一格点A的格矢则为
0
R ll1 a 1l2 a 2l3 a 3
劳厄衍射方程
从图中看出，光程差为CO+OD
Rl •(SS0)
当光程差为波长整数倍时则衍射加强，即
R l•(SS0)n
考 则虑劳到厄衍射方k程0 也和可2表S示0 为
，k
2
S
S0
CO Rl • S0 A OD Rl • S
R l•(kk0)2n
[110]方向记作Σ： [111]方向记作Λ：
H 2 a
N 2 2 2a
P 3 2 2a
4）面心立方正格子的布里渊区 晶格的基矢和倒格子的基矢为
可见其倒格子为体心立 方结构
a1
a2
a jk
2
a k + i
2
b1
2
a
-i
b2
2
a
i
+ -
j k j+k
a3
a 2
i
j
b3
2
a
i
j
的垂直平分线
同第I布里渊区边界线围成的区域 称为第II布里渊区，其大小为
( 2 )2 a
(4 )
(1 )
b2 b1
(2 )
(3 )
第三布里渊区 由4个倒格点
2b1, 2b2
(2 )
2b1, 2b2
的垂直平分线
同第Ｉ区的边界线和第二II区的边 界线围成第III区，其大小为
( 2 )2 a
(3 )
§2.2.1 倒格子的定义
假设晶格的原胞基矢为 、、，
原胞体积 a 1 a 2 a 3
a1(a2a3)
构建一新的空间，其基 矢为
由这组基矢构成的格子称为对应于以 、 、 为基矢的正格子的倒易格子(简称倒格子)
a1
b1
2
a2 a3
b2
2
a3 a1
b3
2
a1 a2
a2 a3
b
、
1
b、2
b称为倒格子基矢 3
X-射线是由被高电压V加速了的电子，打击在“靶级”物质上而产生的一种电磁波，这 样为产生的X-射线，最大的光子能量h最大等于电子的能量eV，因此，X-射线的最短波长
m ine cV h12 V 00 (V:V , m in:nm )
实验上多采用40千伏，所产生的最短波长为0.03nm
V104V,m in~0.1nm
推论
2(l1h 1l2h2l3h3) 2
(0,1,2...)
如 其果 中两 一个 个矢 为量 正满 格足 矢关 ，系则式另一个必为倒格矢Rl Kh2
§2.3 布里渊区
在倒格子中，以某一倒格点为原点，作所有倒格矢G的垂直平分面，这些平面把倒易空间 分割成许多包围原点的多面体，其中离原点最近的多面体称为第一布里渊区，离原点次近 的多面体与第一布里渊区的表面所围成的区域称为第二布里渊区，以此类推，可得到第三、 第四等各布里渊区。
从数学上讲，倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应的傅里叶空间
倒易空间中每个格点的位置由倒格子矢量（又称倒 格矢）给出
K h h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3
§2.2.2 倒格子与正格子间的关系
1、正、倒格子基矢间的关系
ai bj 2ij20
(ij) (ij)
i, j 1,2,3
作为习题验证该关系
由前面证明可知，倒格矢
K 是晶面族
的法线方向
h1 h2 h3
（ h1h2h3）
dh1h2h3
a1 h1
Kh1h2h3 Kh1h2h3
a1 (h1b1h2b2 h3b3)
h1
Kh1h2h3
2 K h1h2h3
aibj 2ij
d h1h2h3
K h1h2h3
R 5、正格矢 与倒格矢 l
的关系 K h
2、倒格子原胞体积反比于正格子原胞体积倒数
正格子原胞体积 倒格子原胞体积
a1(a2a3)
*b1(b2b3)
* (2 )3
作为习题验证该关系
3、正格子中晶面指数为
的晶面（和h1倒h2格h3）矢 正交
Kh
意味着
倒格矢 是K晶h 面指数为
其 中 K h h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3
1）一维晶格
晶格基矢
a ai
倒格子基矢
b 2 i a
2）二维 正方格子
正方格子基矢
倒格子原胞基矢
可见倒格子的结构也是正方格子，晶格 常数为：
2 a
其倒格矢可以表示为：
Kh h1b1h2b2 2a(h1i h2j)
(h1和h2为整数)
a 1a i 2
b1 a i
a 2a j 2
b2 a j
b2 b1
Rl
C
S
OD
§2.1.3 衍射波的波幅与强度
由上面分析可知，在k方向上，两个原子产生的散射波的相位差为
2 光 程 差 R l•(kk0)
因此，k方向上散射波的幅度应当为来自两个原子散射波的幅度之和，即
