立体几何中的距离问题【要点精讲】1距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。
其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离•因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P',则线段PP的长度就是点到平面的距离；求法：①"一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
(2)等体积法。
直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。
求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形.若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。
异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a、b所成的角为，它们的公垂线AA '的长度为d，在a上有线段A' E = m , b上有线段AF = n，那么EF =、d2 m2 n2 2mncos (“土”符号由实际情况选定)点到面的距离的做题过程中思考的几个方面：①直接作面的垂线求解；②观察点在与面平行的直线上，转化点的位置求解；③观察点在与面平行的平面上，转化点的位置求解；④利用坐标向量法求解⑤点在面的斜线上，禾U用比例关系转化点的位置求解。
立体几何的高线做法①特殊图形的射影法；②一般图形的垂面法空间距离的求法：(特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则)(1)异面直线的距离：①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。
③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。
(2)点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。
(3)点到平面的距离求法：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②等体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。
④转化为平行直线上另一点到平面的距离；转化为平行平面上另一点到平面的距离；转化为与此相关的点到平面的距离，然后求出这两点到平面距离的比值；⑤利用向量法：d例如已知正方体ABCD- A 1B1C1D1的棱长为a，则异面直线BD与B i C的距离为__________ (答：—a )转化为平行平面距离•3练习(1)等边三角形 ABC 的边长为2 2 , AD 是BC 边上的高，将 ABD 沿AD 折起，使之与 ACD 所在平面成120的二面角，这时A 点到BC 的距离是(2) 点P 是120°的二面角a -l -B 内的一点，点P 到a 、B 的距离分别是3、4,则P 到|的(答：』)；2距离为（答:(3) __________________________ 在正方体ABCD —A i B i C i D i的侧面AB i内有一动点P到棱A iB i与棱BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为(答：抛物线弧)。
例如：如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD , AB= . 3 ,BC=i , PA=2 , E为PD的中点•在侧面PAB内找一点N，使NE丄面PAC,并求出N点到AB和AP的距离•解：在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,贝U ADF -.6连PF,则在Rt A ADF中DFAD 2 3 AL A7- “L33r厂/-XLJidi 1cos ADF 33设N为PF的中点，连NE，贝U NE//DF ,•/ DF 丄AC, DF 丄PA,• DF丄面PAC，从而NE丄面PAC.••• N点到AB的距离1 i-AP i , N点到AP的距离AF2 2 6 .⑶如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE = EB, F为CE上的点，且BF丄平面ACE .（I）求证：AE丄平面BCE ;（H）求二面角B-AC-E的大小；（川）求点D到平面ACE的距离。
答：（H）arcsd ”3 2.3 34.如图，正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1, E是A1B1的中点，贝U E到平面AB C1D1的距离为（B ）B. C. 1 D .仝2 2 3提示：E点转化为B1到平面的距离的一半。
5.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4 , BC=2 , CC1=3, BE=1.求点C到平面AEC1F 的距离.转化为B点到平面的距离.d c 3d b6、如图，正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1, O是底面A1B1C1D1的中心，贝U O到平面AB C1D1的距离为练习（1）长方体ABCD A1B1C1D1的棱AB AD 4cm, AA, 2cm，则点A,到平面AB1D1的距离等于__________（答呼）;距离为_______（2）在棱长为a的正方体ABCD-A 1B1C1D1中, M是AA1的中点，贝U A1到平面MBD的方法二：三线角法求解。
