指数与指数函数 [基础训练]1．函数f (x )＝a x ＋b －1(其中0<a <1，且0<b <1)的图象一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C 解析：由0<a <1可得函数y ＝a x 的图象单调递减，且过第一、二象限．∵0<b <1，∴－1<b －1<0，∴0<1－b <1，∴y ＝a x 的图象向下平移1－b 个单位即可得到y ＝a x ＋b －1的图象，∴y ＝a x ＋b －1的图象一定经过第一、二、四象限，一定不经过第三象限．2．已知x ，y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y 答案：D 解析：2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y .3．设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( )A ．[0,2]B ．(1,3)C ．[1,3)D ．(1,4) 答案：C 解析：由题意，得A ＝{x ||x －1|<2}＝{x |－1<x <3}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝[1,3)．4．下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是 ( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝log 2x答案：B 解析：y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数，不符合题意；y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数．且是奇函数符合题意，故选B.5．设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1的大小关系是 ( )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N 答案：D 解析：因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1<1，所以M >N ，故选D.7．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )答案：B 解析：y ＝|f (x )|＝|2x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥1，2－2x，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f (x )|≥0，又|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，故选B.9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．解：(1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减， 在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)． (2)设g (x )＝|x |－a ，由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 有最小值－2. 所以a ＝2.2．已知x>0，函数f(x)＝2x－a2＋2－x＋a22x－2－x的最小值为2，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 答案：A 解析：f (x )＝2x －a2＋2－x ＋a 22x －2－x＝22x ＋2－2x －2a 2x －2－x ＋2a 22x －2－x＝2x －2－x2－2a 2x －2－x ＋2a 2＋22x －2－x＝2x －2－x ＋2a 2＋22x －2－x －2a ≥22x －2－x·2a 2＋22x －2－x－2a ＝22a 2＋2－2a ，故22a 2＋2－2a ＝2，得a ＝1， 当且仅当2x －2－x ＝2时等号成立．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案：C 解析：当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，即a >－3， 此时－3<a <0.当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1， ∴0≤a <1.综上，a 的取值范围是(－3,1)．4．如图，四边形OABC 是面积为8的平行四边形，AC ⊥CO ，AC与BO 交于点E ，某指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a ＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3答案：A 解析：设E (t ，a t )，易知点B 的坐标为(2t,2a t )． ∵B 点在函数y ＝a x 的图象上， ∴2a t ＝a 2t ，∴a t ＝2(a t ＝0舍去)．∴平行四边形OABC 的面积＝OC ·AC ＝a t ·2t ＝4t . 又平行四边形OABC 的面积为8， ∴t ＝2，∴a ＝ 2.故选A.5．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝c x 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案：B 解析：由题中图象可知a >1，b ＝12，c <12，故选B.6．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，b ＝log 120.3，c ＝a b ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．b <c <a答案：B 解析：b ＝log 12 0.3>log 1212＝1>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，c ＝a b <a ，∴c <a <b .故选B.7．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案：B 解析：由f (1)＝19，得a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为y ＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)，故选B.8．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x－2|}，则f (x )的最小值为________．答案：e 解析：由题意知，f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x ，x <1.当x ≥1时，f (x )≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ； 当x <1时，f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.9．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.答案：14 解析：当a >1时，有a 2＝4，a －1＝m ，故a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意； 若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数，符合题意．故a ＝14.10．已知函数f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 解：(1)∵f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－a a 2－1(a x －a －x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)当a >1时，∵y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数， ∴y ＝a x －a －x 为增函数． 又∵a >1时，a a 2－1>0，∴f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )为增函数． 当0<a <1时，∵y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数， ∴y ＝a x －a －x 为减函数． 又∵0<a <1时，a a 2－1<0，∴f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )为增函数． 综上，函数f (x )为增函数．(3)要使x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立， 只需f (x )在x ∈[－1,1]上满足f (x )min ≥b 即可． 又由(2)得函数f (x )为增函数，∴f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1，∴b≤－1.故b的取值范围为{b|b≤－1}．11.已知函数f(x)＝1－42a x＋a(a>0，a≠1)且f(0)＝0.(1)求a的值；(2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；(3)当x∈(0,1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)对于函数f(x)＝1－42a x＋a(a>0，a≠1)，由f(0)＝1－42＋a＝0，得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝1－42·2x＋2＝1－22x＋1.∵函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k＝2x＋1－2＋k＝2x－1＋k有零点，∴函数y＝2x的图象和直线y＝1－k有交点，∴1－k>0，即k<1.(3)∵当x∈(0,1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，即1－22x＋1>m·2x－2恒成立，亦即m<32x －22x2x＋1恒成立，令t＝2x，则t∈(1,2)，且m<3t－2t t＋1＝3t＋1t t＋1＝1t＋2t＋1.11由于y ＝1t ＋2t ＋1在t ∈(1,2)上单调递减， ∴1t ＋2t ＋1>12＋22＋1＝76，∴m ≤76.。