C
a2b2c22 bcco As b2a2c22acco Bs b
a
c2a2b22 acbo Cs
推论：coAs b2
c2 a2 2bc
Ac
利用余弦定理可
B
a2 c2 b2 coBs
以解决什么类型 的三角形问题？
2ac
coCsa2 b2 c2 2ab
解决实际问题
在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，
C 1 8 0 A B 1 8 0 6 0 4 5 7 5
题型三、判断三角形的形状
例1、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状
题型三、判断三角形的形状
例2、在△ABC中，若a2 b2c2，
则△ABC的形状为（ ）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
例 3、 在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc 且 sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC 的形状．
[解] ∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， ∴a2＝b2＋c2－bc. 又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，则2cosA＝1，∴A＝60°. 又∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝ 2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120°，∴△ABC是等边三角形．
题型二、已知三角函数的三边解三角形
例1、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形(依次求解A、B、C). 解：由余弦定理得
cosAb2c2a222( 31)2( 6)21
2bc
22(31) 2
A60
coBsa2c2b2 ( 6)2( 31)222
2ac
2 6( 31)
2 2
B45
的夹角为∠C， 求边c.
设 CB a ,Cb A ,A B c
由向量减法的三角形法则得
c ab
c 2cc(ab)(ab)
﹚
aa2abb2b22aabbcoCs
a2b22ac bo C s
c2a2 b 22 acbo Cs
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
BC=a,CA=b,求AB 边 c.
由向量减法的三角形法则得
c 2 c c acb(ab)(ab)
﹚
aa2ab b2b22aab bcoCs
a2b22ac bo C s
余弦定理
c2a2 b 22 acbo Cs a2b2c22 bcco As b2a2c22acco Bs
余弦定理
角对边的平方等于两边平方的和减去这两边
与它们夹角的余弦的积的两倍。
复习回顾
a
b
c
正弦定理：
＝
＝
=2R
sin A sin B sin C
（其中2R为△ABC外接圆直径）
正弦定理能解哪两类三角形呢？
① 已知两边和其中一边的对角，求其他角和边.
② 已知两角和一边，求其他角和边.
思考：你能求出下图中岛屿A和岛屿B
120°
?
岛屿C
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
A 2 C A 2 B B 2 C 2 A B B cC B os
623.42263.4co1s2o0
C
6.796
AC8.24
答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km.
题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例 1 、 A 在 中 BC ， b 3 ,已 c23 知 , A 3 ,0
Ｂ、直角三角形 Ｄ、不能确定
那a2b2c2呢?
知识提炼：
由推论我们能判断三角形的角的情况吗?
C
推论： coAsb2c2a2 2bc
b
a
提炼：设a是最长的边，则
Ac
B
△ABC是钝角三角形 b2c2a20
△ABC是锐角三角形 b2c2a20 △ABC是直角三角形 b 2c2a 20
题型三、判断三角形的形状
设 CB a ,Cb A ,A B c
由向量减法的三角形法则得
c ab
c 2cc(ab)(ab)
﹚
aa2ab b2b22aab bcoCs
a2b22ac bo C s
c2a2 b 22 acbo Cs a2b2c22 bcco As
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设BC C= a,B a C,AC =b ,b A 求,A AB 边B c c.
3、判断三角形的形状
课外作业： P10 A组 3、4
小结:
余弦定理：
推论:
a2b2c22bcco As
cosAb2
c2 a2 2bc
b2a2c22acco Bs
c2 a2 b2
c2a2b22acbo CscosB 2ca
cosCa2 b2 c2 2ab
余弦定理可以解决的有关三角形的问题：
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角；
求 B 、 角 C 和 a 的 边值
C
解：由余弦定理知， a2 b2 c2 2bccosA
a
b
3 2 2 3 2 2 3 2 3 c3 o 3 0 s B c
A
a 3 由正弦a定 理 b 得
s
inBbs
inA312
sin A sin B
3 bc,B60
a
32
C 18 A 0B90