A (k)0A e i(k k 0)• R l
其中 为第i个原子散射波幅度 i
若计及所有原子对散射波的贡献，则k方向散
基本判据：辐射的波长同晶格常数相当或小于晶格常数 晶体中的原子间距在0.1nm左右
图中给出了X-射线光子、电子和中子的波长与 能量的关系，可以看到，这三种粒子束的波长 都满足同晶格常数相当或小于晶格常数的判据
X-射线
1895年伦琴发现X-射线， 1912年劳厄意识到其波长在0.1nm量级，与晶体中的原子间距相 当，因此，晶体必可成为X射线的衍射光栅，随后布拉格用X射线证实NaCl等晶体具有 面心立方结构。
MnO具有NaCl结构，其中Mn2+可看成由(111) 密排面叠成的面心立方结构
同一(111）面内各离子的磁矩是平行的，而相 邻（111）面上的离子的磁矩是反平行的 。
§2.1.2 衍射方程
假设射线源与晶体距离以及观测点与晶体的距离都比晶体的线度大得多，因此，将入射波和
衍射波均可看成平面波，其传播方向分别用单位矢量S 和S表示，取格点O为原点，晶格中任
射波的幅度为
N
A(k)
ei(kk0)•Rj
j
j1
由此可得k方向的衍射强度为 2
I(k ) A(k )
k0
A
ei(k k0 )•(Rj Rj ' ) j j' j, j ' j
Rl
k
§2.2 倒格子
由于晶格周期性，一些物理量具有周期性，若Γ代表晶 体的某一物理性质（如电场强度、电子云密度、势能 等），由于晶格的周期性，则有
R ll1 a 1l2 a 2l3 a 3
K h h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3
R lK h 2 ( 0 , 1 , 2 . . . )
证明
R lK h ( l 1 a 1 l 2 a 2 l 3 a 3 ) ( h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3 )
l 1 a 1 h 1 b 1 l 2 a 2 h 2 b 2 l 3 a 3 h 3 b 3
表明：一个重复单元中任一r 处的物理性质同另一个重复单
元相应处的物理性质相同
( r ) ( r l 1 a 1 l 2 a 2 l 3 a 3 )
例如图中A和A’处的物理性质相同
或者说，物理性质为是周以期的三维周期函a数1、a2、a3
引入倒格子，可以将三维周期函数展开为傅里叶级数，
例如
V(r) V(Km)eiKmr m
中子 中子质量约为电子质量的2000倍，如果能量和电子束一样，则中子波长约为电子波长的 1/2000，因此，对中子束，只需0.1eV能量的中子就可产生0.1nm的波。
中子没有电荷但有磁矩，与晶体中电子自旋的相互作用，使得中子衍射成为探测晶体磁有序 结构的独特的手段
图 是 根 据 中 子 衍 射 推 断 出 MnO 晶 体 的 晶 体 结 构及其Mn2+离子的磁矩的有序排列
b2
(1 )
b1
(4 )
第一、第二和第三布里渊区
正方格子其它布里渊区的形成
正方格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里渊区经 过适当的平移之后和 第一布里渊区重合
2）二维斜格子 第一布里渊区
其它布里渊区的形成
其它布里渊区的形状
—— 每个布里渊区经 过适当的平移之后和 第一布里渊区重合
3）体心立方格子的第一布里渊区
第二章 晶体衍射和倒格子
§2.1 晶体衍射 §2.2 倒格子 §2.3 布里渊区 §2.4 布拉格反射 §2.5 原子散射因子 §2.6 几何结构因子
如何确定晶体结构
§2.1 晶体衍射
晶体的特点是其内部原子的周期性排列，形成不同方向等间 隔的晶面族
每组晶面族可以作为波的衍射光栅，因此，选择适当波长的 波入射到晶体上就有可能观察到衍射现象
直到今天，X射线衍射（XRD）仍为确定晶体结构的重要工具，但由于X射线穿透能力 太强，在某些方面，例如在研究晶体表面结构中，难以发挥作用。
电子
电子波动性的发现给人类确定晶体结构增添了另外一种手段
电子衍射是以电子束直接打在晶体上而形成的，电子束的德布罗意波的波长=h/p，利用 p2/2m=eV，V是电子的加速电压，因此有
同理可证
h1b1
ah11 h3b3
a3 h3
0
Kh1h2h3 CB0
所以晶面族
（与h和1h2倒h3格）矢
正交
K h1h2h3
K h1h2h3
4、倒格矢
K的长度正比于晶面族 h1 h2 h3
面间距 （的倒h1h数2h3）