2019-2020学年湖北省孝感市安陆市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.计算a3⋅(−a)的结果是()A. a2B. −a2C. a4D. −a42.要使分式1x+3有意义，则x的取值范围为()．A. x>0B. x>−3C. x≥−3D. x≠−33.若a+b=6，ab=4，则a2+4ab+b2的值为()A. 40B. 44C. 48D. 524.若点A(m,2)与点B(3,n)关于x轴对称，则m+n的值是()A. 1B. −2C. 2D. 55.如果a−b=5，那么代数式(a2+b2ab −2)⋅aba−b的值是()A. −15B. 15C. −5D. 56.已知图中的两个三角形全等，则∠1等于A. 72°B. 60°C. 50°D. 58°7.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有()A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种8.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为()A. 7.5B. 5C. 4D. 不能确定9.已知三个实数a，b，c满足a−2b+c=0，a+2b+c<0，则()A. b>0，b2−ac≤0B. b<0，b2−ac≤0C. b>0，b2−ac≥0D. b<0，b2−ac≥010.如图，已知△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画()A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.因式分解：a3−2a2b+ab2=__________．12.某种红细胞的直径是0.0000072米，用科学记数法表示该红细胞的直径为______米．13.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于____．14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF，若AF=6，BE=2，则DE的长为____．15.如图所示的网格是正方形网格，∠APB=______°．16.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有____个〇．三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）17.解方程：3xx−5−10x−5=1四、解答题（本大题共7小题，共63.0分）18.先化简，再求值：(1m+2+1m−2)÷2mm−4m+4，其中m=4．19.观察以下等式：第1个等式：21+12−12×11=2，第2个等式：32+23−13×12=2第3个等式：43+34−14×13=2，第4个等式：54+45−15×14=2……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：______；(2)写出你猜想的第n个等式：______(用含n的等式表示)，并证明．20.已知：如图，△ABC，AB=AC，∠A=120°(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N(保留作图痕迹，不写作法)．(2)猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想．21.从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．22.已知x m=2，x n=3，求：①x m−n；②x m+m；③x2m+n；④x3m−2n的值．23. 仔细阅读下面例题，解答问题例题：已知二次三项式x 2−4x +m 有一个因式是x +3，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为x +n ，得x 2−4x +m =(x +3)(x +n)．则x 2−4x +m =x 2+(n +3)x +3n ，所以{n +3=−43n =m解得n =−7，m =−21． 所以另一个因式为x −7，m 的值为−21．问题：(1)若二次三项式x 2−5x +6可分解为(x −2)(x +a)，则a =________；(2)若二次三项式2x 2+bx −5可分解为(2x −1)(x +5)，则b =________；(3)仿照以上方法解答下面问题：若二次三项式2x 2+3x −k 有一个因式是2x −5，求另一个因式以及k 的值．24.如图，C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE，O是AE，BD的交点，试判断OC与AB的位置关系，并证明你的结论．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂乘法的运算是解题的关键．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此解答即可．解：a3⋅(−a)=−a4，故选D．2.答案：D解析：此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件可得x+3≠0，再解即可．解：由题意得：x+3≠0，解得：x≠−3，故选D．3.答案：B解析：此题考查了代数式求值，整体代入法，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．原式利用完全平方公式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．解：∵a+b=6，ab=4，∴原式=(a+b)2+2ab=36+8=44，故选B．4.答案：A解析：根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．本题考查了关于x轴对称的点的坐标，属于基础题．解：由A(m,2)与点B(3,n)关于x轴对称，得m=3，n=−2，所以m+n=3+(−2)=1，故选：A．5.答案：D解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解：∵a−b=5，∴原式=a2+b2−2abab ⋅aba−b=(a−b)2ab⋅aba−b=a−b=5，故选：D．6.答案：D解析：本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角．根据三角形内角和定理求得∠2=58°，然后由全等三角形是性质得到∠1=∠2=58°．解：如图：由三角形内角和定理得到：∠2=180°−50°−72°=58°，∵图中的两个三角形全等，∴∠1=∠2=58°．故选D．7.答案：B解析：此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确利用轴对称图形的定义得出是解题关键．利用轴对称图形的性质进而求出即可．解：如图所示：符合题意的图形有3种．故选：B．8.答案：B解析：解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线(三线合一)，∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，∵{∠ADB=∠CEB ∠ABD=∠CBE AB=CB，∴△ADB≌△CEB(AAS)，∴CE=AD=5，即BF+EF=5，故选B．本题考查的是轴对称−最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小(根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短)，由于C和B关于AD对称，则BF+ EF=CF+EF=CE，证△ADB≌△CEB得CE=AD=5，即BF+EF=5．9.答案：D解析：本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出b和b2−ac的正负情况，根据a−2b+c=0，a+2b+c<0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b2−ac的正负情况，本题得以解决．解：∵a−2b+c=0，a+2b+c<0，∴a+c=2b，b=a+c2，∴a+2b+c=(a+c)+2b=4b<0，∴b<0，∴b2−ac=(a+c2)2−ac=a2+2ac+c24−ac=a2−2ac+c24=(a−c2)2⩾0，即b<0，b2−ac≥0．故选D．10.答案：C解析：解：如图所示，当AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．11.答案：a(a−b)2解析：本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式有关知识，先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解：a3−2a2b+ab2，=a(a2−2ab+b2)，=a(a−b)2．