不等式成立，则称 A为弱对角占优矩阵。
Def 3
设 A R
T
n n
，如果能找到排列阵 P ，使得 均为方 O 其中 A11与 A22 A22 阵，称 A为可约的
A11 () PAP A12
1 1
例如：矩阵 A 0
2 1
是可约的
0
0 1 1
r1 r3

0 1 1
1
(0) (0)
(I M )
1
x
g
(0)
Mx
g
( 0) ( 0) ( I M ) x Mx g 1
(I M )
1
x
( 0)
x
(1)

代入前述不等式即得。
利用矩阵的范数判定迭代收敛只是一个充分条 件，通常采用矩阵的1-范数、 -范数来判定。
称为单步定常线性迭代法，M 为迭代矩阵，g 为常数项。 当迭代公式产生的序列 即 lim x
k (k )
x

收敛到向量 x ，

x


，则称该迭代法收敛，否则为发散。

lim x
k
(k )
x x M x g Ax b
？

引理
6 .2 .1
( k 1) (k )
由相容性知，
lim x
k
(k )
x M O ( x0任意)
k

Th6.2.1
求解方程组 Ax b 的单步线性定常迭代法
( k 1)
x
Mx
(k )
g, k 0,1, 2,
收敛的充要条件是 ( M ) 1 。 上述定理说明： （1）迭代法是否收敛取决于迭代矩阵的谱半径，与初 始向量和常数项无关。 （2）而对于同一个方程组，不同的迭代法对应的迭代 矩阵的谱半径一般不会相同，因而收敛性也不同。
1
1
1
相应的迭代格式 x( k 1) Mx( k ) g; k 0,1, 2,
上述方法称为Jacobi迭代法，简称J法或简单迭代法
分量形式：
x
( k 1) i

bi aij x
j 1
i 1
(k ) j

j i 1
a
n
ij
x
(k ) j
a ii
; i 1, 2, , n
(14 3 x
(k ) 2
14
x )
(k ) 3
10 (k ) (k ) ( 5 2 x1 3 x3 ) ( k 1) x2 ( 10) (k ) (k ) (14 x1 3 x2 ) ( k 1) x3 10
x
( k 1) 1
x
x
( k 1) 1
( k 1) 2
与解f (x)=0 的不动点迭代相似 ， 将方程组 A x b 思 等价改写成 x M x g 形式，从而建立迭代格式 路 ( k 1) (k ) (k ) (0) { x } x M x g ，从 x 出发，生成迭代序列 迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法比较, 具有: 程序简单,存储量小的优点。特别适用于求解系数 矩阵为大型稀疏矩阵 /* sparse matrices */ 的方程组。

Th6.2.3 若迭代矩阵 M 的范数 M q 1，并假定
范数满足
I 1，则迭代法 x
(k )
( k 1)

Mx
(k )
g
的第k次迭代向量 x
与精确解 x 的误差满足：
x
(k )
q ( k 1) (k ) x x x 1 q

证明：与前面类似。
Th6.2.4 设 B 为Jacobi法的迭代矩阵，若 B
M x g 收敛的充要条件是 M k O 证明：设迭代法 x( k 1) M x( k ) g 收敛，则有
迭代法 x
lim x
k
(k )
x x Mx g




x 为方程组 Ax b 的解， x M x g Ax b k ( 0) (k ) ( k 1) x x M( x x ) M (x x )
Th6.2.5 设 B 为Jacobi法的迭代矩阵，若 B 1 1
则Gauss-Seidel迭代收敛，而且有估计式
x
其中
(k )
(1) ( 0) x 1 x x )(1 s ) (1
k
1
s max
j
i j 1

n
bij ,
n 1 bij i j 1
使得
aij 0 i , j
1 1
1
则称矩阵 A 可约，否则称 A 不可约。
2 1
例如：矩阵 A 0
0
0 1 1
a21 0 a22 0 a31 0
1 1 0
矩阵 B
2
1
1
1
0
0
a13 0 a32 0 a33 0
不可约
Th6.2.8 设 A (aij )nn为 严格对角占优或不可约弱对角
0
0
1 2
c1 c3
1 1 0 1 2

0
1
0
1
1 1
若系数矩阵是可约的，则可通过行与列重排化为 上面(*)式，从而可将方程组简化为低阶方程组。
Def 3（可约矩阵的等价定义） ' nn 设矩阵 A R ( n 2) ， 1, 2,, n ，如果 存在 的两个非空子集 T 和 ，满足 , 2, 3
j 1 i 1 ( k 1) j

x
( k 1) i

j i 1
a
n
ij
x
(k ) j
a ii
; i 1, 2, , n
例1：利用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组
10 3
1
1
2 10 3
解：
Jacobi 迭 代 格 式
x1 x2

14 5
3

10 x3
例2：说明用J法和G-S法求解下列方程组的收敛性：
2 1
1
解：
1
1
1
1
x1 x2
3

1
6
3
0
1 2
J法不收敛
1
2
x3
2 1
1
1
A 1
1
1
1
1
M I D A 1 0
1 2
1 2

1 2
1
2
0
计算特征值：
0, 2,3
后面两个特征值算错了，应该是是复数
5 i (M ) 1 2
则Gauss-Seidel迭代收敛，而且有估计式

1
x
其中
(k )
x



k
1
x x
(1)
( 0)
n max bij j i 1 i
B

i 1 1 bij j 1

且有
1，这里 bij是矩阵 B 的元素。
(k )
k
x
x M (x x ) q x x 1 1 1 M q 1 (I M ) 1 M 1 q
(k ) k (0) k ( 0)



x x x (I M ) g
( 0) ( 0)
1ຫໍສະໝຸດ (I M ) ( I M ) x
j 1 max bij i 1 j
B 1 1
Th6.2.6 如果 A 是对称矩阵，且有正的对角元，则
求解方程组 Ax b 的J法收敛的充要条件是矩阵 A
和
2 D A 均为正定的，其中 D diag(a11 ,, ann )
占优，则 推论 6.2.1 设
aii 0, i 1, 2,, n ，且 A 非奇异。
A为 严格对角占优或不可约弱对角占优的 A正定。
对称矩阵，且对角元素皆为正，则
Th6.2.9
若 A 为 严格对角占优或不可约弱对角占优的，
则Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代收敛。
迭代法的收敛速度： 设迭代法 x( k 1) Mx( k ) g 收敛，即 ( M ) 1 Def 4（/* Rate of Average Convergence */） 平均压
迭 代 格 式
10 ( k 1) (k ) ( 5 2 x1 3 x3 )
(14 3 x
(k ) 2
x )
(k ) 3
G-S
似 解
1.0002507)
0.9999541)
0.9999981)
Gauss-Seidel迭代法 取初值
计 算 结 果
要求 精度
x (0 0 0)
T
迭代 方 程 组 的 近 次数 0.001 5 (0.9997916 0.9998479 0.0001 7 (0.9999929 0.9999949 0.00001 8 (1.0000013 1.0000009
G-S法收敛
Th6.2.2 若迭代矩阵 M 的范数 M q 1，并假定
范数满足
I 1 ，则迭代法 x
(k )
( k 1)

Mx
(k )