数列求和高考专题1.【2017天津,理18】已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()n S n *∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 【答案】 (1)32n a n =-.2n n b =.(2)1328433n n n T +-=⨯+. 【解析】(II )解:设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ,由262n a n =-, 12124n n b --=⨯,有()221314nn n a b n -=-⨯,故()23245484314n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯,()()23414245484344314n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯,上述两式相减,得()231324343434314n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()()1112144314143248.nn n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯-得1328433n n n T +-=⨯+. 所以,数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 2.【2017江苏,19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立,则称数列{}n a 是“()P k 数列”. (1)证明:等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;(2)若数列{}n a 既是“(2)P 数列”,又是“(3)P 数列”,证明:{}n a 是等差数列. 【答案】(1)见解析(2)见解析(2)数列{}n a 既是“()2P 数列”,又是“()3P 数列”,因此, 当3n ≥时, 21124n n n n n a a a a a --+++++=,①当4n ≥时, 3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=.② 由①知, 3214n n n a a a ---+=- ()1n n a a ++,③2314n n n a a a ++++=- ()1n n a a -+,④将③④代入②,得112n n n a a a -++=,其中4n ≥, 所以345,,,a a a 是等差数列,设其公差为'd .在①中,取4n =,则235644a a a a a +++=,所以23'a a d =-, 在①中,取3n =,则124534a a a a a +++=,所以122'a a d =-, 所以数列{}n a 是等差数列.3.【2017山东,理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列,且x 1+x 2=3,x 3-x 2=2 (Ⅰ)求数列{x n }的通项公式;(Ⅱ)如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点P 1(x 1, 1),P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1,求由该折线与直线y =0,11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .【答案】(I)12.n n x -=(II )(21)21.2n n n T -⨯+=(II )过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线,垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +, 由(I)得111222.n n n n n x x --+-=-= 记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯, 所以123n T b b b =+++……+n b=101325272-⨯+⨯+⨯+……+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+……+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②①-②得121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+=4.【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,公差为d ,对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈,求证:{}n c 是等差数列;(Ⅱ)设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑,求证:2111.2nk kT d =<∑【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析 【解析】(Ⅰ)证明:由题意得21n n n b a a +=,有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=,因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=,所以{}n c 是等差数列.(Ⅱ)证明:()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-+++-+()()()24222222221,n n d a a a n a a d d n n =++++=⋅=+所以()222211111111111112121212nn n k k k k T d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 5.【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 错误!未找到引用源。
的前n 项和1n n S a λ=+错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
其中0λ≠.(I )证明{}n a 错误!未找到引用源。
是等比数列,并求其通项公式; (II )若53132S =错误!未找到引用源。
,求λ. 【答案】(Ⅰ)1)1(11---=n n a λλλ;(Ⅱ)1λ=-.【解析】(Ⅰ)由题意得1111a S a λ+==,故1≠λ,λ-=111a ,01≠a . 由n n a S λ+=1,111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11,即n n a a λλ=-+)1(1. 由01≠a ,0≠λ得0≠n a ,所以11-=+λλn n a a . 因此}{n a 是首项为λ-11,公比为1-λλ的等比数列,于是1)1(11---=n n a λλλ. (Ⅱ)由(Ⅰ)得n n S )1(1--=λλ,由32315=S 得3231)1(15=--λλ,即=-5)1(λλ321,解得1λ=-.6.【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤,n *∈N . (I )证明:()1122n n a a-≥-,n *∈N ;(II )若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,n *∈N ,证明:2n a ≤,n *∈N .【答案】(I )证明见解析;(II )证明见解析. 【解析】(I )由112n n a a +-≤得1112n n a a +-≤,故111222n n n n na a ++-≤,n *∈N , 所以11223111223122222222nn n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121111222n -≤++⋅⋅⋅+ 1<,因此()1122n n a a -≥-.