第11章梁的弯曲应力教学提示：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面上的切应力；提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。

教学要求：掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。

掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。

熟练掌握弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。

了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。

从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。

在外荷载作用下，梁截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。

弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。

本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。

11.1梁的弯曲正应力平面弯曲情况下，一般梁横截面上既有弯矩又有剪力，如图11.1所示梁的AC、DB段。

而在CD段内，梁横截面上剪力等于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。

下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公式。

应综合考虑变形几何关系、物理关系和静力学关系等三个方面。

11.1.1 弯曲正应力一般公式1、变形几何关系为研究梁弯曲时的变形规律，可通过试验，观察弯曲变形的现象。

取一具有对称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上，画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线ab和cd，如图11.2(a)所示。

然后按图11.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲状态。

从试验中可以观察到图11 .2(b)情况：（1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是横线间作相对转动。

（2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。

（3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加，情况与轴向拉、压时的变形相似。

根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。

前者称为弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。

根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上不存在剪应力。

根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图11.2(c)所示。

中性层与横截面的交线称为中性轴。

对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。

综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面保持平面，仍与变弯后的梁轴正交，并绕中性轴作相对转动，而所有纵向纤维则均处于单向受力状态。

从梁中截取一微段dx ，取梁横截面的对称轴为y 轴，且向下为正，如图11.3 (b)所示，以中性轴为y 轴，但中性轴的确切位置尚待确定。

根据平面假设，变形前相距为dx 的两个横截面，变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度d θ，并仍保持为平面。

中性层的曲率半径为ρ，因中性层在梁弯曲后的长度不变，所以dx d o o ==ϕρ21又坐标为y 的纵向纤维ab 变形前的长度为ϕρd dx ab ==变形后为ϕρd y ab )(+=故其纵向线应变为ρϕρϕρϕρεyd d d y =-+=)(（a ）可见，纵向纤维的线应变与纤维的坐标y 成正比。

2、物理关系因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都处于单向受力状态，当应力小于比例极限时，由胡克定律知εσE =将(a)式代入上式，得ρσyE= (b)这就是横截面上正应力变化规律的表达式。

由此可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，而在距中性轴为y 的同一横线上各点处的正应力均相等，这一变化规律可由图11.4来表示。

3、静力学关系以上已得到正应力的分布规律，但由于中性轴的位置与中性层曲率半径的大小均尚未确定，所以仍不能确定正应力的大小。

这些问题需再从静力学关系来解决。

如图11.5所示，横截面上各点处的法向微内力σdA 组成一空间平行力系，而且由于横截面上没有轴力，仅存在位于x-y 平面的弯矩M ，因此，0N AF dA σ==⎰(c)⎰==Ay dA z M 0σ (d)==⎰dA y M Az σ(e)以式(b)代入式(c)，得0==⎰⎰AAydA EdA ρσ(f)上式中的积分代表截面对z 轴的静矩S z 。

静距等于零意味着z 轴必须通过截面的形心。

以式(b)代入式(d)，得0==⎰⎰AAyzdA EdA ρσ(g)式中，积分是横截面对y 和z 轴的惯性积。

由于y 轴是截面的对称轴，必然有I yz =0,所示上式是自然满足的。

以式(b)代入式(e)，得dA y EdA y M AA⎰⎰==2ρσ （h ）式中积分2ZAy dA I=⎰ （i ）是横截面对z 轴（中性轴）的惯性矩。

于是，(h)式可以写成zEI M=ρ1（11.1）此式表明，在指定的横截面处，中性层的曲率与该截面上的弯矩M 成正比，与EI z 成反比。

在同样的弯矩作用下，EI Z 愈大，则曲率愈小，即梁愈不易变形，故EI z 称为梁的抗弯刚度。

再将式(11.1)代入式(b),于是得横截面上y 处的正应力为y I Mz=σ （11.2） 此式即为纯弯曲正应力的计算公式。

式中M 为横截面上的弯矩；I z 为截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中性轴的距离。

当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力，上部纤维缩短而产生压应力；弯矩为负时，则与上相反。

在利用（11.2）式计算正应力时，可以不考虑式中弯矩M 和y 的正负号，均以绝对值代入，正应力是拉应力还是压应力可以由梁的变形来判断。

应该指出，以上公式虽然是纯弯曲的情况下，以矩形梁为例建立的，但对于具有纵向对称面的其他截面形式的梁，如工字形、T 字形和圆形截面梁等仍然可以使用。

同时，在实际工程中大多数受横向力作用的梁，横截面上都存在剪力和弯矩，但对一般细长梁来说，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小。

