E O CD
P
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB
（5）若PA=4、PD=2，求半径OA
外切圆的半径：交点到三
内切圆的半径：交点到三
角形任意一个定点的距离。 h 角形任意一边的垂直距离。15
分析题目已知：如
图, △ABC的内切圆
⊙O与BC 、CA、
AB 分别相交于点
A
D 、 E 、 F ，且
E
AB＝9厘米，BC
FO
＝14厘米,CA ＝13
厘米,求AF、BD、 B D CE的长。
h
C
16
A
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法
h
6
我们学过的切线，常有 六五个 性质：
1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
A
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
F
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
D O·
则有
x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c
解得
r＝
a＋b－c
2
C
E
B
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
E
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
＝ ＝
1 12 2
AB·OD＋
l·r
1 2
BC·OE＋
1 2
AC·OF
设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，
2S 则△ABC的内切圆的h 半径 r＝ a＋b＋c
F C
25
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r.
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角
相等，弧相等，垂直关系提供了理论
依据。必须掌握并能灵活应用。
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等
h
12
h
13
o．
o．
．
h
14
三角形外接圆
C
．o A B
三角形内切圆
C
．o
A
B
外切圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。
h
10
反思：在解决有关
A
圆的切线长问题时，
往往需要我们构建
。
基本图形。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
h
11
B
小 结：
1.切线长定理 从圆 E
。
OC
D
P
外一点引圆的两条 切线，它们的切线 长相等，圆心和这 一点的连线平分两 条切线的夹角。
A ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
O
P
么新的结论?并给出
证明. CA=CB
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
h
9
例.PA、PB是⊙O的两条切 C1。）写出图中所有的垂直关系
h
A
D
F O
EC
20
1.一个三角形有且只有一个内切圆；
2.一个圆有无数个外切三角形；
3.三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；
4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。
h
21
分析． 试说明圆的 外切四边形的两组 对边的和相等．
h
22
选做题：如图，AB是⊙O的直径，
AD、DC、BC是切线，点A、E、B
为切点，若BC=9，AD=4，求OE的
长.
C
E
C E
D
D F
A
·O B
A
·O B
h
23
h
24
三角形的内切圆的有关计算
如图，△ABC的内切圆的半径为r,
A
△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.
D
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，
O·
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥ABC.
内切圆的半径
r＝
a＋b－c h 2
或r＝
ab
a＋b＋c
26
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4, ⊙O为
Rt△ABC的内切圆. （1）求Rt△ABC的内切圆的半径 .
（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、
h
1
在经过圆外
A
一点的切线
上，这一点
和切点之间 的线段的长
O·
P
叫做这点到
圆的切线长
B
切线与切线长的区别与联系：
（1）切线是一条与圆相切的直线； （2）切线长是指切线上某h一点与切点间的线段的4长。
切线长定理 从圆外
B
一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，圆 心和这一点的连线平分
。
O
P
两条切线的夹角。
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm)
x＋y＝9
x＝4
则有 y＋z＝14 解得 y＝5
x＋z＝13
z＝9
∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
h
19
例.如图，△ABC 中,∠C =90º ,它的 内切圆O分别与边 AB、BC、CA相切 于点D、E、F，且 B BD=12，AD=8， 求⊙O的半径r.
h
7
若连结两切点A、
B
B，AB交OP于点M. 你又能得出什么新的
。
OM
P
结论?并给出证明.
OP垂直平分AB
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
h
8
B
若延长PO交⊙O
于点C，连结CA、
。
CB，你又能得出什C
例.如图所示PA、PB分别切圆
O于A、B，
并与圆O的切线分别相交于C、 A
D， 已知
D
PA=7cm，
P
(1)求△PCD的周长．
·O E
(2) 如果∠P=46°, 求∠COD的度数
h
C B
17
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
OO ·
P
B
h
18
例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.