)由题意得b 2n －b 2n －1＝1，b 2n ＋1－b 2n ＝2n ，所以b 2n ＋1－b 2n －1＝1＋2n ，则b 2n －1－b 2n －3＝1＋2n －1，b 2n －3－b 2n －5＝1＋2n －2，…，b 5－b 3＝1＋22，b 3－b 1＝1＋21，所以b 2n －1－b 1＝n －1＋(21＋22＋…＋2n －1)＝n －1＋2(1－2n －1)1－2＝2n ＋n －3(n ≥2)， 所以b 2n －1＝2n ＋n －2(n ≥2)，所以b 2n ＝2n ＋n －1(n ≥2)，所以b 2n ＋b 2n －1＝2n ＋1＋2n －3(n ≥2)，易得b 1＋b 2也适合上式，所以{b n }的前10项和为b 1＋b 2＋…＋b 9＋b 10＝(22＋23＋…＋26)＋(－1＋1＋…＋7)＝139.19．解析：(1)由散点图可知，选择回归模型y ＝cx 2＋d 比较合适．令t ＝x 2，则c ^＝∑i ＝110t i y i －10t ·y∑i ＝110t 2i －10t2＝654 000－10×38.5×96025 333－10×38.5×38.5≈27.1，d^＝y－c^·t≈960－27.1×38.5≈－83.4，于是回归模型为y^＝27.1x2－83.4.(2)令x＝10，得y^＝27.1×102－83.4＝2 626.6，又2 626.6－2 684＝－57.4，所以该电商平台2019年“双十一”的销售额的估计值与2019年实际销售额的误差为57.4亿元．令x＝11，得y^＝27.1×112－83.4＝3 195.7，故预测该电商平台2020年“双十一”的销售额为3 195.7亿元．20．解析：(1)证明：因为BD＝CD＝22，△ABC是边长为4的等边三角形，所以BD2＋CD2＝(22)2＋(22)2＝16＝BC2，所以△BDC是等腰直角三角形，∠BDC＝90°.又点E为BC的中点，所以DE⊥BC.因为平面BDC⊥平面ABC，平面BDC∩平面ABC＝BC，所以DE⊥平面ABC.因为PC＝PB＝42，P A＝AC＝AB＝4，所以P A2＋AC2＝42＋42＝32＝PC2，P A2＋AB2＝42＋42＝32＝PB2，所以△P AB与△P AC都是直角三角形，故P A⊥AC，P A⊥AB.又AC∩AB＝A，所以P A⊥平面ABC，所以DE∥P A.因为P A⊂平面P AC，DE⊄平面P AC，所以DE∥平面P AC.(2)连接AE，以E为原点，EC，EA，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,23，0)，B(－2,0,0)，C(2,0,0)，D(0,0,2)，设存在T(λ，0,0)，使得二面角T -DA -B为直二面角，易知－2≤λ≤2，且λ≠0.设平面BAD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则由BD→＝(2,0,2)，AD→＝(0，－23，2)，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋z 1＝0，－3y 1＋z 1＝0，令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝33， 故n 1＝⎝⎛⎭⎫－1，33，1. 设平面TAD 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则由DT →＝(λ，0，－2)，AT →＝(λ，－23，0)，得⎩⎪⎨⎪⎧λx 2－2z 2＝0，λx 2－23y 2＝0，令z 2＝1，得x 2＝2λ，y 2＝33， 故n 2＝⎝⎛⎭⎫2λ，33，1. 由cos 〈n 1，n 2〉＝－2λ＋33×33＋173× 43＋4λ2＝0， 得13－2λ＋1＝0，故λ＝32. 所以当T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点时，二面角T - DA - B 为直二面角．21．解析：(1)由题意知e 1＝c a ，e 2＝c 2－b 2c ＝2c 2－a 2c . 因为e 1︰e 2＝2︰3，所以3·c a ＝2·2c 2－a 2c， 2a 2c 2－a 2＝3c 2，将等号两边同时平方，得3c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，即(2a 2－c 2)(2a 2－3c 2)＝0，所以a 2＝32c 2. 又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝3b ，c ＝2b ，所以A (2b,0)，B (0，－b )，所以直线AB 的方程为y ＝22x －b ， 与椭圆C 1：x 23b 2＋y 2b2＝1联立并消去y ， 得x 2＋3⎝⎛⎭⎫22x －b 2＝3b 2， 整理得，52x 2－32bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝625b ， 所以P ⎝⎛⎭⎫62b 5，b 5. 因为|PB |＝185，所以 ⎝⎛⎭⎫625b －02＋⎝⎛⎭⎫b 5＋b 2＝185， 得b ＝3，所以a ＝3，椭圆C 1的方程为x 29＋y 23＝1. (2)当直线MN 的斜率不存在时，易得|MN |＝2.