问题的提出
函数解析式未知，或计算复杂，用函数p(x)去近似代
替它，使得 p(xi)= yi (i=0,1,2,…,n) 这类问题称为插值问题。函数p(x)称为插值函数。
x0,x1,… xn称为插值节点，简称节点。 插值节点所界的区间称为插值区间。
p(xi)= yi 称为插值条件。 求插值函数的方法称为插值法。
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§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
差商表
1.1 差商
xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]
x0 x1
f(x0) f(x1)
f[x0,x1]
x2 f(x2) f[x1,x2]
x3 f(x3) f[x2,x3] …… …
f[x0,x1,x2] f[x1,x2,x3] …
aa00
a1 x0 a1 x1
a2 x02 a2 x12
y0 y1
a0
a1 x2
a2 x22
y2
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本章内容
§1不等距节点下的牛顿基本差商公式 §2 等距节点下的牛顿基本差商公式 §3 不等距节点下的拉格朗日插值公式 §4 等距节点下的拉格朗日插值公式 §5 插值公式的唯一性及其应用 §6 反插值 §7 埃尔米特插值多项式 §8 三次样条插值 §9多元函数插值
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§1 不等距节点下的 牛顿基本差商公式
9
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
1.1 差商 1.2 牛顿基本差商公式的建立 1.3牛顿基本差商公式的余式估计
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§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
差商(也叫均差)
f(x)在xi点的零阶差商为
f[xi]= f(xi)
(i=0,1,2,…,n)
1.1 差商
f(x)在[xi,xj]区间上零阶差商之差商为一阶差商
f [xi , x j ]
f [xj ] f [xi ] x j xi
f (x j ) f (xi ) x j xi
11
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
1.1 差商
f(x)在[xi,xj,xk]区间上一阶差商之差商为二阶差商
f [xi , x j , xk ]
本章讨论：
1、多项式的插值法
构造n次多项式 Pn(x)= a0 + a1x + a2x2+…+ anxn
使满足Pn(xi)= yi (i=0,1,2,…,n)
2、利用Pn(x)进行插值计算
5
问题的提出
n＝1：求一次多项式P1(x)，要求通过(x0,y0)， (x1,y1)两点。
(x1,y1)
P1(x) f(x)
(x0,y0)
• P1(x)= a0 + a1x
a0 a1 x0 y0 a0 a1 x1 y1
6
问题的提出
n＝2：求二次多项式P2(x)，要求通过(x0,y0)， (x1,y1)， (x2,y2)三点。
P2(x) f(x)
(x2,y2)
(x0,y0) (x1,y1)
P2(x)= a0 + a1x + a2x2
f [x j , xk ] f [xi , x j ] xk xi
例如：f [ x0 , x1, x2 ]
f [ x1, x2 ] f [ x0 , x1] x2 x0
一般的，可定义区间[xi,xi+1,…,xi+n]上的n阶差商为
f [ xi , xi1,..., xin ]
f [ xi1, xi2 ,..., xin ] f [ xi , xi1,..., xin1] xin xi
1 （ f (xk ) f (x j ) f (x j ) f (xi ) ） xk xi xk x j x j xk x j xi xi x j
f[x0,x1,x2 ,x3] …
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§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
1.1 差商
例5.1 求出f(x)=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值
解：用如下表计算
xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2, xi+3] f[xi,xi+1,xi+2, xi+3 , xi+4]
1.1 差商
以x代表时间t, f(x)代表路程s,
一阶差商si / ti =Vi； 二阶差商为上述平均速度的平均变化率——平均加速
度,…,
差商表的数值可以直接反映出函数值的变化情况
差商的重要特性——对称性
例如：
f[x0 , x1]=
f ( x1) f ( x0 ) f ( x1) f ( x0 )
课程内容
第一章 数值计算中的误差 第二章 方程（组）的迭代解法 第三章 解线性方程组的直接解法 第四章 解线性方程组的迭代法 第五章 插值法 第六章 数值积分与数值微分
1
第五章 插值法
2
插值法简介
古老的数学方法，来自生产实践。 –一千多年前，我国科学家在研究历法时就应用了线性 插值与二次插值，但基本理论却是在微积分产生以后 才逐步完善的。 –计算机的使用和航空、造船、精密机械加工等实际问 题的需要，理论上和实践上得到进一步发展。 –近几十年发展起来的样条(Spline)插值，获得极为广 泛的应用，是计算机图形学的基础。
x1 x0
x1 x0 x0 x1
f[x1 , x0]= f ( x0 ) f ( x1 ) x0 x1
f ( x0 ) f ( x1) x0 x1 x1 x0
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§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
1.1 差商
f [xi , x j , xk ]
f [x j , xk ] f [xi , x j ] xk xi
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问题的提出
情况一：函数解析式未知，
通过实验观测得到的一组数据，即在某个区间
[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)，
x
x0 x1 x2 …… xn
y
y0 y1 y2 …… yn
情况二：虽有明确解析式，但计算复杂
——需要用比较简单且易于计算的函数p(x)去近似代替
y=p(x)
y=f(x)
4
0 0 80 4 2 8 20
27 8 19
19 4 5 30
3
27 3 2
125 27 49
49 19 1Biblioteka 52535 125
91 49 14
216 125 91 6 3
65
6 216
10 5 1 50 14 10 1 62
11 0 60
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§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式