2020年高考全国一卷文科数学试题一、选择题1.已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-,则A B ⋂=( ) A.{4,1}-B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}2.若312i i z =++，则||z =( )A.0B.1D.23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )4.设O 为正方形ABCD 的中心,在,,,,O A B C D 中任取3点,则取到的3点共线的概率为( )A.15 B.25 C.12 D.45 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( ) A.y a bx =+B.2y a bx =+C.e x y a b =+D.ln y a b x =+6.已知圆2260x y x +-=，过点()1,2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A.1B.2C.3D.47.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6 C.4π3D.3π2 8.设3log 42a =，则4a -= ( )A.116 B.19 C.18D.169.执行下面的程序框图，则输出的n = ( )A.17B.19C.21D.2310.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=( ) A.12B.24C.30D.3211.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为( )A.72B.3C.52D.212.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π二、填空题13.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为__________.14.设向量(1,1),(1,24)m m =-=+-a b ，若a b ⊥，则m =____________.15.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 16.数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =_____________.三、解答题17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为,,,A B C D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务18.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知150B =︒. (1)若,a b ==ABC 的面积； (2)若sin 2A C =，求C . 19.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90APC ∠=︒．(1)证明：平面PAB ⊥平面PAC ；(2)设DO =，求三棱锥P ABC -的体积. 20.已知函数()(2)x f x e a x =-+. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.21.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． (1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标． 23.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.参考答案1.答案：D2.答案：C3.答案：C4.答案：A5.答案：D6.答案：B7.答案：C8.答案：B9.答案：C 10.答案：D 11.答案：B 12.答案：A 13.答案：1 14.答案：5 15.答案：2y x = 16.答案：717.答案：(1)由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为400.4100=； 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为280.28100=. (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为65402520520752015100⨯+⨯-⨯-⨯=.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务. 解析：18.答案：(1)由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒.解得2c =-(舍去)，2c =，从而a =ABC 的面积为12sin1502⨯⨯︒=(2)在ABC 中，18030A B C C =︒--=︒-，所以 ()()sin sin 30sin 30A C C C C +=-+=︒+︒.故()sin 30C ︒+=. 而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒. 解析：19.答案：(1)由题设可知，PA PB PC ==.由于ABC 是正三角形，故可得PAC PAB ≅，PAC PBC ≅. 又90APC ∠=︒，故90,90APB BPC ∠=︒∠=︒.从而,PB PA PB PC ⊥⊥，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC . (2)设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题设可得222rl l r =-=.解得1,r l ==.从而AB =.由(1)可得222PA PB AB +=，故PA PB PC ===所以三棱锥P ABC -的体积为311113232PA PB PC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=⎝⎭.解析：20.答案：(1)当1a =时，()e 2x f x x =--，则1'()e x f x =-. 当0x <时，)'(0f x <；当0x >时，)'(0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2))'(e x f x a =-.当0a ≤时，()'0f x >，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，故()f x 至多存在1个零点，不合题意. 当0a >时，由()'0f x =可得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()'0f x <；当()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >，所以()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增，故当ln x a =时，()f x 取得量小值，最小值为()()ln 1ln f a a a =-+.()i 若10ea <≤，则(ln )0f a ≥，()f x 在(,)-∞+∞至多存在1个零点，不合题意.()ii 若1ea >，则(ln )0f a <.由于2(2)e 0f --=>，所以()f x 在(,ln )a -∞存在唯一零点.由(1)知，当2x >时，2e 20x -->，所以当4x >且()2ln 2x a >时， 22()e e (2)x x f x a x =⋅-+ ()ln 2e2(2)2a x a x ⎛⎫>⋅+-+ ⎪⎝⎭2a = 0>.故()f x 在(ln ,)a +∞存在唯一零点.从而()f x 在(,)-∞+∞有两个零点. 综上，a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.解析：21.答案：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++. 代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.解析：22.答案：(1)当1k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C1=, 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y =-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.解析：23.答案：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.关注更多高考数学精彩，尽在“木木数语”。