当前位置:文档之家› 江苏省徐州市-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

江苏省徐州市-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年江苏省徐州市高一(上)期末数学试卷一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)1.已知集合A={﹣1,0,1},B={0,1,2},则A∩B=.2.函数y=3tan(2x+)的最小正周期为.3.已知点A(﹣1,2),B(1,3),则向量的坐标为.4.若指数函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的图象经过点(3,8),则f(﹣1)的值为.5.cos240°的值等于.6.函数f(x)=的定义域是.7.已知向量,满足||=2,||=,与的夹角为,则||=.8.若偶函数f(x)满足f(x+π)=f(x),且f(﹣)=,则f()的值为.9.设函数f(x)=则f(log214)+f(﹣4)的值为.10.已知a>0且a≠1,函数f(x)=4+log a(x+4)的图象恒过定点P,若角α的终边经过点P,则cosα的值为.11.将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,若对于满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1,x2,有|x1﹣x2|min=,则f()的值为.12.平行四边形ABCD中,||=6,||=4,若点M,N满足:=3,=2,则=.13.设函数f(x)=,若函数f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.14.已知不等式(mx+5)(x2﹣n)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,其中m,n是整数,则m+n的取值的集合为.二、解答题(共6小题,满分90分)15.(14分)已知集合A=[0,3),B=[a,a+2).(1)若a=﹣1,求A∪B;(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.16.(14分)已知向量=(cosα,sinα),=(﹣2,2).(1)若=,求(sinα+cosα)2的值;(2)若,求sin(π﹣α)•sin()的值.17.(14分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:(1)请将表中数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)若将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求当x∈[﹣,]时,函数g(x)的值域;(3)若将y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到y=h(x)的图象,若=h(x)图象的一个对称中心为(),求θ的最小值.18.(16分)已知向量=(m,﹣1),=()(1)若m=﹣,求与的夹角θ;(2)设.①求实数m的值;②若存在非零实数k,t,使得[+(t2﹣3)]⊥(﹣k+t),求的最小值.19.(16分)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过5吨时,每吨为2.6元,当用水超过5吨时,超过部分每吨4元,某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x吨.(1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费34.7元,分别求甲、乙两户该月的用水量和水费.20.(16分)已知函数f(x)=x2+4x+a﹣5,g(x)=m•4x﹣1﹣2m+7.(1)若函数f(x)在区间[﹣1,1]上存在零点,求实数a的取值范围;(2)当a=0时,若对任意的x1∈[1,2],总存在x2∈[1,2],使f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围;(3)若y=f(x)(x∈[t,2])的置于为区间D,是否存在常数t,使区间D的长度为6﹣4t?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.(注:区间[p,q]的长度q﹣p)2016-2017学年江苏省徐州市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)1.已知集合A={﹣1,0,1},B={0,1,2},则A∩B={0,1} .【考点】交集及其运算.【分析】利用交集的性质求解.【解答】解:∵集合A={﹣1,0,1},B={0,1,2},∴A∩B={0,1}.故答案为:{0,1}.【点评】本题考查集合的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集的性质的合理运用.2.函数y=3tan(2x+)的最小正周期为.【考点】三角函数的周期性及其求法.【分析】根据正切函数的周期公式进行求解即可.【解答】解:由正切函数的周期公式得T=,故答案为:【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算,根据条件结合正切函数的周期公式是解决本题的关键.3.已知点A(﹣1,2),B(1,3),则向量的坐标为(2,1).【考点】平面向量的坐标运算.【分析】根据平面向量的坐标表示,即可写出向量的坐标.【解答】解:点A(﹣1,2),B(1,3),则向量=(1﹣(﹣1),3﹣2)=(2,1).故答案为:(2,1).【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题,是基础题目.4.若指数函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的图象经过点(3,8),则f(﹣1)的值为.