第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。

(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。

(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。

(√)4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。

(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。

(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。

(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。

(√)8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+2213ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。

(×) 9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式，而不需附加任何条件。

(×) 10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。

(×)图11.23二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。

2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。

3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。

4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。

5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数和等于零。

6. 质点M 质量为m ，在Oxy 平面内运动， 如图11.24所示。

其运动方程为kt a x cos =，kt b y sin =，其中 a 、b 、k 为常数。

则质点对原点O 的动量矩为abk L O =。

7. 如图11.25所示，在铅垂平面内，均质杆OA 可绕点O 自由转动，均质圆盘可绕点A 自由转动，杆OA 由水平位置无初速释放，已知杆长为l ，质量为m ；圆盘半径为R ，质量为M 。

则当杆转动的角速度为ω时，杆OA 对点O 的动量矩O L =ω231ml ；圆盘对点O 的动量矩O L =ω2Ml ；圆盘对点A 的动量矩A L =0。

图11.24 图11.258. 均质T 形杆，OA = BA = AC = l ，总质量为m ，绕O 轴转动的角速度为ω，如图11.26所示。

则它对O 轴的动量矩O L =ω2ml 。

9. 半径为R ，质量为m 的均质圆盘,在其上挖去一个半径为r = R /2的圆孔，如图11.27所示。

则圆盘对圆心O 的转动惯量O J =23213mR 。

图11.26 图11.2710. 半径同为R 、重量同为G 的两个均质定滑轮，一个轮上通过绳索悬一重量为Q 的重物，另一轮上用一等于Q 的力拉绳索，如图11.28所示。

则图11.28(a)轮的角加速度1ε= R Q G Qg )2(2+；图11.28(b )轮的角加速度2ε=GRQg2。

(b) (a)图11.28三、选择题1. 均质杆AB ，质量为m ，两端用张紧的绳子系住，绕轴O 转动，如图11.29所示。

则杆AB 对O 轴的动量矩为 A 。

(A)ω265ml (B) ω21213ml (C) ω234ml (D) ω2121ml 2. 均质圆环绕z 轴转动，在环中的A 点处放一小球，如图11.30所示。

在微扰动下，小球离开A 点运动。

不计摩擦力，则此系统运动过程中 B 。

(A) ω不变，系统对z 轴的动量矩守恒 (B) ω改变，系统对z 轴的动量矩守恒 (C) ω不变，系统对z 轴的动量矩不守恒 (D) ω改变，系统对z 轴的动量矩不守恒3. 跨过滑轮的轮绳，一端系一重物，另一端有一与重物重量相等的猴子，从静止开始以速度v 向上爬，如图11.31所示。

若不计绳子和滑轮的质量及摩擦，则重物的速度 B 。

(A) 等于v ，方向向下 (B) 等于v ，方向向上(C) 不等于v(D) 重物不动图11.29 图11.304. 在图11.32中，摆杆OA 重量为G ，对O 轴转动惯量为J ，弹簧的刚性系数为k ，杆在铅垂位置时弹簧无变形。

则杆微摆动微分方程为 D (设θθ=sin )。

(A) θθθGb ka J --=2 (B) θθθGb ka J +=2 (C) θθθGb ka J --=-2 (D) θθθGb ka J -=-2图11.31 图11.325. 在图11.33中，一半径为R 。

质量为m 的圆轮，在下列情况下沿水平面作纯滚动：(1) 轮上作用一顺时针的力偶矩为M 的力偶；(2) 轮心作用一大小等于/M R 的水平向右的力F 。

若不计滚动摩擦，二种情况下 C 。

(A) 轮心加速度相等，滑动摩擦力大小相等 (B) 轮心加速度不相等，滑动摩擦力大小相等 (C) 轮心加速度相等，滑动摩擦力大小不相等 (D) 轮心加速度不相等，滑动摩擦力大小不相等6. 如图11.34所示组合体由均质细长杆和均质圆盘组成，均质细长杆质量为M 1，长为L ，均质圆盘质量为M 2，半径为R ，则刚体对O 轴的转动惯量为 A 。

(A) 2222210)(213L R M R M L M J +++=(B) 2222210)(2112L R M R M L M J +++=(C) 2222210213L M R M L M J ++=(D) 2222210213R M R M L M J ++=图11.33 图11.34四、 计算题11-1各均质物体的质量均为m ，物体的尺寸及绕固定轴转动角速度方向如图11.35所示。

