模式类别的可分性判据在讨论特征选择和特征压缩之前，我们先要确定一个选择和提取的原则。

对一个原始特征来说，特征选择的方案很多，从N 维特征种选择出M 个特征共有()!!!MNN C M N M =-中选法，其中哪一种方案最佳，则需要有一个原则来进行指导。

同样，特征的压缩实际上是要找到M 个N 元函数，N 元函数的数量是不可数的，这也要有一个原则来指导找出M 个最佳的N 元函数。

我们进行特征选择和特征提取的最终目的还是要进行识别，因此应该是以对识别最有利原则，这样的原则我们称为是类别的可分性判据。

用这样的可分性判据可以度量当前特征维数下类别样本的可分性。

可分性越大，对识别越有利，可分性越小，对识别越不利。

人们对的特征的可分性判据研究很多，然而到目前为止还没有取得一个完全满意的结果，没有哪一个判据能够完全度量出类别的可分性。

下面介绍几种常用的判据，我们需要根据实际问题，从中选择出一种。

一般来说，我们希望可分性判据满足以下几个条件：1. 与识别的错误率由直接的联系，当判据取最大值时，识别的错误率最小；2. 当特征独立时有可加性，即：()()121,,,Nij Nij k k J x x x J x ==∑ijJ 是第i 类和第j 类的可分性判据，ij J 越大，两类的可分程度越大，()12,,,N x x x 为N 维特征； 3. 应具有某种距离的特点：0ij J >，当i j ≠时； 0ij J =，当i j =时；ij ji J J =；4. 单调性，加入新的特征后，判据不减小：()()12121,,,,,,,ij N ij N N J x x x J x x x x +≤ 。

但是遗憾的是现在所经常使用的各种判据很难满足上述全部条件，只能满足一个或几个条件。

基于矩阵形式的可分性判据 1. 类内散度矩阵设有M 个类别，1,,M ΩΩ ，i Ω类样本集()()(){}12,,,ii i i N X X X ，i Ω类的散度矩阵定义为：()()()()()()()11iN Ti i i i i w k k k iS N ==--∑X mX m总的类内散度矩阵为：()()()()()()()()()1111iN MMTi i i i i w iwikki i k i S P SP N ====Ω=Ω--∑∑∑XmXm2. 类间散度矩阵第i 个类别和第j 个类别之间的散度矩阵定义为：()()()()()()()Tij i j i j BS =--mmmm总的类间散度矩阵可以定义为：()()()()()()()()()()()11111122M MM Mij ijijB ijBiii j i j S P P S P P =====ΩΩ=ΩΩ--∑∑∑∑m m m m令：m 为总体均值，()()1Mi i i P ==Ω∑m m ，则有：()()()()()1MTi i B i i S P ==Ω--∑mmmm3. 总体散度矩阵总体散度矩阵可以定义为：()()11NTT ll l S N==--∑Xm X m其中N 为总的样本数，1Mii NN ==∑。

可以证明：TW BSS S =+。

可以看出三个散度矩阵均为实对称矩阵。

上面我们所定义的判据：()d J X =()()()tr tr d T WB J S S S ==+X 。

tr表示取一个矩阵的迹，也就是主对角线元素之和，N 维方阵A 的迹为：()1tr Niii a =A =∑同样我们可以利用三个散度矩阵定义出一系列的可分性判据：()11tr W B J S S -=2B WS J S =()()3tr tr B WS J S =其中Α表示方阵Α的行列式的值，比较常用的判据是1J 。

基于几何距离的可分性判据计算起来比较简单，只要我们已知各个类别的训练样本集，就可以计算出三个散度矩阵，同时也就可以计算出各种可分性判据。

特征选择所谓特征选择，就是从一组数量为N 的特征中选择出一组数量为M的最优特征，（NM>）这里有两个问题要解决，1、选择一种可分性判据作为最优特征选择的标准；2、找到一个好的算法，来选择出这组最优特征。

下面我们就来介绍几种特征选择的算法。

一个最简单的思路是：我们假设N 个特征之间相互独立，并且使用的可分性判据满足可加性：()()1Ni i J J x ==∑X ，这时候我们只要把N 个特征每个单独使用时的可分性判据()i J x 计算出来，然后从大到小排序：()()()12N J x J x J x >>> ，选择出前M 个特征就是一组最优的特征。

然而问题往往没有这么简单，这种特征独立性假设多数情况下并不成立，并且可分性判据也不一定满足可加性。

另外一个简单的思路是(穷举法)：对从N 中选择出M 个特征的所有组合情况都计算其可分性判据，然后选择出其中的最大者作为解决方案。

当N 的数值比较小时，这种方法一定是可行的，然而当N 比较大时，这个组合数会非常大，比如100N =，10M =时，组合数的数量级是310，当20N=，10M=时，组合数为184756。

