数字信号处理作业提交日期：2016年7月15日实验一 维纳滤波器的设计第一部分设计一维纳滤波器。

(1)产生三组观测数据，首先根据()(1)()s n as n w n =-+产生信号()s n ，将其加噪(信噪比分别为20,10,6dB dB dB )，得到观测数据123(),(),()x n x n x n 。

(2)估计()i x n ，1,2,3i =的AR 模型参数。

假设信号长度为L ，AR 模型阶数为N ，分析实验结果，并讨论改变L ，N 对实验结果的影响。

1 实验原理滤波技术是信号分析、处理技术的重要分支，无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传递是至关重要的。

信号分析检测与处理的一个十分重要的内容就是从噪声中提取信号，实现这种功能的有效手段之一是设计一种具有最佳线性过滤特性的滤波器，当伴有噪声的信号通过这种滤波器的时候，它可以将信号尽可能精确地重现或对信号做出尽可能精确的估计，而对所伴随噪声进行最大限度地抑制。

维纳滤波器就是这种滤波器的典型代表之一。

维纳（Wiener ）是用来解决从噪声中提取信号的一种过滤（或滤波）方法。

这种线性滤波问题，可以看做是一种估计问题或一种线性估计问题。

设一线性系统的单位样本响应为()h n ，当输入以随机信号()x n ，且()()()x n s n v n =+，其中()s n 表示原始信号，即期望信号。

()v n 表示噪声，则输出()y n 为()=()()my n h m x n m -∑，我们希望信号()x n 经过线性系统()h n 后得到的()y n 尽可能接近于()s n ，因此称()y n 为估计值，用ˆ()sn 表示。

则维纳滤波器的输入-输出关系可用下面表示。

设误差信号为()e n ,则ˆ()()()e n s n sn =-,显然)(n e 可能是正值，也可能是负值，并且它是一个随机变量。

因此，用它的均方误差来表达误差是合理的，所谓均方误差最小即它的平方的统计期望最小：222ˆ[|()|][|()()|][|()()|]E e n E s n sn E s n y n =-=-=min 。

而要使均方误差最小，则需要满足2[|()|]jE e n h ∂=0.进一步导出维纳-霍夫方程为：()()()()*(),0,1,2...xs xx xx iR m h i R m i R m h m m =-==∑写成矩阵形式为：xs xx R R h =，可知：1xs xx h R R -=。

表明已知期望信号与观测数据的互相关函数以及观测信号的自相关函数时，可以通过矩阵求逆运算，得到维纳滤波器的最佳解。

2 实验及分析（1）根据公司产生原始信号()()()1s n as n w n =-+，并分别加入不同信噪比的噪声，从而得到三组观测数据()()()123,,x n x n x n 。

幅度原始信号幅度X 1信噪比为20db幅度X 2信噪比为10db幅度X 2信噪比为6db（2）滤波前后信号对比误差a.首先讨论信号长度L对实验结果的影响信噪比为10db的噪声，AR模型阶数N=10，当L=50时信噪比为10db的噪声，AR模型阶数N=10，当L=100时滤波前后信号对比误差信噪比为10db的噪声，AR模型阶数N=10，当L=150时滤波前后信号对比误差通过对比可以看出，当滤波器的阶数一定时，观测数据长度的增加，可以减少输出信号与期望信号间的差值。

因此，观测信号的长度L对实验有着重要的影响，输入样本的个数增加可以提高维纳滤波的性能。

b.讨论AR模型的阶数N对实验结果的影响信噪比为10db的噪声，信号长度为L=100，当AR模型阶数N=5时滤波前后信号对比误差信噪比为10db的噪声，信号长度为L=100，当AR模型阶数N=10时滤波前后信号对比误差信噪比为10db的噪声，信号长度为L=100，当AR模型阶数N=15时滤波前后信号对比误差通过对比可以看出数据长度一定时，可以通过改变滤波器的阶数来减小最小均方误差，从而达到改变整体滤波的效果。

因此可知滤波器的阶数对实验结果有很大影响，增加阶数可以提高滤波器的性能。

3 结论综上所述，我们可以看到，增加输入信号的长度L 和增加滤波器的阶数N ，都可以显著的提高滤波器的性能。

因此，在设计维纳滤波器时需要注意以上两点，考虑其对实验结果的最终影响，慎重选择。

第二部分设计一维纳滤波器1）任选一幅图片，采用运动模糊函数使图片模糊，然后用维纳滤波进行图像复原，并计算出图像复原后的输出图象与原图象的误差（可根据每个象素点上的灰度值差来计算）。

2）任选一幅由于照相技术而产生的模糊图片，采用维纳滤波进行图像复原，并计算出图像复原后的输出图象与原图象的误差（可根据每个象素点上的灰度值差来计算）。

1 维纳滤波的基本原理维纳(Wiener)滤波是用来解决从噪声中提取信号问题的一种过滤(或滤波)的方法。

实际上这种线性滤波问题，可以看成是一种估计问题或一种线性估计问题。

一个线性系统，如果它的单位样本响应为()h n ，当输入一个随机信号()x n ，且=)(n x )(n s )(n v + (1)其中)(n s 表示信号，)(n v 表示噪声，则输出)(n y 为)(n y ∑-=mm n x m h )()( (2)我们希望()x n 通过线性系统()h n 后得到的()y n 尽量接近于()s n ,因此()y n 称为()s n 的估计值，用()s n ∧表示，即=)(n y )(n s ∧(3)图1 维纳滤波器的输入一输出关系如图3-1所示。