试求各物体对通过点O 并与图面垂直的轴的动量矩。

(a)(c)(b)图11.35解：（a ）杆OA 对通过点O 并与图面垂直的轴的动量矩为ωω231ml J L O O ==（b ）圆盘对通过点O 并与图面垂直的轴的动量矩为ωω221mR J L O O ==（c ）圆盘对通过点O 并与图面垂直的轴的动量矩为ωωω22223)21(mR mR mR J L O O =+==11-2 如图11.36所示，鼓轮的质量11800kg m =，半径025m r .=，对转轴O 的转动惯量2853kg m O J .=⋅。

现在鼓轮上作用力偶矩0743kN m M .=⋅来提升质量22700kg m =的物体A 。

试求物体A 上升的加速度，绳索的拉力以及轴承O 的反力。

绳索的质量和轴承的摩擦都忽略不计。

解：（1）选整体为研究对象，受力分析如图所示。

应用质点系动量矩定理，有 gr m M r m J O 2022)(-=+ε解得鼓轮转动的角加速度为)/(21.325.027003.8525.08.927007430222220s rad r m J gr m M O =⨯+⨯⨯-=+-=ε物体A 上升的加速度为)/(8.02s m r a A ==ε（2）要求绳索的拉力，可选物体 A 为研究对象，受力分析如图所示。

应用质点运动微分方程，有g m F a m T 22-=解得绳索的拉力为)(62.288.027008.9270022kN a m g m F T =⨯+⨯=+=（3）要求轴承O 的反力，可选鼓轮为研究对象，受力分析如图所示。

应用质心运动定理，有0=Ox F ，0'1=--T Oy F g m F 解得 0=Ox F ，)(26.46'1kN F g m F T Oy =+=AF gAg 2mT FA aF g 1'T(b)(c)图11.36 图11.3711-3 半径为R ，质量为m 的均质圆盘与长为l 、质量为M 的均质杆铰接，如图11.37所示。

杆以角速度ω绕轴O 转动，圆盘以相对角速度r ω绕点A 转动，(1)r ωω=；(2)r ωω=-，试求系统对转轴O 的动量矩。

解：系统对转轴O 的动量矩是由杆对转轴O 的动量矩和圆盘对转轴O 的动量矩两部分组成。

杆对转轴O 的动量矩为ω231Ml L O -=杆（1）当r ωω=时，圆盘转动的绝对角速度为 a 2r ωωωω=+= 圆盘对转轴O 的动量矩为ωωω22221ml mR l mv mR L A a O --=⨯--=圆盘故系统对转轴O 的动量矩为ωωω22231ml mR Ml L L L O O O ---=+=圆盘杆（2）当r ωω=-时，圆盘转动的绝对角速度为 a 0r ωωω=+= 圆盘对转轴O 的动量矩为ωω2221ml l mv mR L A a O -=⨯--=圆盘故系统对转轴O 的动量矩为ωω2231ml Ml L L L O O O --=+=圆盘杆11-4 两小球C 、D 质量均为m ，用长为l 2的均质杆连接，杆的质量为M ，杆的中点固定在轴AB 上，CD 与轴AB 的夹角为θ，如图11.38所示。

轴以角速度ω转动，试求系统对转轴AB 的动量矩。

解：杆CD 对转轴AB 的动量矩可表示为θωωθ222sin 31)sin (2Ml x l Mdx L l l O =⨯=⎰-杆球C 、D 对转轴AB 的动量矩可表示为θω22sin ml L L D O C O ==球球 系统对转轴AB 的动量矩为θωθω2222sin 2sin 31ml Ml L L L L D O C O O O +=++=球球杆11-5 小球M 系于线MOA 的一端，此线穿过一铅垂管道，如图11.39所示。

小球M 绕轴沿半径MC R =的水平运动，转速为120r min n /=。

今将线OA 慢慢拉下，则小球M在半径2RM'C '=的水平圆上运动，试求该瞬时小球的转速。

解：选小球为研究对象，小球受有重力和绳子拉力作用，受力分析如图所示。

由于重力和绳子拉力对轴x 的矩均等于零，即0)(=∑F xM ，可知小球对x 轴的动量矩保持守恒。

即有2'R mv mvR = 而R v ω=，2''Rv ⋅=ω，代入上式，有 4'22R R ωω=故ωω4'=，即小球M 在半径2RM'C '=的水平圆上运动瞬时小球的转速为min)/(4804'r n n ==图11.38 图11.3911-6 一直角曲架ADB 能绕其铅垂边AD 旋转，如图11.40所示。