【考点】指数函数的图象与性质.【分析】先根据指数函数过点(3,8)求出a的值,再代入计算即可.【解答】解:指数函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象经过点(3,8),∴8=a3,解得a=2,∴f(x)=2x,∴f(﹣1)=2﹣1=,故答案为:.【点评】本题考查了指数函数的图象和性质,属于基础题.5.cos240°的值等于﹣.【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】将240°表示成180°+60°,再由诱导公式化简,再由特殊角的三角函数值求值.【解答】解:由题意得,cos240°=cos(180°+60°)=﹣cos60°=﹣.故答案为:﹣.【点评】本题考查了诱导公式的应用,熟记口诀:奇变偶不变,符号看象限,并会运用,注意三角函数值的符号,属于基础题.6.函数f(x)=的定义域是[e,+∞).【考点】函数的定义域及其求法.【分析】由根式内部的代数式大于等于0,求解对数不等式得答案.【解答】解:要使原函数有意义,则﹣1+lnx≥0,即lnx≥1,解得x≥e.∴函数f (x )=的定义域是[e ,+∞).故答案为:[e ,+∞).【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查了对数不等式的解法,是基础题.7.已知向量,满足||=2,||=,与的夹角为,则||=.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】利用两个向量的数量积的定义,根据||==,计算求的结果. 【解答】解:由题意可得||====,故答案为:.【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量的模的方法,属于基础题.8.若偶函数f (x )满足f (x +π)=f (x ),且f (﹣)=,则f ()的值为.【考点】函数奇偶性的性质.【分析】根据偶函数f (x )满足f (x +π)=f (x ),可知函数的周期T=π,则f ()=f ()即可得答案.【解答】解:由题意,f (x +π)=f (x ),可知函数的周期T=π,则f ()=f ()∵f (﹣)=,f (x )是偶函数.∴f ()=即f ()的值为.故答案为:.【点评】本题考查了函数的周期性的运用和计算,比较基础.9.设函数f(x)=则f(log214)+f(﹣4)的值为6.【考点】分段函数的应用;函数的值.【分析】由已知中函数f(x)=,将x=log214和x=﹣4代入计算可得答案.【解答】解:∵函数f(x)=,∴f(log214)=7,f(﹣4)=﹣1,∴f(log214)+f(﹣4)=6,故答案为:6.【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数求值,难度不大,属于基础题.10.已知a>0且a≠1,函数f(x)=4+log a(x+4)的图象恒过定点P,若角α的终边经过点P,则cosα的值为.【考点】对数函数的图象与性质.【分析】根据函数f(x)恒过定点P,求出P点的坐标,利用cosα的定义求值即可.【解答】解:函数f(x)=4+log a(x+4)的图象恒过定点P,即x+4=1,解得:x=﹣3,则y=4故P的坐标为(﹣3,4),角α的终边经过点P,则cosα=.故答案为:.【点评】本题考查考查了对数函数的恒过点坐标的求法和余弦的定义.属于基础题.11.将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,若对于满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1,x2,有|x1﹣x2|min=,则f()的值为1.【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】由题意可得到函数g(x)=sinω(x﹣),对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1﹣x2|min=﹣,由此求得ω的值,可得f(x)的解析式,从而求得f()的值.【解答】解:将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)=sinω(x﹣)的图象,若对于满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1,x2,有|x1﹣x2|min=,则﹣=,∴T==π,∴ω=2,f(x)=sin2x,则f()=sin=1,故答案为:1.【点评】本题主要考查了三角函数的图象平移,函数的最值以及函数的周期的应用,考查分析问题解决问题的能力,是好题,题目新颖.有一定难度,选择题,可以回代验证的方法快速解答,属于中档题.12.平行四边形ABCD中,||=6,||=4,若点M,N满足:=3,=2,则=9.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】用,表示出,,在进行计算.【解答】解:∵=3,=2,∴,,==.∴==,==﹣.∴=()•(﹣)=﹣=36﹣=9.故答案为:9.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,属于中档题.13.设函数f(x)=,若函数f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是1≤a<2,或a≥4.【考点】函数零点的判定定理.【分析】分段函数求解得出2x﹣a=0,x2﹣3ax+2a2=(x﹣a)(x﹣2a),分类分别判断零点,总结出答案.【解答】解:∵y=2x,x<2,0<2x<4,∴0<a<4时,2x﹣a=0,有一个解,a≤0或a≥4,2x﹣a=0无解∵x2﹣3ax+2a2=(x﹣a)(x﹣2a),∴当a∈(0,1)时,方程x2﹣3ax+2a2=0在[1,+∞)上无解;当a∈[1,2)时,方程x2﹣3ax+2a2=0在[1,+∞)上有且仅有一个解;当a∈[2,+∞)时,方程x2﹣3ax+2a2=0在x∈[1,+∞)上有且仅有两个解;综上所述,函数f(x)恰有2个零点,1≤a<2,或a≥4故答案为:1≤a<2,或a≥4【点评】本题考查了分段函数的性质的应用及分类讨论的思想应用,把问题分解研究的问题,拆开来研究,从多种角度研究问题,分析问题的能力.14.