因为点P1的坐标为 (x1,y1)，点 P2的坐标为P2(x2,y2) 是点P1 和点P2的距离,由此得到两点 P1(x1,y1)， P2(x2,y2)间的距离公式
例1 如图8-2所示,平行四边形 ABCD的四个顶点坐标分别为A(0,0) , B(6,0), C(8,4), D(2,4)，请分别求出这个平行四边形的对角线长。 解: 这个平行四边形的对角线分别是AC和BD,由两点距离公式可得
则得到
我们称上式为线段的中点坐标公式.
8.2 直线的方程
8.2.1 直线的倾斜角与斜率
在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了解决这个问题，我们首先 要确定直线在坐标系中的位置情况． 1.直线的倾斜角 不同的直线主要区别是倾斜程度不同．观察图8-4，直线 l向上的方向与 x轴的正方向所成 的最小正角，叫做直线l 的倾斜角．记作 α。如图8-4中的 α就是倾斜角．很明显，图8-4（1） 中直线l的倾斜角α是锐角，图8-4（2）中直线l 的倾斜角α是钝角．
例2 已知点A(-3,2) ，B(-2,5)在x轴上求一点P，使∣PA∣= ∣PB∣ ，并求 ∣PA∣的值. 解：设点P(x0,0) ,于是有
由 ∣PA∣= ∣PB∣得 X02+6x0+13= X02+4x0+29 解得 所以，所求点为P(8,0) ，且 X0=8
8.1.2 线段的中点坐标公式
下面来介绍中点坐标公式. 如图8-3所示,已知线段AB的两个端点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),设AB的中点M的坐 标为(x,y),则有
综上所述，我们得到经过点P1(x1,y1)， P2(x2,y2) , 两点的直线的斜率公式：
当 x1=x2时，直 斜角是900， 不存在.
8.2.2 直线的点斜式方程和斜截式方程
1、直线的点斜式方程 已知直线l的斜率是k ，并且经过点P1(x1,y1) ，求直线l的方程（图8-6） 设点P(x,y)是直线l上不同于P1的任意一点，因直线 l的斜率为k ，根据斜率公式，得
8.1 平面解析几何的两个基本公式
在学习平面解析几何时，经常要用到两个基本公式，一是两点间距离公式，另一个是线段的 中点坐标公式.
8.1.1 两点间距离公式
在初中，我们了解到两点之间线段最短，即这两点之间的距离最短。如图8-1所示，已知平面 上两点 P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求它们的距离∣P1 P2∣呢？
上式可化为
由上述推导过程可知： （1）过点P1(x1,y1) 且斜率为k 的直线 l上的每一点的坐标都满 足上述方程； （2）坐标满足上述方程的每一点都在过点 P1(x1,y1)且斜率为k 的直线 上。 所以，上述方程就是斜率为k 且过点P1(x1,y1) 的直线 l的方程．而斜率为 k且过点 P1(x1,y1) 的直线 l 就是上述方程的几何图形。 由于上述方程是由直线上一定点及其斜率确定的，所以我们叫做直线的点斜式方程．
解： 解方程组
所以， l1和l 2 的交点是M(-2,2) ，如图8-11所示.
如果方程组有惟一解，那么这两条直线相交,此解就是是直线 l1和l 2的交点坐标；如果方程组有无 穷解,那么这两条直线有无穷个交点，即两条直线重合；如果方程组无解,那么这两条直线无公共点， 即两条直线 l1和l2 平行. 因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线的方程所组成的方程组
是否有惟一解． 例1 求下列两条直线的交点
特别地，当直线 l与 x轴重合时，它的方程为y= 0 ，当直线l 与 y轴重合时，它的方程为x = 0 .
8.2.3 直线的一般式方程
8.3 两条直线的位置关系
8.3.1 两条相交直线的交点
如果两条直线
相交,如何求这两条直线的交点坐标呢? 通常用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立起来求解. 一般地,将两条直线的方程联立,得到方程组
当代数与几何分道扬镰时，它们的进展很缓慢，应用也有限。但是，这两门学科一 旦联袂而行，它们就相互从对方吸收新鲜的活力，从而大踏步地走向完善。 ——拉格朗日（Lagrange 公元1736-1813年） （法国数学家）
读一切好书，就是和许多高尚的人说话。 ——笛卡尔(Rene·Descartes 公元1596-1650年) （法国数学家）
21世纪中等职业学校规划教材
数
学
（下 册）
北京出版社
第八章
直线和圆的方程
8.1平面解析几何的两个基本公式 8.1.1两点间距离公式 8.1.2线段的中点坐标公式 8.2直线的方程 8.2.1直线的倾斜角与斜率 8.2.2直线的点斜式和斜截式方程 8.2.3直线的一般方程 8.3两条直线的位置关系 8.3.1两条相交直线的交点 8.3.2两条直线平行的条件 8.3.3两条直线垂直的条件 8.3.4点到直线的距离公式 8.4圆的方程 8.4.1圆的定义和标准方程 8.4.2圆的一般式方程 8.4.3直线与圆的位置关系 8.5直线的方程与圆的方程应用
世界五彩缤纷，随处都能见到几何图形，比如直线、圆、椭圆和抛物线等，而这些 简单的平面图形，在坐标系中都可以用代数形式表示出来，进而就可以用代数方法研究 它们． 在数学中，通过坐标法研究几何问题的方法叫做解析法．用解析法研究平面几何， 从而产生了平面解析几何. 本章就针对直线和圆等简单的平面几何图形，用解析法来研究它们相关的性质．
现在来考虑两种特殊情况： (1)若直线 l过点P1(x1,y1) ，且倾斜角为00 ，此时直线 l与 x轴平行 或重合，求直线 l的方程（如图8-8（1） 由于直线l 倾斜角α=00，得斜率k=0 ，由点斜式得直线l 的方程为 y- y1=0(x-x1) 即此时直线方程为 y= y1 (2)若直线l 过点P1(x1,y1) ，且倾斜角为 900 ，此时直线 l与 y轴平 行或重合，求直线l 的方程（如图8-8（2）） 因为直线 l倾斜角 α=900 ，所以直线l 斜率不存在，它的方程不能 用点斜式表示，但因 l上每一点的横坐标都等于x1 所以此时直线方程为 x=x1，