Ek
1 2
mv2
单位：（J）
设质点m在力的作用下沿 曲线从a点移动到b点
dr
b
元功：
F
dW F dr F cosds a
F cos
ma
m dv dt
dW
F
cosds m
dv ds dt
mvdv
总功：
W
dW
v2 v1
mvdv
1 2
m(v22
v12 )
质点的动能定理：
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
对系统内所有质点求和
i
n
n
n
n
Wi内 Wi外 Ek2i Ek1i
fi
i 1
i 1
i 1
i 1
W内 W外 Ek 2 Ek1
质点系的动能定理：
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和 内力作功之代数和。
值得注意：
内力做功可以改变系统 的总动能。
例3 如图所示，用质量为M的铁锤把质量为m 的钉子 敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深 度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入 1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完 全相同，问第二次能把钉子敲入多深？
dxi dyj dzk
bx ax
Fxdx
by ay
Fydy
bz az
Fzdz
在自然坐标系中
F F e Fnen dr dse
W
b
F dr
a
b
a F e
Fnen
dse
s1 s0
F
ds
附:功率的定义：
功率是反映作功快慢程度的物理量。
功率： 单位时间内所作的功。
平均功率： P W 瓦特（W）=（J/s） t
解：设物体在台面上滑动
时，在其上的长度为 x，则所受摩擦力可 表示为：
L v0
x
L
s
f m m gx (0 x L) f mmg (L x)
L
当物体前端在s处停下来时，台面对物体的摩擦力所做 的功：
s
Wf f dx 0 fdx
(
L m m gxdx) (
s
mmgdx)
0L
解 设铁锤敲打钉子前的 速度为v0，
敲打后两者的共同速 度为v。
Mv0 (M m)v
v Mv0 M m
O
S1
S2
x
铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻 力大小为：
f kx
M m , v v0
由动能定理， 有：
0
1 2
mv02
S1 0
kxdx
1 2
kS12
设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为ΔS ，则有
第4章 功和能
主要内容：
功 动能定理 势能 引力势能 由势能求保守力 机械能守恒定律 守恒定律的意义 碰撞 两体问题 流体的稳定流动
4.1 功
功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力 对空间积累作用。
功的定义：
物体发在生力了F位的移作用r，下则， 把 位力 移在r位的移乘方积向称的为分功力。与
z
F
瞬时功率：
lim P
W dW
t0 t dt
P dW dt
F dr dt
F v
例1、设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N。如
果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作
了多少功？
解： F ma a F 6t 3t a dv
m2
dt
dv adt 3t dt
两边积分：
L
mmg( L s L) mmg(s L)
2
2
由动能定理：
Wf
0
1 2
mv02
v0
2mg(s L)
2
一对力的功
系统内力总是成对出现
f1 f2
W f1 r1 f2 r2
r 1
B1
f
1
r
B2
r
21
W
1 2
mv22
1 2
mv12
Ek 2
Ek1
注意事项：
1、功虽然可以改变物体的动能，但功与动能 还是有区别的，功是过程量，动能是状态量。
2、动能定理适用于惯性系，功与动能的关系 成立是参考与同一个惯性系而言。
2．质点系的动能定理
一个由n个质点组成的质点系，考察第i个质点。
质点的动能定理：
Fi
Wi外 Wi内 Ek2i Ek1i
v
t
0 dv 0 3tdt
v dx dt
v 3t2 2
dx vdt 3 t 2dt 2
W F dx 2 6t 3 t 2dt 9 t 4 2 36 J
02
40
例2：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦 系数 m ，在外力作用下小物体（质量 m ）以速率 v做匀 速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。
F1
dr
F2
b a
Fn
Fn dr
dr
W W1 W2 Wn
结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点
作功之代数和。
在直角坐标系Oxyz中
F Fxi Fy j Fzk
r xi yj zk dr dxi dyj dzk
b
b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
0
1 2
mv02
S1 S
S1
kxdx
1 2
k
(
S1
S)2
1 2
kS12
(S1 S)2 2S12
化简后
S1 S 2S1
第二次能敲入的深度为：
S 2S1 S1 ( 2 1) 1cm 0.41cm
例4、矿砂由料槽均匀落在水平传送带上,砂流量q=50kg/s, 传送带匀速移动v=1.5m/s,求电动机拖动皮带的功率,看是 否等于单位时间内砂获取的动能?
解： 小物体对环带压力
r
v2
f m
r
走一段小位移 ds 所做的功
dW mm v2 ds
r
转一周 W dW mm v2 2r ds 2mmv2 r0
若桌面与小物体的摩擦系数也为µ则转一周摩擦力 做的功? 若是均匀的直杆呢?若是均匀的圆盘呢?
4.2 动能定理
1．质点动能定理
动能： 质点因有速度而具有的作功本领。
r
F
r1
O
x
y
W F r cos F r
国际单位：焦耳（J ）N·m
质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，
b F
b b
W a F dr a F cos dr a
合力的功：
b
b
W
F dr
a
b
a F1 dr
b a
a F2
解： p f v
f t mv
f m v qv p qv2 113W t
EK
1 mv2 2
EK 56.5W P t
砂受到f作用,同样皮带也受到反作用力,其大小等于f, 方向相反!
例5、如图传送机通过滑道将长为L，质量为m的柔软匀 质物体以初速度v0向右送上水平台面,物体前端在台面上 滑动s后停下,已知滑道上的摩擦可以不计,物体与台面的 摩擦系数为µ,而且s>L,试求物体的初速度v0。