故答案为a(a−b)2．12.答案：7.2×10−6．解析：解：0.0000072=7.2×10−6．故答案为：7.2×10−6．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13.答案：5解析：本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．过E作EF⊥BC于点F，由角平分线的性质可求得EF=DE，则可求得△BCE的面积．解：过E作EF⊥BC于点F，∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=12BC⋅EF=12×5×2=5．故答案为5．14.答案：83解析：解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，在Rt△CFD和Rt△EBD中，{DF=BDCD=ED，∴Rt△CFD≌Rt△EBD(HL)，∴CF=EB=2，∴AC=AF+CF=6+2=8；在△ACD和△AED中，{∠CAD=∠EAD∠ACD=∠AED=90°AD=AD，∴△ACD≌△AED(AAS)，∴AC=AE，∴AB=AE+EB=AC+EB=AF+FC+EB =AF+2EB=6+4=10，∴BC=√AB2−AC2=6，∴12AC⋅CD+12AB⋅DE=12AC⋅BC，即12×8×DE+12×10×DE=12×6×8，解得：DE=83．故答案：83由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DE=DC，再由BD=DF，利用HL得到△CFD与△EBD 全等，利用全等三角形对应边相等得出CF=BE，利用AAS得到△ACD与△AED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AE，由AB=AE+EB，得出AB=AF+2BE.再利用直角三角形的面积公式解答即可．此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．15.答案：135解析：解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2=BD2=12+22=5，PB2=12+32=10，∴PD2+DB2=PB2，∴∠PDB=90°，∴∠DPB=45°，∴∠APB=135°．故答案为：135．延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到∠PDB=90°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．16.答案：6056解析：本题主要考查图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．根据已知图形得出第n 个图形中圆的个数为2n +n −1，据此可得．解：∵第一个图形中圆的个数2=2×1+0，第二个图形中圆的个数5=2×2+1，第三个图形中圆的个数8=2×3+2，第四个图形中圆的个数11=2×4+3，……∴第2019个图形中圆的个数为2×2019+2018=6056，故答案为6056．17.答案：解：两边都乘以x −5，得：3x −10=x −5，解得：x =52，检验：x =52时，x −5=−52≠0，所以分式方程的解为x =52．解析：观察可得最简公分母是(x −5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解本题考查了分式方程的解法，(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．(2)解分式方程一定注意要验根．18.答案：解：原式=[m−2(m+2)(m−2)+m+2(m+2)(m−2)]÷2m(m−2)2=2m (m +2)(m −2)⋅(m −2)22m=m−2m+2，当m =4时，原式=4−24+2=13．解析：先根据分式混合运算顺序与运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．19.答案：解：(1)根据已知规律，得第5个等式左边式子中第一项的分子和第2项、第3项的分母均为6，第一项的分母和第2项的分子、第4项的分母均为5，则第5个等式为： 65+56−16×15=2， 故答案为：65+56−16×15=2；(2)根据题意，得第n 个等式左边式子中第一项的分子和第2项、第3项的分母均为(n +1)，第一项的分母和第2项的分子、第4项的分母均为n ，则第n 个等式为：n+1n +nn+1−1n+1×1n=2； 证明如下：左边=(n+1)2+n 2n(n+1)−1n(n+1)=2(n 2+n)n 2+n =2=右边， ∴n+1n +n n+1−1n+1×1n =2．故答案为：n+1n +n n+1−1n+1×1n =2．解析：依次观察每个等式，可以用发现规律．本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．20.答案：证明：(1)如图所示，直线MN 即为所求：(2)CM =2BM ，连接AM ，则BM =AM∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°，∴∠MAB =∠B =30°，∠MAC =90°，∴AM=12CM，故B M=12CM，即CM=2BM．解析：本题考查了尺规作图中线段垂直平分线的作法，等腰三角形、特殊直角三角形的性质等知识；做题时要注意保留作图痕迹．(1)尺规作图，要按照规范画图进行，要显示作图痕迹．(2)明确△ABC各内角的度数，根据垂直平分线的性质，连接AM，把原三角形分成两个特殊三角形进行分析，得出结论．21.答案：解：(1)根据题意得：400×1.3=520(千米)，答：普通列车的行驶路程是520千米；(2)设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千米/时，根据题意得：520 x −4002.5x=3，解得：x=120，经检验x=120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5=300(千米/时)，答：高铁的平均速度是300千米/时．解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可得出答案；(2)设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可；此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验．22.答案：解：①x m−n=x m÷x n=2÷3=23；②x m+m=x2m=4③x2m+n=x2m×x n=4×3=12；④x3m−2n=x3m÷x2n=8÷9=8．9解析：①根据同底数幂的除法，可得答案；②根据同底数幂的乘法，可得答案；③根据幂的乘方，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得答案；④根据幂的乘方，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案．本题考查了同底数幂的除法，根据幂的乘方得出同底数幂的除法是解题关键．23.答案：解：(1)−3；(2)9；(3)设另一个因式为(x+n)，得2x2+3x−k=(2x−5)(x+n)=2x2+(2n−5)x−5n，则2n−5=3，k=5n，解得：n=4，k=20，故另一个因式为(x+4)，k的值为20．解析：本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．(1)将(x−2)(x+a)展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；(2)(2x−1)(x+5)展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；(3)设另一个因式为(x+n)，得2x2+3x−k=(2x−5)(x+n)展开求出n和k的值及另一个因式．解：(1)∵(x−2)(x+a)=x2+(a−2)x−2a=x2−5x+6，∴a−2=−5，解得：a=−3，故答案为−3．(2)∵(2x−1)(x+5)=2x2+9x−5=2x2+bx−5，∴b=9，故答案为9．(3)见答案．24.答案：解：OC⊥AB，证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，∵C是线段AB的中点，∴AC=BC．在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠A=∠B，∴OA=OB，又∵AC=BC，∴OC⊥AB．解析：本题考查了证明直线互相垂直，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，属于中档题．易证△ACE≌△BCD，可得∠A=∠B，可得OA=OB，利用三线合一的性质可证得结论．。