2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.设{k x }是数列，下列命题中不正确的是（） (A)若lim k k x a →∞=，则221lim lim k k k k x x a +→∞→∞==.(B)若221lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞=(C) 若lim k k x a →∞=，则321lim lim k k k k x x a +→∞→∞==(D)若331lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞=2.设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)33.设{}2222(,)2,2D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y D 上连续， 则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）2cos 2sin 4200042sin 2cos 42000410110()(cos ,sin )(cos ,sin )()(cos ,sin )(cos ,sin )()2(,)()2(,)xXA d f r r rdr d f r r rdrB d f r r rdr d f r r rdrC dx f x y dyD dx f x y dyππθθπππθθπθθθθθθθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.下列级数中发散的是（）（A ）13n n n ∞=∑(B)11)n n ∞=+ (C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑ (D)1!n n n n∞=∑5.设矩阵22111112,,14A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若集合(1,2)Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为（）(),A a d ∉Ω∉Ω (),B a d ∉Ω∈Ω (),C a d ∈Ω∉Ω (),D a d ∈Ω∈Ω6.设二次型1,23(,)f x x x 在正交变换x py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)p e e e =，若132(,,),Q e e e =-则123(,,)x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（）（A ）2221232y y y -+ (B)2221232y y y +- (C)2221232y y y -- (D)2221232y y y ++7.设A,B 为任意两个随机事件，则（）（A ）()()()P AB P A P B ≤ (B)()()()P AB P A P B ≥(C) ()()()2P A P B P AB +≤ (D)()()()2P A P B P AB +≥8.设总体(,)XB m θ，12,,n x x x 为来自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，则21()n i i E x X =⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∑（） （A ）(1)(1)m n θθ-- (B) (1)(1)m n θθ-- (C) (1)(1)(1)m n θθ--- (D) (1)mn θθ-二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 92ln(cos )limx x x →∞= 。

10设函数()f x 连续，2()()x x xf t ϕ=⎰，若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =11若函数z = (,)z x y 由方程2+3z1x y e xyz ++=确定，则(0,0)dz = 12设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在x =0处()y x 取得极值3，则()y x = 13设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 14设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ,则(0)P XY Y -＜=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）设函数3()ln(1)sin ,(),f x x x bx x g x kx α=+++⋅=若()f x 与()g x 在0x →时 是等价无穷小，求a,b,k 的值。

16、（本题满分10分） 计算二重积分()Dx x y dxdy +⎰⎰，其中{}222(,)2,D x y xy y x =+≤≥17、（本题满分10分）为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，p 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（η＞0） （i ）证明定价模型为11MCp η=-（ii ）若该商品的成本函数为2()1600C Q Q =+，需求函数为40Q p =-，试由（1）中的定价模型确定此商品的价格。

18、（本题满分10分）设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点()00,()x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f =，求()f x 的表达式。

19、（本题满分10分）（i ）设函数()u x ，()v x 可导，利用导数定义证明[]'''()()()()()()u x v x u x v x u x v x =+（ii ）设函数12*(),(),,()u x u x K u x 可导，12*()()()()f x u x u x Ku x =，写出()f x 的求导公式。

20（本题满分11分）（20）设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,且30A =.（i ）求a 的值；（ii ）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=,其中E 为3阶单位矩阵，求X .21（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，（i ）求a,b 的值（ii ）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵。

22（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为2ln 2,0,()0,0x x f x x -⎧=⎨≤⎩＞对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数。

（1） 求Y 的概率分布； （2） 求EY 。

23（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为11(:)10,x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩，其他其中θ为未知参数，12,,R X X L X ，为来自该总体的简单随机样本。

、（1） 求θ的矩估计量；（2） 求θ的最大似然估计量2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n aa >（B ）2n aa <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1siny x x=+（D ）21siny x x=+ （3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式00000000ab a bcd cd= （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2（C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ服从的分布为（A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

(10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域，则D 的面积为_________。

(11)设2014ax xe dx =⎰，则_____.a = (12)二次积分22110()________.xy y e dy e dx x-=⎰⎰ （13）设二次型22123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围是_________（14）设总体X 的概率密度为222(;)30x x f x θθθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，其中θ是未知参数,12,,...,,n X X X 为来自总体X 的简单样本，若21nii c x=∑ 是2θ的无偏估计，则c = _________三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限12121lim1ln(1)xtx t e t dt x x→+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+⎰（16）（本题满分10分）设平面区域22{(,)|14,0,0}D x y x y x y =≤+≤≥≥，计算.D（17）（本题满分10分）设函数()f u 具有2阶连续导数，(cos )xz f e y =满足222224(cos )x xz z z e y e x y∂∂+=+∂∂，若(0)0,'(0)0f f ==，求()f u 的表达式。