已知不等式(mx+5)(x2﹣n)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,其中m,n是整数,则m+n的取值的集合为{﹣4,24} .【考点】函数恒成立问题.【分析】对n分类讨论,当n≤0 时,由(mx+5)(x2﹣n)≤0得到mx+5≤0,由一次函数的图象知不存在;当n>0 时,由(mx+5)(x2﹣n)≤0,利用数学结合的思想得出m,n的整数解,进而得到所求和.【解答】解:当n≤0 时,由(mx+5)(x2﹣n)≤0,得到mx+5≤0 在x∈(0,+∞)上恒成立,则m不存在;当n>0 时,由(mx+5)(x2﹣n)≤0,可设f(x)=mx+5,g(x)=x2﹣n,那么由题意可知:,再由m,n是整数得到或,因此m+n=24或﹣4.故答案为:{﹣4,24}.【点评】本题考查不等式恒成立等知识,考查考生分类讨论思想、转化与化归思想及运算求解能力,属于较难题,根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质,得到两个函数的零点相同是解决本题的关键.二、解答题(共6小题,满分90分)15.(14分)(2016秋•徐州期末)已知集合A=[0,3),B=[a,a+2).(1)若a=﹣1,求A∪B;(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.【考点】集合的包含关系判断及应用.【分析】(1)吧a的值代入确定出B,求出A与B的并集即可;(2)由A与B的交集为B,得到B为A的子集,确定出a的范围即可.【解答】解:(1)∵A=[0,3),B=[a,a+2)=[﹣1,1),∴A ∪B=[﹣1,3); (2)∵A ∩B=B ,∴B ⊆A , ∴,解得:0≤a ≤1.【点评】此题考查了集合的包含关系判断及应用,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.16.(14分)(2016秋•徐州期末)已知向量=(cosα,sinα),=(﹣2,2).(1)若=,求(sinα+cosα)2的值;(2)若,求sin (π﹣α)•sin ()的值.【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算.【分析】(1)利用数量积运算、同角三角函数基本关系式可求2sinαcosα的值,即可得解.(2)根据平面向量的共线定理,同角三角函数基本关系式可求sinαcosα,进而利用诱导公式化简所求即可得解. 【解答】(本题满分为14分)解:(1)∵向量=(cosα,sinα),=(﹣2,2).=2sinα﹣2cosα=,∴解得:sinα﹣cosα=,两边平方,可得:1﹣2sinαcosα=,解得:2sinαcosα=﹣,∴(sinα+co sα)2=1+2sinαcosα=1﹣=.(2)∵,∴2cosα+2sinα=0,解得:cosα+sinα=0,∴两边平方可得:1+2sinαcosα=0,解得:sinαcosα=﹣,∴sin (π﹣α)•sin ()=sinα•cosα=﹣.【点评】本题考查了数量积运算、平面向量的共线定理,同角三角函数基本关系式的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.17.(14分)(2016秋•徐州期末)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:(1)请将表中数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)若将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求当x∈[﹣,]时,函数g(x)的值域;(3)若将y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到y=h(x)的图象,若=h(x)图象的一个对称中心为(),求θ的最小值.【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象.【分析】(1)由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组,求得A、ω、φ的值,得到函数解析式,进一步完成数据补充.(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可求g(x),利用正弦函数的性质可求其值域.(3)由(1)及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得g(x),令2x+2θ+=kπ,解得x=﹣θ,k∈Z.令:﹣θ=,结合θ>0即可解得θ的最小值.【解答】解:(1)根据表中已知数据,解得A=3,ω=2,φ=,数据补全如下表:函数表达式为f(x)=3sin(2x+).(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到图象对于的函数解析式为:g(x)=3sin(x+).由x∈[﹣,],可得:x+∈[﹣,],可得:sin(x+)∈[﹣,1],可得:函数g(x)=3sin(x+)∈[﹣,3].(3)若将y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到y=h(x)的图象,若h(x)图象的一个对称中心为(),由(Ⅰ)知f(x)=3sin(2x+),得g(x)=3sin(2x+2θ+).因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ+=kπ,解得x=﹣θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点(,0)成中心对称,令:﹣θ=,解得θ=﹣,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.