将所有的组合都计算一遍显然是不现实的。

因此我们需要有一个搜索算法来进行特征选择。

次优搜索算法1. 顺序前进法（Sequential Forward Selection, SFS ）每次从未入选的特征中选择一个特征，使得它与已入选的特征组合到一起所得到的可分性判据最大，直到特征数增加到M 为止。

用k X 表示在第k 步时的特征集合，搜索算法如下： 1) 开始时，0X =∅，从N 个特征中选择一个()i J x 最大的特征，加入已选特征集，{}1i X x =；2) 在第k 步，k X 中包含已经选择的k 个特征，对未入选的Nk-个特征计算，{}()k j J X x ，其中1,2,,j N k =- ，并且按照由大到小排序，将可分性判据最大的特征l x 加入k X ，{}1k k l X X x += ；3) 直到所选的特征数等于M 为止。

2. 顺序后退法 (Sequential Backward Selection, SBS)同顺序前进法的过程刚好相反，最开始时取{}01,,N X x x = ，每次从中剔除一个特征，使得剩余的特征可分性判据最大。

3. 增l 减r 法（l r -法）前两种方法可以进一步改进，比如每次不是加入1个特征，而是加入l 个特征；或者每次不是剔除一个特征，而是剔除r 个特征。

这样的效果要比每次加1或减1的效果好，但是计算量要增大。

另外一种改进方法是将SFS 和SBS 结合，先使用SFS 算法逐个选入l 个最佳特征，然后使用SBS 算法逐个剔除r 个最差特征，l r >，再使用SFS 算法增加l 个特征，再使用SBS 剔除r 个特征，…，直到选出M 个特征为止。

特征提取特征抽取的方法很多，下面我们以其中的一种—基于离散K-L 变换(DKLT)的特征抽取，其它方法与此类似。

设原始特征为N 为矢量()12,,,TN x x x =X ，均值矢量[]E =m X ，相关矩阵T E ⎡⎤=⎣⎦XR XX ，协方差矩阵()()TE ⎡⎤=--⎣⎦XC X m X m 。

我们可以对X作如下的标准正交变换，将其变为矢量()12,,,TNy y y =Y :12T T T N⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦TT T Y =T X X TY的每个分量：Tii y =T X，其中T 为一个N N ⨯的标准正交矩阵，iT 为其第i 个列矢量，1,0,T i j i j i j=⎧=⎨≠⎩T T 。

也就是说Y 的每个分量是X 每一个分量的线性组合。

同样X 可以表示为：()()112121NTN i ii Ny y y y -=⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑X TY T Y T T T T我们要进行特征提取，也就是要用Y 的M 项来代替X ，这种代替必然带来误差，下面我们来对这个误差进行估计：令：1ˆMi ii y ==∑X T ，1MN≤<，引入的均方误差为：()()()2211N NTTii i i M i M eM E E y E y y =+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--==⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑X XX X11N NTTTii i ii M i M E =+=+⎡⎤==⎣⎦∑∑X T XX T T R T这又变成一个优化问题，我们希望寻找到一个标准正交矩阵T ，使得()2e M 最小，因此可以去这样的准则函数：()111NNT Tii i i i i M i M J λ=+=+=--∑∑X T R T T T第一项保证均方误差最小，第二项保证T 为标准正交矩阵，i λ为一待定常数。

()i i iJ λ∂=-=∂X R I T 0T ，1,,i M N=+即：i i i λ=X R T T ，很明显i λ为相关矩阵X R 的特征值，i T 为对应于iλ的特征矢量，由于X R 是一个实对称矩阵，所以12,,.N T T T 相互正交，T 为一个正交矩阵。

均方无差：()2111NNNTT ii ii i ii M i M i M eM λλ=+=+=+===∑∑∑X T R T T T根据矩阵论，有这样的结论：一个N N ⨯的正定实对称矩阵有N 个特征值和特征矢量，这些特征矢量之间是正交的。

相关矩阵X R 就是一个实对称矩阵，当训练样本足够多时，也可以满足正定性，根据上式我们知道，当要从N 维特征中提取出M 维特征时，我们只需要统计出特征相关矩阵X R ，然后计算其特征值和特征矢量，选择对应特征值最大的前M 个特征矢量作成一个N M ⨯特征变换矩阵T ，就可以完成特征提取。

步骤如下：1、 利用训练样本集合估计出相关矩阵TE ⎡⎤=⎣⎦XR XX ；2、 计算X R 的特征值，并由大到小排序：12Nλλλ≥≥≥ ，以及相应的特征矢量：12,,,N T T T ；3、 选择前M 个特征矢量作成一个变换矩阵[]12M=T T T T；4、 在训练和识别时，每一个输入的N 维特征矢量X 可以转换为M维的新特征矢量：T Y =T X 。

这种方法是利用相关矩阵X R 进行变换，同样也可以利用协方差矩阵X C 进行变换，还可以利用样本的散度矩阵W S ，B S ，T S 或者1WB -S S 进行变换。

过程都是一样的，需要计算特征值和特征向量，选择最大的M 个特征值对应的特征矢量作出变换矩阵。