2014年12月27日导数综合组卷一．选择题（共16小题）1．（2014•郑州一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）．2．（2014•郑州模拟）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）．C D．3．（2014•西藏一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）4．（2014•陕西）定积分（2x+e x）dx的值为（）36．（2014•江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）D7．（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，32．D．10．（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af （x）+b=0的不同实根个数是（）11．（2013•辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）．．．D．13．（2009•安徽）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（）[][[14．（2009•天津）设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R内恒成15．（2014•上海二模）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有16．（2013•文昌模拟）设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为．C D二．填空题（共9小题）17．（2014•江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是_________．18．（2014•江苏模拟）各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a7=4，a6=8，若函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10的导数为f′（x），则f′（）=_________．19．（2014•萧山区模拟）设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=_________．20．（2014•沈阳二模）已知函数f（x）=x（x﹣a）（x﹣b）的导函数为f′（x），且f′（0）=4，则a2+2b2的最小值为_________．21．（2014•孝感二模）如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为（1，），那么曲线y=f （x）任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是_________．22．（2014•长葛市三模）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为_________．23．（2015•惠州模拟）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为_________．24．（2014•江苏模拟）已知函数f（x）满足f（x）=2f（），当x∈[1，3]，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g （x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是_________．25．（2012•江苏）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是_________．三．解答题（共5小题）26．（2014•遵义二模）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．27．（2014•浙江）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．28．（2014•河西区三模）已知函数f（x）=+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f′（1）=0，且f′（x）≥0在R上恒成立．（1）求a，c，d的值；（2）若，解不等式f′（x）+h（x）＜0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f′（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．29．（2014•四川模拟）已知函数f（x）=lnx+x2．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．30．（2014•天津三模）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x．（a∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2014•郑州一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）．曲线的一条切线的斜率为，﹣，解得2．（2014•郑州模拟）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）．C D．x在点处的切线方程是坐标轴的交点是（，﹣，围成的三角形面积为，故选3．（2014•西藏一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）的一条切线的斜率为，∵4．（2014•陕西）定积分（2x+e x）dx的值为（）（）3x6．（2014•江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）Df（（=x，显然，，∴=x（﹣（=x，显然，=x（））（）+7．（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，：x cos x dx=sinx cosx：（dx=（））32．D．﹣|．10．（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af11．（2013•辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（））满足∴时，dx∴∴，∴∴．．．D．解：∵，x）单调递增；x=是函数）的极大值点，则，即，即∵=﹣（13．（2009•安徽）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（）[][[coscos+，∈[，]）[，）[，14．（2009•天津）设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R内恒成15．（2014•上海二模）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞，都有＞+x16．（2013•文昌模拟）设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为．C D．＜x==ln3=（二．填空题（共9小题）17．（2014•江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．18．（2014•江苏模拟）各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a7=4，a6=8，若函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10的导数为f′（x），则f′（）=．，于是，解得，∴∵=∴=故答案为19．（2014•萧山区模拟）设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=1．有零点，易得，﹣＜﹣﹣20．（2014•沈阳二模）已知函数f（x）=x（x﹣a）（x﹣b）的导函数为f′（x），且f′（0）=4，则a2+2b2的最小值为8．a=21．（2014•孝感二模）如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为（1，），那么曲线y=f （x）任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是[，）．），因为倾斜角只能在[，）[，）22．（2014•长葛市三模）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（﹣∞，﹣2016）．23．（2015•惠州模拟）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．24．（2014•江苏模拟）已知函数f（x）满足f（x）=2f（），当x∈[1，3]，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是≤a＜．）[[，[=a=，，∴，解得，＜＜＜），此时﹣＜，[≤；[≤＜故答案为：．25．（2012•江苏）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是[e，7]．≤×﹣≤×于是可得≤cln从而≥的最小值，于是问题解决．∴＞∴≤，特别当=7cln，≥（，当=e=e=e的取值范围是≥，通过构造函数求三．解答题（共5小题）26．（2014•遵义二模）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．，其对称轴为，得，∴）当）在减．∴27．（2014•浙江）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．=，时，=时，最小值）上是增函数，∴③﹣28．（2014•河西区三模）已知函数f（x）=+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f′（1）=0，且f′（x）≥0在R上恒成立．（1）求a，c，d的值；（2）若，解不等式f′（x）+h（x）＜0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f′（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．∴x+c，有上恒成立，即=a，于是由二次函数的性质可得，解得：，）∵．∴时，解集为（时，解集为（）时，解集为）∵，∴=∴使函数，即．∵，∴或，均应舍去．1+2．其中时，函数29．（2014•四川模拟）已知函数f（x）=lnx+x2．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．结合题意，列出方程组，证得函数，，当且仅当∴，可得，令，，得∵，∴）单调递减；若当）取得极小值，极小值为，由④式变为所以函数，即，也就是30．（2014•天津三模）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x．（a∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，求a 的取值范围．）上无零点，只需要对，，在区间故要使函数恒成立，即对，则，）在）在上为增函数，所以恒成立，只要）在时，上不单调，故，即）对任意式解得：可知，当。