梁的整体处于平衡状态，因此其各个部分也应处于平衡 状态。截面 m―m 上将产生内力,这些内力将与外力FA和 F1； 或FB和F2；在梁的左半段或右半段构成平衡力系。
? Fy ? 0 FAy ? F1 ? FS ? 0
FS ? FAy ? F1
FS 称为横截面 m―m
上的剪力，它是与横截面 FAy
相切的分布内力系的合力。
作用在弹性体上 的外力相互平衡
F1
F3
F2
分布内力
Fn
内力主矢与内力主矩
(Resultant Force and Resultant Moment)
F1
F2
F1
F
R
F3
Fn
F
M
使用静力平衡方程求出内3 力FR和M
S Fi=FR S mo(Fi)=M
引 言(Introduction)
内力分量(Components of the Internal Forces )
轴力图举例
一、拉、压杆的内力(Internal Forces)
轴力图
例-2： F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。
解：1)截面法求AC段轴力，沿截
面1-1处截开，取左段如图14-1-2 所示
∑Fx=0 FN1-F1=0 得：FN1=F1=2.5kN
2)求BC段轴力，从2-2截面处截开， 取右段，如图14-1-3所示
q
悬臂梁受均布载荷作用。
x
l
q
M ?x?
x
试写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面 x ，写出
剪力和弯矩 方程
FS
FS ?x?
ql
FS ?x?＝qx
?0 ? x ? l?
?? ?
M ?x?＝qx2 / 2 ?0 ? x ? l?
ql
2
/
x
2
依方程画出剪力图和弯矩图
M
ql 2 / 8 ?? ?
FN3 ? F4 ? 25kN
x
2、绘制轴力图。
轴的扭矩
扭转内力
? 扭矩 Torque :
用T表示
? 扭矩的正负号规定：
按右手螺旋法则： 矢量离开截面为正， 矢量指向截面为负。
轴的扭矩图示例
?? ?
?? ?
扭矩图计算时扭矩用矢量表示 例 题
AB段扭矩
? Mx ? 0, T1 ? 183.6 ? 0
3
F4
出图示杆件的轴力图。 解：1、计算各段的轴力。
FN1
FN2 F2
FN3
10
?? ? ?? ?
?? ?
10
AB段 BC段
? Fx ? 0
FN1 ? F1 ? 10kN
? Fx ? 0 FN 2 ? F2 ? F1
F4
25 CD段
FN2 ? F1 ? F2 ?
10 ? 20 ? ? 10kN
? Fx ? 0
? 沿横截面截开，留下一部分作为研究对象， 弃去另一部分——截开
? 用作用于截面上的内力代替弃去部分对留下 部分的作用——替代
? 对留下部分建立平衡方程并解之——平衡
F1
F3
F1
F3
F2
假想
Fn
截面
F2
分布内力 Fn
弹F2
Fn
假想截面
内力与外力平衡； 内力与内力平衡。
剪力图和弯矩图
剪力、弯矩方程法
若以横坐标 x 表示横截面在梁轴线上的位 置，则各横截面上的剪力和弯矩可以表示为 x 的函数，即：
FQ ? FQ(x) M ? M(x)
或写成：
FS ? FS(x) M ? M(x)
函数在直角坐标系下的曲线，即为剪力 图和弯矩图。举例如下：
§5.2. 剪力图和弯矩图的绘制 例题5.2-1
M FN FS
截面 m―m 上的弯矩。它是与
横截面垂直的分布内力系的合
力偶矩。
剪力和弯矩的符号规则
M FN
M FN
F Ay
FS
FS
截面上的剪力对梁上任意
一点的矩为顺时针转向时，
+
剪力为正；反之为负。
F By
_
截面上的弯矩 使得梁呈凹形为正； 反之为负。
左上右下为正；反之为负
+
_
左顺右逆为正；反之为负
FQ
FR
Mx
FN
MB
M
在确定的坐标系中 ,轴力、剪力、扭矩、 弯矩及其可能产生的变形效应。
例1.1
确定m-m截面上的内力
N=P
M=Pa
例1 直径为 d 长为 l 圆截面直杆，铅垂放置，上端 固定，若材料单位体积质量为 ，试求因自重引起 杆的 m-m 截面的内力 。
解：
整个杆件最大的轴力发生 在固定端截面上，其值：
T1 ? 183.6 Nm
AC段扭矩
? Mx ? 0,T2 ? 91.82 ? 0
T2 ? ?91.82 Nm
§5-2 弯曲的概念和内力
?弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的 轴线变为曲线的变形。通常将承受弯曲变形的杆件称为梁。 ?对称弯曲：载荷作用在梁的纵向对称平面内。— 平面弯曲
FN
M
M FN FS
FS
F By
§5-2 剪力和弯矩
根据平衡条件，若把左段上的所有外力和内力
对截面 m―m 的形心 O取矩，其力矩总和应为零，即
∑MC =0，则
? MC ? 0, M ? F1(x? a) ? FAyx ? 0
M ? F Ay x ? F1(x ? a )
FAy
这一内力偶矩 M 称为横
由剪力图、弯矩图可见。最 大剪力和弯矩分别为
x
FS max＝ql
Mmax＝ql2 / 2
§5.2. 剪力图和弯矩图的绘制 例题5.2-2
F
a
b
A
C
x1 x2
F AY
l
FS Fb / l
?? ?
Fa / l
?? ?
Fab / l
M
?? ?
图示简支梁C点受集中力作用。
∑Fx=0 –FN2-F3=0 得：FN2= - F3=-1.5kN
（负号表示所画 FN2方向与实际相反）
3)图14-1-4为AB杆的轴力图
A
F1 F1 F1
FN ?kN?
轴力图举例
例题2-3
1 B 2 C 3D
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画
1 F2
2
F3
内力的概念
? 内力
? 物体因受外力作用而使其内部各部分之间 因相对位置改变而引起的相互作用力；
? 材料力学中的内力，是指外力作用下，物 体各质点之间相互作用力的变化量，所以 是物体内部各部分之间因外力而引起的附 加相互作用力，即“附加内力”；
? 内力随外力的增加而加大，随外力的撤除 而消失。
截面法求内力的三步曲
§5-2 弯曲的概念和内力
梁的类型
静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定。静定梁 的基本形式有：
简支梁：一端固定铰支座，另一端可动铰支座的梁，如图5-3a
悬臂梁：一端固定端，另一端为自由端的梁，如图5-3b所示。
外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁，如图5-3c。
图5-3
§5.2 剪力图和弯矩图