因此，（11.2）式也适用于非纯弯曲情况。

11.1.2 最大弯曲正应力由式(11.2)可知，在y=y max 即横截在由离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为maxmax max y I M y I M z z ==σ式中，比值I z /y max 仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，也叫抗弯截面模量。

用W z 表示。

即为maxy I W zz =（11.3） 于是，最大弯曲正应力即为zW M=max σ （11.4） 可见，最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。

抗弯截面系数综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。

图11.6中矩形截面与圆形截面的抗弯截面系数分别为62bh W z = (11.5)323d W z π=(11.6)而空心圆截面的抗弯截面系数则为()43132απ-=D W z (11.7) 式中ɑ=d/D ，代表内、外径的比值。

至于各种型钢截面的抗弯截面系数，可从型钢规格表中查得（见附录）。

例11.1 图11.7所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F 作用，已知：h=18cm ，b=12cm ，y=6cm ，a=2m ，F=1.5KN 。

计算A 截面上K 点的弯曲正应力。

解 先计算截面上的弯矩kNm Fa M A 325.1-=⨯-=-= 截面对中性轴的惯性矩473310832.51218012012mm bh I Z ⨯=⨯==则MPa y I M Z A k 09.36010832.510376=⨯⨯⨯==σ A 截面上的弯矩为负，K 点是在中性轴的上边，所以为拉应力。

11.2 平面图形的几何性质构件在外力作用下产生的应力和变形，都与构件的截面的形状和尺寸有关。

反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量，如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇到的极惯性矩和这一章前面遇到的惯性矩、抗弯截面系数等，统称为截面的几何性质。

为了计算弯曲应力和变形，需要知道截面的一些几何性质。

现在来讨论截面的一些主要的几何性质。

11.2.1形心和静矩若截面形心得坐标为y C 和z C （C 为截面形心），将面积得每一部分看成平行力系，即看成等厚、均质薄板的重力，根据合力矩定理可得形心坐标公式AdA y yAzdA z ACAC⎰⎰==, （a ）静矩又称面积矩。

其定义如下，在图11.8中任意截面内取一点M （z,y ）,围绕M 点取一微面积dA ，微面积对z 轴的静矩为ydA ，对y 轴的静矩为zdA ，则整个截面对z 和y 轴的静矩分别为：⎰⎰==AyA z zdAS ydA S (b) 有形心坐标公式CACA AzzdA Ay ydA ==⎰⎰知：CAy CAz Az zdA S Ay ydA S ====⎰⎰ (c)上式中y C 和z C 是截面形心C 的坐标，A 是截面面积。

当截面形心的位置已知时可以用上式来计算截面的静矩。

从上面可知，同一截面对不同轴的静矩不同，静矩可以是正负或是零；静矩的单位是长度的立方，用m 3 或cm 3 、mm 3等表示；当坐标轴过形心时，截面对该轴的静矩为零。

当截面由几个规则图形组合而成时，截面对某轴的静矩，应等于各个图形对该轴静矩的代数和。

其表达式为i ni i z y A S ∑==1 (d)i n i i y z A S ∑==1(e)而截面形心坐标公式也可以写成∑∑=i ii C Ay A z (f)∑∑=iii CAz A y (g)11.2.2惯性矩、惯性积和平行移轴定理在图11.8中任意截面上选取一微面积dA ，则微面积dA 对z 轴和y 轴的惯性矩为z 2dA 和Y 2dA 。

则整个面积对z 轴和y 轴的惯性矩分别记为I z 和I y ，而惯性积记为I zy ，则定义：22,z Ay AI y dA I z dA==⎰⎰ (h)⎰=Azy zydA I (i)极惯性矩定义为：222()z y AAI dA z y dA I I ρρ==+=+⎰⎰ (j)从上面可以看出，惯性矩总是大于零，因为坐标的平方总是正数，惯性积可以是正、负和零；惯性矩、惯性积和极惯性矩的单位都是长度的四次方，用m 4 或cm 4 、mm 4等表示。

同一截面对不同的平行的轴，它们的惯性矩和惯性积是不同的。

同一截面对二根平行轴的惯性矩和惯性积虽然不同，但它们之间存在一定的关系。

下面讨论二根平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。

图11.9所示任意截面对任意轴对z ´轴和y ´轴的惯性矩、惯性积分别为I z ´、I y ´ 和I z ˊy ˊ 。

过形心C 有平行于z ´、y ´的两个坐标轴z 和y ，截面对z 、y 轴的惯性矩和惯性积为I z 、I y 和I zy 。