一、和平行四边形有关的辅助线作法1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.2．利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED证:ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.图3 图4说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE长.图6说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.三、与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6 如图7，已知矩形ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.图7四、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7如图8，过正方形ABCD 的顶点B 作BE 证：∠BCF=21∠AEB.说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO ，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.与中点有关的辅助线作法一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形．例1．已知：如图，AD 为ABC ∆中线，求证：AD AC AB 2>+.A类题1．已知：如图，AD 为ABC ∆的中线，AE=EF.求证：BF=AC.二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形. 例2．已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于M.求证：222BQ AP PQ +=.类题2．已知：ABC ∆的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND.三、有中点时，可连结中位线．例3．如图，ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、AC 上点，且BD=CE ，M 、N 为BE 、CD 中点，连MN 交AB 、AC 于P 、Q ，求证：AP=AQ ．CAEM类题3．已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：()CD AB EF ->21.类题4．如图，ABC ∆中，AD 是高，CE 为中线，CE DG ⊥，G 为垂足，DC=BE.求证：（1）G 是CE 的中点；（2）BCE B ∠=∠2.四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题例4．已知：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，AB=AC ，D 为BC 边中点，P 为BC 上一点，AB PF ⊥于F ，AC PE ⊥于E.求证：DF=DE.A D F EB C类题5．已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点，求证：FD BF ⊥.六、与梯形中点有关的辅助线：有腰中点时，常见以下三种引辅助线法例5．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AB ⊥，M 为CD 的中点.求证：AM=MB.类题6．已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为BC 中点，AD EF ⊥于F.求证：AD EF S ABCD ⋅=梯形.F B （1）B （2） GB（3）A BE A【作业】1、 已知△ABC 和△DBE 为等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，A 、B 、D 在同一直线上，M 、N 、P 分别是AD 、AC 、DE 边上的中点，试说明MP 与MN 的关系并证明。
2、如果上题中A 、B 、D 不在同一直线上，其余条件不变，上述结论是否发生变化证明结论。
3、平行四边形ABCD ，对角线相交于点O ，P 、E 、F 分别是AD 、OB 、OC 的中点，AC=2AB 。
求证：PE=EF4、等腰梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠AOB=60°，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点。
求证：△EFM 是等边三角形。
N M P E DCB A N M P E DC B A A B CD OE PF C D E OA B C DEM N5、如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，M 、N 、P 、Q 分别是AD 、BC 、BD 、AC 的中点。
求证：MN 与PQ 互相垂直平分。
6、如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD ，垂足为点D ，求证：2DE=BC-AC7、BD 、CE 分别为△ABC 外角平分线，AM ⊥BD 于M ，AN ⊥CE 于N ，探究MN 与AB 、BC 、AC 的关系。
附加题：（1）若将上题中BD 改为∠ABC 的平分线，其它条件不变，则上题结论是否成立。
（2）若BD 、CE 分别为∠ABC 和∠ACB 的平分线，其它条件不变，以上结论是否成立(画图、证明)AB C D M N PQA A8、△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α，在AB 、AC 上截取AD 、AE ，且AD=AE ，连结DE 。
如图1所示，则易证BD=CE ，如图2所示，将△ADE 逆时针针旋转到如图所示位置，连结BD 、CE 。
（1）判断BD 与CE 的数量关系及BD 、CE 延长线所夹锐角的度数。
（2）点G 、F 分别是等腰△ABC 、等腰△ADE 底边的中点，∠BAC=∠DAE=α，点P 是线段CD 的中点，试探索∠GPF 与α的关系，并加以证明。
9、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；（2）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且CD=CA ，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形；（3）如图2，若点D 在△ABC 的内部，（2）中的其他条件不变，EF 与CD 交于点H ．图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由． A B C D E B C D E A BC D E A B C D EAP GF1、在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结EF，FG，GH，HE。
（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形，并说明理由。
2、如图,在四边形ABC 中,AB=AD,CB=CD,点M,N,P,Q 分别是AB,BC,CD,DA 的中点，求证:四边形MNPQ 是矩形.小结：中点四边形：对角线 的四边形的中点四边形是菱形对角线 的四边形的中点四边形是矩形对角线 的四边形的中点四边形是正方形对角线 的四边形的中点四边形是平行四边形(1) 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是 .(2) 顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是 .(3) 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是 .(4) 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是 .(5) 顺次连接正方形各边中点所得的四边形是练习题：1、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）A ．矩形B ．直角梯形C ．菱形D ．正方形2、如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是A 、等腰梯形B 、矩形C 、菱形D 、正方形3、.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（ ）①平行四边形 ②菱形 ③等腰梯形 ④对角线互相垂直的四边形A.①③B.②③C.③④D.②④4、顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形5．如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AD=BC ，点E,F,G,H 分别是AB,BC ，CD ，DA 的中点，则下列结论一定正确的是( ).A. ∠HGF = ∠GHEB. ∠GHE = ∠HEFC. ∠HEF = ∠EFGD. ∠HGF = ∠HEF6、如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。
已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 。
……P D A C Q M N7、我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD可以是．8、如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD 的边至少满足条件时，四边形EFGH是菱形．9、如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形A n B n C n D n.（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；（3）写出四边形A n B n C n D n的面积；（4）求四边形A5B5C5D5的周长.10．如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．ABCDEFGH…A1AA2A3BB1B2B3CC2C1C3DD2D1D3第9题图。