这个线性系统()h n 称为对于()s n 的一种估计器。

实际上，式(2-2)的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值)(n x ,)1(-n x ,)2(-n x …)(m n x -,…来估计信号的当前值)(n s ∧。

因此，用)(n h 进行过滤的问题可以看成是一个估计问题。

由于我们现在涉及的信号是随机信号，所以这样一种过滤问题实际上是一种统计估计问题。

一般，从当前的和过去的观察值)(n x ,)1(-n x ,)2(-n x …估计当前的信号值=)(n y )(n s ∧称为过滤或滤波;从过去的观察值，估计当前的或将来的信号值=)(n y )(N n s +∧ )0(≥N 称为预测或外推;从过去的观察值，估计过去的信号值=)(n y )-(N n s ∧)1(≥N 称为平滑或内插。

因此维纳过滤又常常被称为最佳线性过滤与预测或线性最优估计。

这里所谓最佳与最优是以最小均方误差为准则的。

这里只讨论过滤与预测问题。

如果我们以:与s 分别表示信号的真值与估计值，而用)(n e 表示它们之间的误差，即=)(n e -)(n s )(n s ∧(4)显然，)(n e 可能是正的，也可能是负的，并且它是一个随机变量。

因此，用它的均方值来表达误差是合理的，所谓均方误差最小即它的平方的统计平均值最小:[]m in 2)(n e E min2^)()(⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=n s n s E (5)采用最小均方误差准则作为最佳过滤准则的原因还在于它的理论分析比较简单，不要求对概率的描述。

并且在这种准则下导出的最佳线性系统对其它很广泛一类准则而言也是最佳的。

2 维纳滤波对退化图像的恢复维纳滤波是一种有约束的复原恢复，它综合了退化图像和噪声统计特性两个方面进行了复原处理。

维纳滤波，它是使原图像),(y x f 及其恢复图像),(^y x f 之间的均方差最小的复原方法，即：min ),(),(2^=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y x f y x f E (6) 式中，{}.E 为数学期望算子。

因此，维纳滤波器通常又叫最小均方差滤波器。

很容易推到出原始图像的傅里叶变换估计为： ),(),(),(^v u G v u H v u F w ==),(.),(),(),(),(.),(122v u G v u p v u p v u H v u H v u H f uγ+ (7)上式也称作约束复原恢复通用的表达式，它的传递函数为：),(v u H w ),(.),(),(),(),(.),(122v u G v u p v u p v u H v u H v u H f uγ+= (8)3.实验结果及分析模糊图像维纳滤波复原图像(NSR=0)维纳滤波复原图像(NSR=0.002)维纳滤波复原图像(NSR=0.005)维纳滤波复原图像(NSR=0.008)维纳滤波复原图像(NSR=0.015)维纳滤波复原图像(NSR=0.015)维纳滤波复原图像(NSR=0.015)维纳滤波复原图像(NSR=0.015)图2 使用维纳滤波进行图片复原模糊图像维纳滤波复原图像(NSR=0)NSR=0时的灰度差值维纳滤波复原图像(NSR=0.002)NSR=0.002时的灰度差值维纳滤波复原图像(NSR=0.005)维纳滤波复原图像(NSR=0.008)维纳滤波复原图像(NSR=0.015)NSR=0.015时的灰度差值图3 对由于拍照技术造成的运动模糊图像进行处理原图像退化并加高斯白噪声后的图象逆滤波恢复后的图象维纳滤波恢复后的图象图4 对图像加噪后进行滤波复原图2所示是对西安市钟楼的照片加噪后进行维纳滤波，从结果来看，随着信噪比的增大，滤波效果越来越好。

滤波后的图像与原图像每个像素点的差值之和明显减小。

图3所示是用维纳滤波对由于拍照技术产生的模糊图片进行处理的结果，处理结果表明，维纳滤波对运动模糊图像的复原效果很好，图2中第6幅图与原图相比明显清晰了许多。

图2中后三幅图是三种信噪比下，滤波后的图像与原图像每个像素点的差值绘制出的图像。

从三幅图中明显可以看出，信噪比较大时复原的图像与原图像的像素点的差值明显减小。

实验二 卡尔曼滤波器的设计第一部分 1 实验题目假设一个点目标在x ，y 平面上绕单位圆做圆周运动，由于外界干扰，其运动轨迹发生了偏移。

其中，x 方向的干扰为均值为0，方差为0.05的高斯噪声；y 方向干扰为均值为0，方差为0.06的高斯噪声。

1）产生满足要求的x 方向和y 方向随机噪声500个样本； 2）明确期望信号和观测信号；3）试设计一FIR 维纳滤波器，确定最佳传递函数：1opt xx xs h R R -=，并用该滤波器处理观测信号，得到其最佳估计。

（注：自行设定误差判定阈值，根据阈值确定滤波器的阶数或传递函数的长度）。

4）要求3中，也可以选择Kalman 滤波器进行滤波处理，采用哪种滤波器可以自由选择。

5）分别绘制出x 方向和y 方向的期望信号、噪声信号、观测信号、滤波后信号、误差信号的曲线图；6）在同一幅图中绘制出期望信号、观测信号和滤波后点目标的运动轨迹。