2017年隆回一中高中自主招生数学试题
考试时间120分钟 满分120分
一．选择题（本大题12小题，每小题4分，共48分） 1.在实数0，（−√3）0
，（−2
3）−2
，|−2|中，最大的是
A. 0
B. （−√3）0
C. （−2
3）−2
D. |−2| 2.如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（ ）
A ．10π
B ．15π
C ．20π
D ．30π
3.设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=（x+1）2+a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 1＞y 3＞y 2
C ．y 3＞y 2＞y 1
D ．y 3＞y 1＞y 2 4.如果不等式组{
x ＞a x ＜2
恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A ．a≤-1
B ．a ＜-1
C ．-2≤a＜-1
D ．-2＜a≤-1
5.若关于x 的一元二次方程(k-1)x 2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )
A. k ＜5
B. k ＜5，且k≠1
C. k≤5，且k≠1
D. k ＞5
6.如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，1），B （3，1），C （2，2），当直线y=1
2x+b 与△ABC 有交点时，b 的取值范围是（ ）
A ．-1≤b ≤1
B ．−1
2≤b≤1 C ．−1
2≤b≤1
2 D ．-1≤b≤1
2
7.如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC=90°，O A=1，BC=6，则⊙O的半径为（）
A.√13
B.2√13
C.3√2
D.2√3
8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA
的延长线于F，则AE+AF的值等于（）
A.2
B.3
C.4
D.6
9.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）
A．20° B．30° C．40° D．50°
10.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE为矩形的是（）
A.AB=BE
B.BE⊥DC
C.∠ADB=90°
D.CE⊥DE
要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）
A．288° B．144° C．216° D．120°
11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b=0；
③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a-b+c＞0；⑤若ax
12+bx
1
=ax
2
2+bx
2
，且x
1
≠x
2
，则
x 1+x
2
=2.正确的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
二．填空题：（本大题6小题，每小题4分，共24分）
13.因式分解：-2x 2y+12xy-16y= ．
14.已知{x =2
y =1 是二元一次方程组{mx +ny =7nx −my =1
的解，则m+3n 的立方根为 ．
15.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，
若S △DEC =3，则S △BCF = .
16.求1+2+22
+23
…+22014
的值，可令S=1+2+22+23…+22014， 则2S=2+22+23+24+…+22015，因此2S-S=22015-1，
仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52014的值为 ．
C 的中点
D ．若矩形OABC 的面积为8，则k 的值为 ．
三．解答题：（共6小题，共48分）
19.(5分)先化简，再求值：(1+1
x−1)÷2x
x 2−1 ,其中x =√2−1
20.（5分）计算：2cos230°-sin30°+1
cot30−2sin45
21.（8分）如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD 的面积比为1：3；
（1）求证：△ADC∽△BAC；
（2）当AB=8时，求sinB．
22.（8分）今年我市某公司分两次采购了一批大蒜,第一次花费40万元,第二次花费60万元.已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元,第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元,第二次采购的数量是第一次采购数量的两倍.
(1)试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元?
(2)该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片,若单独加工成蒜粉,每天可加工8吨大蒜,每吨大蒜获利1 000元;若单独加工成蒜片,每天可加工12吨大蒜,每吨大蒜获利600元.为出口需要,所有采购的大蒜必须在30天内加工完毕,且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半.为获得最大利润,应将多少吨大蒜加工成蒜粉?最大利润为多少?
23.（10分）如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x 轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？
24.（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，cot A =3
，AC=6√2以BC为斜边
2
向右侧作等腰直角△EBC，P是BE延长线上一点，连接PC，以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD，CD交线段BE于点F，连接BD．
（1）求证：PC：CD=CE：BC；
（2）若PE=x（0＜n≤4），△BDP的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△BDF为等腰三角形时，求PE的长度．。