A 、丄2B 、C 、2D 、 3422提示：转化为B 1C 1的中点到平面 AB C 1D 1的距离。
7、如图，已知长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1, AB 2, AA 1, 直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30 , AE 垂直BD 于 E , F 为AB 的中点. (I)求异面直线AE 与BF 所成的角；(II )求平面BDF 与平面AAB 所成的二面角；(III )求点A 到平面BDF 的距离.解：在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴,AA 1所在的直线为z轴建立如图示空间直角坐标系由已知 AB 2,AA 1 1,可得 A(0,0,0), B(2,0,0)，F (1,0,1) 又AD 平面AA1B 1B ，从而 BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为 DBA 30，又 AB 2，AE BD ，AE 1,AD,D 0,- 3,03 Lu ur AEuuu ,BF1,0,1 所cos uuu uuuAE,BFtuur -AE BF易知异面直线AE 、BF 所成的角为 arccos —4uuu uuu AE BF1值，所以距离duu u ABuuu r cosAB, n uuu r AB n2-5所以点A 到平面BDF 的距离为 55方法二：等体积法；V BDF V F ABD 来求。
方法三：做垂直的平面，然后做交线的垂线及高线，然后求值。
8.（山东卷）如图，在正三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，所有棱长均为 距离为解：利用等体积法，易知V B1-ABC1 = ---- h12 9.（江西卷）如图，已知三棱锥 O ABC 的侧棱OA OB, OC 两两垂直，且 OA 1 ,OB OC 2 , E 是OC 的中点.求O 点到面ABC 的距离；法一:等体积法法二：取BC 中点，作平面ABC 的垂直平面，然后作点O 到平面的距离。
（II ）方法一：易知平面AA 1B 的一个法向量 m （0,1,0）设n （x,y,z ）是平面BDF 的一个uuu2巧 , r uuu nBF r uuu n BF 0 x z 0x z法向量, BD （2,二0）由r uuu r UULT2 3、、3xy3n BD n BD 02x 3 y 0ur rr 即n—3,1LT r所以 cos ；m n LT . r 15即平面 BDF 与平面AA 1B 所成的二二面角的m n 5方法二：三垂线定理作二面角; 方法三：射影面积法；uuur r（III ）方法一：点 A 到平面BDF 的距离，即 AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对 大小（锐角）为 arccos --------------所以点B 1到平面ABC 1的距离为h1~V 正三棱柱ABC A1B1C13CB18）（07年福建卷本小题满分12 分）如图，正三棱柱ABC —A i B i C i的所有棱长都为2, D为CC i 中点。
（1）求证：AB i丄面A i BD ;（2）求二面角 A —A i D —B的大小；（3）求点C到平面A i BD的距离。
（提示：作面平面A i BD的行线，把C点到平面A i BD的距离可转化为AA i中点到平面A i BD的距离）（4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。
（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。
（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A、B间的距离的步骤：①计算线段AB的长；②计算球心角/ AOB的弧度数；③用弧长公式计算劣弧AB的长。
例如（i）设地球半径为R，在北纬45圈上有A,B两地，它们的纬度圈上的弧长等于2 RR，求A,B两地间的球面距离（答：）；4 3（2）球面上有3点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的g，经过这3点的小圆的周长为4 ，那么这个球的半径为（答：2 3）；（3）三棱锥P ABC 的三个侧面两两垂直，PA 12, PB 16, PC 20 ,若P,代B, C（答：5.2 ）。
则甲、乙两地的球面距离为（ D ）•- EOF ,•••点E 、F 在该球面上的球面距离为1 — 33 3故选择B 。
6.（北京卷）已知A,B,C 三点在球心为 0，半径为R 的球面上，AC 么A,B 两点的球面距离为的直径，又AB = R ,所以△ OAB 是等边三角形, 所以 AOB = 一，故A,B 两点的球面距离为 一 R ,33是 OQA = 30 ,所以球心到平面 ABC 的距离OO. Rcos30^1R2四个点都在同一球面上，则此球面上两点A 、B 之间的球面距离是（4）设地球的半径为 R ，若甲地位于北纬45东经120，乙地位于南纬75 东经120，(A ) .3R (C ) —R6(D )（B ） — R65. （ 06浙江卷）如图，O 是半径为I 的球心，点 A 、B 、C 在球面上, 0A 、OB 、0C 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧 AB 与AC 的中点,则点E 、F 在该球面上的球面距离是(A)4（近【考点分析】本题考查球面距的计算，基础题。