(II )任取n *∈N ,由(I )知,对于任意m n >,1121112122222222n mn n n n m m nm n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+ 112n -<, 故11222m nn n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭ 11132222mn n m-⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3224mn ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭.从而对于任意m n >,均有3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭.由m 的任意性得2n a ≤. ①否则,存在0n *∈N ,有02n a >,取正整数000342log 2n n a m ->且00m n >,则0034002log 23322244n n a m m n n a -⎛⎫⎛⎫⋅<⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,与①式矛盾.综上,对于任意n *∈N ,均有2n a ≤. 7.【2016年高考北京理数】(本小题13分)设数列A :1a ,2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a <n a ,则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. (1)对数列A :-2,2,-1,1,3,写出)(A G 的所有元素; (2)证明:若数列A 中存在n a 使得n a >1a ,则∅≠)(A G ;(3)证明:若数列A 满足n a -1n a - ≤1(n=2,3, …,N),则)(A G 的元素个数不小于N a -1a . 【答案】(1)()G A 的元素为2和5;(2)详见解析;(3)详见解析. 【解析】(Ⅲ)当1a a N ≤时,结论成立. 以下设1a a N >. 由(Ⅱ)知∅≠)(A G .设{}p p n n n n n n A G <⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅=2121,,,,)(.记10=n . 则p n n n n a a a a <⋅⋅⋅<<<210.对p i ,,1,0⋅⋅⋅=,记{},i i i k n G k n k N a a *=∈<≤>N .如果∅≠i G ,取i i G m min =,则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1. 从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .又因为p n 是)(A G 中的最大元素,所以∅=p G . 从而对任意p n k N ≤≤,p n k a a ≤,特别地,p n N a a ≤. 对i i n n a a p i ≤-⋅⋅⋅=-+11,1,,1,0.因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n n n a a a a a .所以p a aa a a a i ip n pi n n N ≤-=-≤--∑=)(1111.因此)(A G 的元素个数p 不小于1N a a -. 8.【2016年高考四川理数】(本小题满分12分)已知数列{n a }的首项为1,n S 为数列{}n a 的前n 项和,11n n S qS +=+ ,其中q>0,*n N ∈ . (Ⅰ)若2322,,2a a a + 成等差数列,求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设双曲线2221n y x a -= 的离心率为n e ,且253e = ,证明:121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.【答案】(Ⅰ)1=n n a q -;(Ⅱ)详见解析.【解析】(Ⅰ)由已知,1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =,故1n n a qa +=对所有1n ³都成立. 所以,数列{}n a 是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -.由2322+2a a a ,,成等比数列,可得322=32a a +,即22=32,q q +,则(21)(2)0q +q -=, 由已知,0q >,故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N .(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,1n n a q -=.所以双曲线2221ny x a -=的离心率n e =由53q =解得43q =. 因为2(1)2(1)1+k k q q -->1*k q k -?N (). 于是11211+1n n n q e e e q q q --++鬃?>+鬃?=-, 故1231433n nn e e e --++鬃?>. 9.【2016高考上海理数】(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.若无穷数列{}n a 满足:只要*(,)p q a a p q N =∈,必有11p q a a ++=,则称{}n a 具有性质P . (1)若{}n a 具有性质P ,且12451,2,3,2a a a a ====,67821a a a ++=,求3a ;(2)若无穷数列{}n b 是等差数列,无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列,151b c ==,5181b c ==,n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ,并说明理由;(3)设{}n b 是无穷数列,已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证:“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【答案】(1)316a =.(2){}n a 不具有性质P .(3)见解析. 【解析】(1)因为52a a =,所以63a a =,743a a ==,852a a ==. 于是678332a a a a ++=++,又因为67821a a a ++=,解得316a =.(3)[证]充分性:当{}n b 为常数列时,11sin n n a b a +=+.对任意给定的1a ,只要p q a a =,则由11sin sin p q b a b a +=+,必有11p q a a ++=. 充分性得证. 必要性:用反证法证明.假设{}n b 不是常数列,则存在k *∈N ,使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==,而1k b b +≠.下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ,使得121k a a a +==⋅⋅⋅=,但21k k a a ++≠. 设()sin f x x x b =--,取m *∈N ,使得m b π>,则()0f m m b ππ=->,()0f m m b ππ-=--<,故存在c 使得()0f c =.取1a c =,因为1sin n n a b a +=+(1n k ≤≤),所以21sin a b c c a =+==, 依此类推,得121k a a a c +==⋅⋅⋅==.但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+,即21k k a a ++≠. 所以{}n a 不具有性质P ,矛盾. 必要性得证.综上,“对任意1a ,{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.10.【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且17=128.a S =,记[]=lg n n b a ,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[][]0.9=0lg99=1,. (Ⅰ)求111101b b b ,,;(Ⅱ)求数列{}n b 的前1 000项和.【答案】(Ⅰ)10b =,111b =, 1012b =;(Ⅱ)1893. 