【点评】本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解函数解析式,函数y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律的应用,考查了正弦函数的图象和性质的应用,其中关键是要根据图象分析出函数的最值,周期等,进而求出A,ω和φ值,属于中档题.18.(16分)(2016秋•徐州期末)已知向量=(m,﹣1),=()(1)若m=﹣,求与的夹角θ;(2)设.①求实数m的值;②若存在非零实数k,t,使得[+(t2﹣3)]⊥(﹣k+t),求的最小值.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】(1)由条件利用两个向量的数量积的定义求得cosθ=的值,可得θ的值.(2)①利用两个向量垂直的性质,求得m的值.②根据[+(t2﹣3)]•(﹣k+t)=0,求得4k=t(t2﹣3),从而求得=,再利用二次函数的性质求得它的最小值.【解答】解:(1)向量=(m,﹣1),=(),若m=﹣,与的夹角θ,则有cosθ===﹣,∴θ=.(2)①设,则=﹣=0,∴m=.②由①可得,=(,﹣1),=﹣=0,若存在非零实数k,t,使得[+(t2﹣3)]⊥(﹣k+t),故有[+(t2﹣3)]•(﹣k+t)=0,∴﹣k+[﹣k(t2﹣3)+t] +t(t2﹣3)=﹣k•4+0+t(t2﹣3)=0,∴4k=t (t2﹣3),∴=+t==≥﹣,当且仅当t=﹣2时,取等号,故的最小值为﹣.【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算,两个向量垂直的性质,二次函数的性质应用,属于中档题.19.(16分)(2016秋•徐州期末)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过5吨时,每吨为2.6元,当用水超过5吨时,超过部分每吨4元,某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x吨.(1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费34.7元,分别求甲、乙两户该月的用水量和水费.【考点】分段函数的应用.【分析】(1)由题意知:x≥0,令5x=5,得x=1;令3x=5,得x=.将x取值范围分三段,求对应函数解析式可得答案.(2)在分段函数各定义域上讨论函数值对应的x的值【解答】解:(1)由题意知,x≥0,令5x=5,得x=1;令3x=5,得x=.则当0≤x≤1时,y=(5x+3x)×2.6=20.8x当1<x≤时,y=5×2.6+(5x﹣5)×4+3x×2.6=27.8x﹣7,当x>时,y=(5+5)×2.6+(5x+3x﹣5﹣5)×4=32x﹣14;即得y=(2)由于y=f(x)在各段区间上均单增,当x∈[0,1]时,y≤f(1)=20.8<34.7;当x∈(1,]时,y≤f()≈39.3>34.7;令27.8x﹣7=34.7,得x=1.5,所以甲户用水量为5x=7.5吨,付费S1=5×2.6+2.5×4=23元乙户用水量为3x=4.5吨,付费S2=4.5×2.6=11.7元【点评】本题是分段函数的简单应用题,关键是列出函数解析式,找对自变量的分段区间.20.(16分)(2016秋•徐州期末)已知函数f(x)=x2+4x+a﹣5,g(x)=m•4x ﹣1﹣2m+7.(1)若函数f(x)在区间[﹣1,1]上存在零点,求实数a的取值范围;(2)当a=0时,若对任意的x1∈[1,2],总存在x2∈[1,2],使f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围;(3)若y=f(x)(x∈[t,2])的置于为区间D,是否存在常数t,使区间D的长度为6﹣4t?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.(注:区间[p,q]的长度q﹣p)【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的对称轴,得到函数的单调性,解关于a的不等式组,解出即可;(2)只需函数y=f(x)的值域是函数y=g(x)的值域的子集,通过讨论m=0,m>0,m<0的情况,得到函数的单调性,从而确定m的范围即可;(3)通过讨论t的范围,结合函数的单调性以及f(2),f(﹣2)的值,得到关于t的方程,解出即可.【解答】解:(1)由题意得:f(x)的对称轴是x=﹣2,故f(x)在区间[﹣1,1]递增,∵函数在区间[﹣1,1]存在零点,故有,即,解得:0≤a≤8,故所求实数a的范围是[0,8];(2)若对任意的x1∈[1,2],总存在x2∈[1,2],使f(x1)=g(x2)成立,只需函数y=f(x)的值域是函数y=g(x)的值域的子集,a=0时,f(x)=x2+4x﹣5,x∈[1,2]的值域是[0,7],下面求g(x),x∈[1,2]的值域,令t=4x﹣1,则t∈[1,4],y=mt﹣2m+7,①m=0时,g(x)=7是常数,不合题意,舍去;②m>0时,g(x)的值域是[7﹣m,2m+7],要使[0,7]⊆[7﹣m,2m+7],只需,解得:m≥7;③m<0时,g(x)的值域是[2m+7,7﹣m],要使[0,7]⊆[2m+7,7﹣m],只需,解得:m≤﹣,综上,m的范围是(﹣∞,﹣]∪[7,+∞);(3)由题意得,解得:t<,①t≤﹣6时,在区间[t,2]上,f(t)最大,f(﹣2)最小,∴f(t)﹣f(﹣2)=t2+4t+4=6﹣4t,即t2+8t﹣2=0,解得:t=﹣4﹣3或t=﹣4+3(舍去);②﹣6<t≤﹣2时,在区间[t,2]上,f(2)最大,f(﹣2)最小,∴f(2)﹣f(﹣2)=16=6﹣4t,解得:t=﹣;③﹣2<t<时,在区间[t,2]上,f(2)最大,f(t)最小,∴f(2)﹣f(t)=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t,即t2=6,解得:t=或t=﹣,故此时不存在常数t满足题意,综上,存在常数t满足题意,t=﹣4﹣3或t=﹣.【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想,集合思想,是一道综合题.。

相关主题