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，与椭圆C 2：x 26＋y 23＝1联立并消去y ， 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0，因为直线MN 与椭圆C 2相切，所以Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)＝0，整理得，6k 2＋3－m 2＝0.(*)将直线MN 与椭圆C 1的方程联立并消去y ，得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－9＝0，由(*)式可得Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2)(3m 2－9)＝12(9k 2＋3－m 2)＝36k 2， 设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则x M ＋x N ＝－6km 1＋3k 2，x M x N ＝3m 2－91＋3k 2， 所以|MN |＝1＋k 2|x M －x N | ＝1＋k 2·36k 21＋3k 2＝6k 4＋k 2(1＋3k 2)2. 设1＋3k 2＝t ，则t >1，|MN |＝6t 2＋t －29t 2＝2－2⎝⎛⎭⎫1t －142＋98≤322.因为2<322，所以当t ＝4，即k ＝±1时，|MN |最大，且最大值为322. 22．解析：(1)f (x )＝2mx 2－nx ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4mx －n ＋1x， 因为函数f (x )＝2mx 2－nx ＋ln x 在x ＝1处取得极值， 所以f ′(1)＝4m －n ＋1＝0，n ＝4m ＋1，所以f ′(x )＝4mx 2－(4m ＋1)x ＋1x. 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以易知m ＝0时符合题意，当m ≠0时，需(4m ＋1)2－16m >0，得m ≠14. 函数f (x )＝2mx 2－nx ＋ln x 在(0,1]上单调递增，即f ′(x )≥0在(0,1]上恒成立，所以4mx 2－(4m ＋1)x ＋1x≥0在(0,1]上恒成立， 即4mx 2－(4m ＋1)x ＋1≥0在(0,1]上恒成立．记g (x )＝4mx 2－(4m ＋1)x ＋1，x ∈(0,1]．当m ＝0时，g (x )＝1－x ≥0在(0,1]上恒成立．当m ≠0且m ≠14时， g (x )＝4mx 2－(4m ＋1)x ＋1＝(4mx －1)(x －1)，则g (x )≥0在(0,1]上恒成立可化为4mx －1≤0在(0,1]上恒成立．当m <0时，4mx －1≤0在(0,1]上恒成立，当m >0且m ≠14时， 4mx －1≤0在(0,1]上恒成立可化为x ≤14m在(0,1]上恒成立， 即1≤14m ，所以0<m <14. 综上，m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，14. (2)当m ＝0时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－x x， 所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， f (x )在(0，e]上的最大值为f (1)＝－1，不满足题意，所以m ≠0，此时f ′(x )＝4mx 2－(4m ＋1)x ＋1x. 令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝14m ，由(1)知m ≠14. 当m <0时，x 2＝14m<0， f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝ln 1＋2m －(4m ＋1)＝1，解得m ＝－1，符合题意．当m >0时，x 2＝14m>0， 若14m <1，即m >14， 则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，14m 上单调递增， 在⎣⎡⎭⎫14m ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增，所以最大值可能在x ＝14m或x ＝e 处取得， 而f ⎝⎛⎭⎫14m ＝ln 14m＋2m ⎝⎛⎭⎫14m 2－14m (4m ＋1) ＝ln 14m －18m－1<0， 所以f (e)＝ln e ＋2m e 2－e(4m ＋1)＝1，解得m ＝12e －4，符合题意． 若1<14m<e ，则f (x )在区间(0,1)上单调递增， 在⎣⎡⎭⎫1，14m 上单调递减， 在⎣⎡⎦⎤14m ，e 上单调递增，所以最大值可能在x ＝1或x ＝e 处取得，而f (1)＝ln 1＋2m －(4m ＋1)＝－2m －1<0，所以f (e)＝ln e ＋2m e 2－e(4m ＋1)＝1，解得m ＝12e －4，与1<14m <e 矛盾． 若14m≥e ，则f (x )在区间(0,1)上单调递增， 在(1，e]上单调递减，所以最大值在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋2m －(4m ＋1)＝－2m －1<0，故不满足题意．综上，m 的值为－1或12e －4.。