第一章 中点模型的构造当已知条件中出现一个中点时，你首先想到的辅助线的解题方法是什么？如果已知两个中点呢？ 介绍以下方法：1) 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形； 2) 三角形中位线定理；3) 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线；4) 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。

例1 在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC 边上的中线AD=2，求BC 的长.例2 已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF=EF ，求证：AC=BE.变式：如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF//AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若AD 为△ABC 的角平分线，求证：BG=CF.BCADD BCDE BC例3 在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED ⊥FD. 以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，还是直角三角形，或者是钝角三角形？例4 已知在△ABC 中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥EF 于点M. 求证：FM=EM.例5 已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°. 如图，连接DE ，设M 为DE 的中点，连接MB 、MC.求证：MB=MC.D BAD BA BD例6 问题一：如图（1），在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，求证：∠BME=∠CNE.问题二：如图（2），在四边形ABCD 中，AB 与CD 相交于点O ，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF ，分别交DC 、AB 于点M 、N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论.问题三：如图（3），在△ABC 中，AC>AB ，D 点在AC 上，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC=60°，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明.（1） （2） （3）BCDBEBC例7 问题一：如图（1），△ABC 中，点D 是AB 的中点，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点 E 、F ，AE 、BF 交于点M ，连接DE 、DF. 若DE=kDF ，则k 的值为_________.问题二：如图（2），△ABC 中，CB=CA ，点D 是AB 的中点，点M 在△ABC 的内部，且∠MAC=∠MBC. 过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ，连接DE 、DF. 求证：DE=DF.问题三：如图（3），若将上面的问题（二）中的条件“CB=CA ”变为“CB ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.（1） （2） （3）ECCE C例8 （2012•广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）当α=60°时，求CE的长；（2）当60°＜α＜90°时，是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．第二章 角平分线模型的构造已知，P 是∠MON 平分线上一点，角平分线的四大基本模型： （1）若PA ⊥OM 于点A ，可过点P 作PB ⊥ON 于B ，则PB=PA; （2）若点A 是射线OM 上任意一点，可在ON 上截取OB=OA ，连接PB ，则构造了△OPB ≌△OPA ； （3）若AP ⊥OP 于点P ，可延长AP 交ON 于点B ，则构造了△AOB 是等腰三角形,且P 是AB 中点；（4）若过点P 作PQ//ON 交OM 于点Q ，则构造了△POQ 是等腰三角形。

（1） （2） （3） （4）例1 （1）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于点D ，BC=8，BD=5，那么点D 到AB 的距离是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6（2）已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP 平分∠BAC例2 (1)在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，请比较PB+PC 与AB+AC 的大小并说明理由．M BOMMBOMO(2)如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，P 是AD 上的任意一点，且AB ＞AC ，请比较PB-PC 与 AB-AC 的大小并说明理由．例3 已知∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 的中点. 求证：.例4 如图1，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连接FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交于M 、N ．（1）试说明： （2）如图2，若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，则线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；（3）如图3，若BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，则线段FG 与△ABC 三边的数量关系是_____________．1()2DH AB AC =-1()2FG AB BC AC =++例5 如图，在△ABC中，AB=3AC，∠BAC的平分线交BC于点D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD=DE.例6 在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．BC例7 （1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线相交于点F ，过点F 作DE//BC ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为_________;（2）如图2，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE//AB ，FD//AC ，如果BC=6，求△DEF 的周长.图1 图2例8 如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，连接AP 、CP ，若∠BPC=40°，求∠CAP 的度数.FEB第三章 弦图的构造及应用如以下图是弦图及其衍生图：例1 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股弦方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2)(b a ＋的值为___________________.例2 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为 _______．例3 如图，四边形ABCD 是正方形，直线l 1，l 2，l 3分别通过A ，B ，C 三点，且l 1∥l 2∥l 3，若l 1与l 2的距离为5，l 2与l 3的距离为7，则正方形ABCD 的面积为___________.例4 如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．（1）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断并证明EH与FH的大小关系吗？（3）图2中的△ABC与△AEF的面积相等吗？（不用证明）例5 已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，-4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m＞0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限．（1）求直线AB的解析式；（2）用m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由．例6 已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，设∠BCD=a，以D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE．（1）当a=45°时，求△EAD的面积；（2）当a=30°时，求△EAD的面积；（3）当0°＜a＜90°时，猜想△EAD的面积与α大小有何关系？若有关，写出△EAD的面积S与a的关系式；若无关，请证明结论．例7 如图（1）至图（3），C为定线段AB外一动点，以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG，分别作DD1⊥AB、EE1⊥AB，垂足分别为D1、E1．当C的位置在直线AB的同侧变化过程中，（1）如图（1），当∠ACB=90°，AC=4，BC=3时，求DD1+EE1的值；（2）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；（3）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点．例8 如图，已知直线与轴交于点A ，与轴交于点D ，抛物线与直线交于A 、E 两点，与轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

⑴求该抛物线的解析式；⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

112y x =+y x 212y x bx c =++x第四章 三角形的中位线三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．例1 如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，E ，F 分别是AD ，BC 的中点． 求证：.()12EF AB CD <+例2 如图所示．在四边形ABCD 中，CD ＞AB ，AB 与CD 不平行，E ，F 分别是AC ，BD 的中点． 求证：.例3 已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF．求证：AB ＝2OF ．例4 如图，已知△ABC 中，E 是AB 的中点，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD 与点D ， 求证：（1）DE//BC ； （2）.例5 AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：13AE AC =． ()12EF CD AB >-()12DE BC AC =-C例6 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证：2CD EC =．例7 已知：ABCD 是凸四边形，且AC <BD ． E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点． 求证：∠GMN >∠GNM ．例8 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．FA DE CBNM GFEDCBA例9 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．例10 已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M 、N 两点． 求证：AME BNE ∠=∠．EDCBA EDFCBAA CDM FE N B例11 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．例12 (2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试)已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆ 的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．⑴ 如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMF BNE ∠=∠(不需证明)．F图3图2图1F N MDCE B ANMDCE BAHF (N )DM C E BA⑵ 当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．第五章 图形变换之轴对称最短路径问题，需考虑轴对称。