【解析】(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,据已知有72128d +=,解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======(Ⅱ)因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000.n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯=易错起源1、分组转化求和例1、等比数列{a n }中,a 1,a 2,a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a 1,a 2,a 3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足:b n =a n +(-1)nln a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .(2)因为b n =a n +(-1)nln a n =2·3n -1+(-1)n ln(2·3n -1)=2·3n -1+(-1)n[ln 2+(n -1)ln 3] =2·3n -1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nn ln3,所以S n =2(1+3+…+3n -1)+[-1+1-1+…+(-1)n ]·(ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)nn ]ln3.当n 为偶数时, S n =2×1-3n1-3+n2ln3=3n+n2ln3-1;当n 为奇数时,S n =2×1-3n1-3-(ln2-ln3)+⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12-n ln3=3n-n -12ln3-ln2-1.综上所述,S n=⎩⎪⎨⎪⎧3n+n2ln3-1, n 为偶数,3n-n -12ln3-ln2-1,n 为奇数.【变式探究】设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=2,且a n +2=3S n -S n +1+3,n ∈N *. (1)证明:a n +2=3a n ; (2)求S n .(1)证明 由条件,对任意n ∈N *, 有a n +2=3S n -S n +1+3,因而对任意n ∈N *,n ≥2,有a n +1=3S n -1-S n +3. 两式相减,得a n +2-a n +1=3a n -a n +1, 即a n +2=3a n ,n ≥2. 又a 1=1,a 2=2,所以a 3=3S 1-S 2+3=3a 1-(a 1+a 2)+3=3a 1, 故对一切n ∈N *,a n +2=3a n . (2)解 由(1)知,a n ≠0,所以a n +2a n=3.于是数列{a 2n -1}是首项a 1=1,公比为3等比数列;数列{a 2n }是首项a 2=2,公比为3的等比数列.因此a 2n -1=3n -1,a 2n =2×3n -1.于是S 2n =a 1+a 2+…+a 2n=(a 1+a 3+…+a 2n -1)+(a 2+a 4+…+a 2n ) =(1+3+…+3n -1)+2(1+3+…+3n -1)=3(1+3+…+3n -1)=n-2.从而S 2n -1=S 2n -a 2n =n-2-2×3n -1=32(5×3n -2-1).综上所述,3223(531),23(31)2n n nn S n -⎧⨯-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩是奇数,,是偶数.【名师点睛】在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时,由于数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数n 进行讨论,最后再验证是否可以合并为一个公式.【锦囊妙计,战胜自我】有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并. 易错起源2、错位相减法求和例2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且有a 1=2,3S n =5a n -a n -1+3S n -1(n ≥2). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(2n -1)a n ,求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)3S n -3S n -1=5a n -a n -1(n ≥2), ∴2a n =a n -1,a n a n -1=12, 又∵a 1=2,∴{a n }是首项为2,公比为12的等比数列,∴a n =2×(12)n -1=(12)n -2=22-n.【变式探究】已知正项数列{a n}的前n项和S n满足:4S n=(a n-1)(a n+3)(n∈N*).(1)求a n;(2)若b n=2n·a n,求数列{b n}的前n项和T n.解(1)∵4S n=(a n-1)(a n+3)=a2n+2a n-3,∴当n≥2时,4S n-1=a2n-1+2a n-1-3,两式相减得,4a n=a2n-a2n-1+2a n-2a n-1,化简得,(a n+a n-1)(a n-a n-1-2)=0,∵{a n}是正项数列,∴a n+a n-1≠0,∴a n-a n-1-2=0,对任意n≥2,n∈N*都有a n-a n-1=2,又由4S1=a21+2a1-3得,a21-2a1-3=0,解得a1=3或a1=-1(舍去),∴{a n}是首项为3,公差为2的等差数列,∴a n=3+2(n-1)=2n+1.(2)由已知及(1)知,b n=(2n+1)·2n,T n=3·21+5·22+7·23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n,①2T n=3·22+5·23+7·24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,②②-①得,T n=-3×21-2(22+23+24+…+2n)+(2n+1)·2n+1=-6-2×-2n-11-2+(2n+1)·2n+1=2+(2n -1)·2n +1.【名师点睛】(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和,其中{a n }为等差数列,{b n }为等比数列;(2)所谓“错位”,就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分,求等比数列的和,此时一定要查清其项数.(3)为保证结果正确,可对得到的和取n =1,2进行验证. 【锦囊妙计,战胜自我】错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和,其中{a n },{b n }分别是等差数列和等比数列. 易错起源3、裂项相消法求和例3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 22-3a 7=2,且1a 2,S 2-3,S 3成等比数列,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)令b n =2a n a n +2,数列{b n }的前n 项和为T n ,若对于任意的n ∈N *,都有8T n <2λ2+5λ成立,求实数λ的取值范围.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,由⎩⎪⎨⎪⎧a 22-3a 7=2,S 2-32=1a 2·S 3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1+21d -a 1+6d =2,a 1+d -a 1+d =3a 1+3d ,即⎩⎪⎨⎪⎧-2a 1+3d =2,a 1+d a 1+d -=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,d =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-25,d =25.当a 1=-25,d =25时,S 2-3=-175没有意义, ∴a 1=2,d =2,此时a n =2+2(n -1)=2n .。