＝－a＋b＋12c.17Fra bibliotek板块一
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(3)∵M 是 AA1 的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c. 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1＝12A→D＋A→A1＝12c＋a， ∴M→P＋N→C1＝12a＋12b＋c＋a＋12c ＝32a＋12b＋32c.
解析 ∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，
6＝kλ＋1，
∴ 2μ－1＝0， 2λ＝2k.
λ＝2， 解 得 μ＝21
λ＝－3， 或 μ＝12.
故选
A.
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3．[课本改编]已知 a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若 a⊥
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解 A→C1＝A→B＋B→C＋C→C1＝A→B＋A→D＋A→A1＝a＋b＋c.
A→G＝A→A1＋A→1G
＝A→A1＋13(A→1D＋A→1B)
＝A→A1＋13(A→D－A→A1)＋13(A→B－A→A1)
＝13A→A1＋13A→D＋13A→B
(a－λb)，则实数 λ 的值为( )
A．－2
B．－134
14 C. 5
D．2
解析 由题意知 a·(a－λb)＝0，即 a2－λa·b＝0，又 a2
＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故选 D.
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4．[课本改编]若直线 l 的方向向量为 a＝(1,0,2)，平面 α 的法向量为 n＝(－2,0，－4)，则( )
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解 O→G＝O→A＋A→G＝O→A＋23A→N＝O→A＋23(O→N－O→A)＝ O→A＋2312O→B＋O→C－O→A＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
M→G＝O→G－O→M＝O→G－12O→A＝13O→A＋13O→B＋13O→C－12O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C.
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(2)当 k＝0 时，点 M，A 重合，点 N，B 重合，MN 在 平面 ABB1A1 内．
kA→C1，B→N＝kB→C(0≤k≤1)．
(1)向量M→N是否与向量A→B，A→A1共面？ (2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1 平行？
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解 (1)∵A→M＝kA→C1，B→N＝kB→C， ∴M→N＝M→A＋A→B＋B→N＝kC→1A＋A→B＋kB→C ＝k(C→1A＋B→C)＋A→B＝k(C→1A＋B→1C1)＋A→B ＝kB→1A＋A→B＝A→B－kA→B1＝A→B－k(A→A1＋A→B) ＝(1－k)A→B－kA→A1， ∴由共面向量定理知向量M→N与向量A→B，A→A1共面．
解析 cos〈a，b〉＝|aa|··|bb|＝－2155.
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板块二 典例探究·考向突破
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考向 空间向量的线性运算 例 1 如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中， 设A→A1＝a，A→B＝b，A→D＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC， C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)A→P；(2)A→1N； (3)M→P＋N→C1.
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触类旁通 用已知向量表示某一向量的方法
用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，利 用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表 示出来．
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【变式训练 1】 在三棱锥 O－ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量O→A，O→B， O→C表示O→G，M→G.
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考向 空间向量的坐标运算 例 2 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－ 3,0,4)，设 a＝A→B，b＝A→C. (1)若|c|＝3，且 c∥B→C，求 c； (2)求 a 和 b 的夹角的余弦值； (3)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k 的值．
＝13a＋13b＋13c.
因为A→C1＝3A→G，所以 A，G，C1 三点共线．
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触类旁通 证明三点共线和空间四点共面的方法比较
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【变式训练 3】 如图，已知斜三棱柱 ABC－A1B1C1， 点 M，N 分别在 AC1 和 BC 上，且满足A→M＝
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触类旁通 空间向量的坐标表示主要应用于向量平行、垂直、向量 的模、向量的夹角，在研究几何问题中只要建立适当的坐标 系，把空间几何体中涉及的直线和平面用向量表示，就可以 使得几何证明通过代数运算得到解决，这是使用空间向量研 究立体几何问题的基本思想．
[必备知识]
考点 1 空间向量的有关定理
1．共线向量定理
对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存
在实数 λ，使 a＝λb .
2．共面向量定理
如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共
面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使
p＝xa＋yb
.
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3．空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋zc .其中，{a，
b，c}叫做空间的一个 基底．
推论：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任一
点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使O→P＝
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2．[课本改编]已知 a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若
a∥b，则 λ 与 μ 的值可以是( )
A．2，12
B．－13，12
C．－3,2 D．2,2
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10 10 .
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(3)∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)， ∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝ 0.∴k＝2 或 k＝－52. 即当 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直时，k＝2 或 k＝－52.
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[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D ＋D→A＝0.( √ ) (2)|a|－|b|＝|a＋b|是 a，b 共线的充要条件．( × ) (3)空间中任意两非零向量 a，b 共面．( √ ) (4)对于空间非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0.( √ ) (5)对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，得 a＝c.( × )
A→B＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z1)
；
a1b1＋a2b2＋a3b3
(7)cos〈a，b〉＝ a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
.
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[必会结论] 点共线和点共面问题 (1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共 线问题，如证明 A，B，C 三个点共线，即证明A→B与A→C共线． (2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题， 要证明 P，A，B，C 四点共面，只要能证明P→A＝xP→B＋yP→C， 或对空间任一点 O，有O→A＝O→P＋xP→B＋yP→C，或O→P＝xO→A＋ yO→B＋zO→C(x＋y＋z＝1)即可．
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(2)a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
；
(3)a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
；
(4)λa＝ (λa1，λa2，λa3)