中科院2005年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题试题名称：信号与系统 一、已知当输入信号为)(t x 时，某连续时间LTI 因果系统的输出信号为)(t y ，)(t x 和)(t y 的波形如图A-1所示。

试用时域方法求：（共26分）1. 该系统的单位阶跃响应)(t s ，并概画出)(t s 的波形；（12分）2. 在系统输入为图A-2所示的)(1t x 时的输出信号)(1t y ，并概画出)(1t y 的波形。

（14分）1t1)(1t x图A-1 图A-2二、由差分方程∑=----=--4])1[2][(]1[5.0][k k n x k n x n y n y 和非零起始条件1]1[=-y 表示的离散时间因果系统，当系统输入][][n n x δ=时，试用递推算法求：（共16分）1. 该系统的零状态响应][n y ZS （至少计算出前6个序列值）；（10分）2. 该系统的零输入响应][n y Zi （至少计算出前4个序列值）；（6分）三、已知连续时间信号)102cos()10(2)]110(2sin[)(633t t t t x ⨯--=-πππ毫安，若它是能量信号，试求其能谱密度和它在单位电阻上消耗的能量；若它是功率信号，则求其功率谱密度函数和它在单位电阻上消耗的平均功率。

（共14分）四、已知][~n x 是周期为4的周期序列，且已知8点序列][~][n x n x =，70≤≤n ，的8点DFT 系数为： ,0)(,1)6()4()2()0(=====k X X X X X 其他k 。

试求：（共24分） 1. 周期序列][~n x ，并概画出它的序列图形；（12分）2. 该周期序列][~n x 通过单位冲激响应为2222)2/(sin )1(][n n n h ππ-=的数字滤波器后的输出][n y ，并概画出它的序列图形；（12分）五、已知)(t x 是最高频率为4KHz 的连续时间带限信号，（共24分） 1. 若对)(t x 进行平顶抽样获得的已抽样信号)(t x p 如图A-3所示，试由)(t x p 恢复出)(t x 的重构滤波器的频率响应)(ωL H ，并概画出其幅频响应和相频响应；（16分）图A-32. 你在1小题求得的重构滤波器为什么不可实现？为实现无失真恢复原信号，需对抽样频率和重构滤波器频率响应)(ωL H 作怎样的修改？（8分） 六、如图A-4的信号流图所示的数字滤波器，试求：（共22分）1. 它的系统函数)(z H 及其收敛域，并画出它用一个一阶全通滤波器和一个4阶FIR 滤波器的级联实现的方框图或信号流图；（12分）2. 概画出该数字滤波器的幅频响应)(~ΩH （或)(Ωj e H ）。

（10分）图A-4七、某连续时间实的因果LTI 系统的零、极点见图A-5，并已知⎰∞=_05.1)(dt t h ，其中)(t h 为该系统的单位冲激响应。

试求：（共24分）1. 它是什么类型的系统（全通或最小相移系统），并求)(t h （应为实函数）；（14分）2. 写出它的线性实系数微分方程表示；（2分）3. 它的逆系统的单位冲激响应)(1t h ，该逆系统是可以实现的（即既因果又稳定）的吗？（8分）图A-5参考答案一、解1．按照卷积积分的微分性质，有：)()()(''t h t x t y *=显然，)2()()('--=t t t x δδ，并由)(t y 波形微分得到)('t y 波形如图A-6所示，即)]2()([*)]2()([)3()2()1()()('----=-+----=t t t t t t t t t y δδδδεεεε即：)1()()(--=t t t h εε因此，单位阶跃响应为：)1()1()()()]1()([)()()(---=*--=*=t t t t t t t t t h t s εεεεεε)(t s 的波形如图A-7所示。

图A-6 图A-7 图A-82．由1.小题已求得：)1()()(--=t t t h εε，则有，)1()()(--=t t t h dt dδδ该LTI 系统当输入)(1t x 时的输出信号)(1t y 为：)1()()]1()([)()()()()()(001111--=--*⎥⎦⎤⎢⎣⎡=*=*=⎰⎰∞-∞-t y t y t t d x d x dtt dh t x t h t y t t δδττττ其中⎰∞-=td x t y ττ)()(10由图1.2可得到：)1()1(sin )(sin )]1()()[(sin )(1--+=--=t t t t t t t t x επεπεεπ)}1()]1(cos 1[)()cos 1{(1)1(sin )(sin )1(sin )(sin )(100---+-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--=⎰⎰⎰⎰∞-∞-t t t t d d d d t y tt ttεπεππτετπττετπτττπτεττπτε将)(0t y 代入得所求系统输出为：)]2()()[cos 1(1)}2()]2(cos 1[)()cos 1{(1)(1---=-----=t t t t t t t t y εεππεπεππ)(1t y 的波形如图A-8所示。

二、解：1．零状态响应][n y ZS 的方程可以化为：]5[2]4[]3[]2[]1[][]1[5.0][----------=--n x n x n x n x n x n x n y n y zs zs ，即]5[2]4[]3[]2[]1[][]1[5.0][----------+-=n x n x n x n x n x n x n y n y zs zs且有0,0][<=n n y zi 。

当输入][][n n x δ=时，递推计算出零状态响应][n y zs 的前6个序列值分别为：1]0[=zs y ；2/1]1[-=zs y ；4/5]2[-=zs y ；8/13]3[-=zs y ；16/29]4[-=zs y ；32/93]5[-=zs y 。

2．零输入响应][n y zi 的递推方程可以化为：]1[5.0][-=n y n y zi zi ，且有1]1[]1[-=-=-y y zi 。

递推计算出的零状态响应][n y zi 的前4个序列值分别为：2/1]0[-=zi y ；4/1]1[-=zi y ；8/1]2[-=zi y ；16/1]3[-=zi y 。

三、解：设：)102(102]102sin[)(3331t Sa t t t x ⨯=⨯=πππ，则有：)10()(312--=t x t x ；)102cos()()(62t t x t x ⨯⨯=π。

由于)(2t x 仅仅是对)(1t x 的时延；)(t x 是对)(2t x 的调制；)(1t x 是能量信号，整个)(t x 是能量信号。

利用帕什瓦尔定理求连续时间信号)(t x 在单位电阻上消耗的能量： 因为：)2()(ωτττSa t g ⇔，根据傅立叶变换的对称性，有)(2)(2)2(ωπωπττττg g t Sa =-⇔。

令3104⨯=πτ，则有)(2)102(104310433ωππππ⨯⇔⨯⨯g t Sa ，即：)(21)102(10310433ωππ⨯⇔⨯g t Sa因此，)(21)(31041ωωπ⨯=g j X 。

由傅立叶变换的时移性质，得ωπωω33101042)(21)(--⨯=j e g j X再根据傅立叶变换的调制性质，有)]102()102([)(21)(662⨯-+⨯+*=πωδπωδπωπωj X j X )]102()102([)(21662⨯-+⨯+*=πωδπωδωj X)]}102([)]102([{216262⨯-+⨯+=πωπωj X j X 因此，)(ωj X 的幅度频谱为 })]102([)]102([{21)(6262⨯-+⨯+=πωπωωj X j X j X又因为：⎩⎨⎧⨯>⨯<===⨯3310412102,0102,5.0)(21)()(3πωπωωωωπg j X j X)(t x 的幅度频谱)(ωj X 如图A-9所示。

图A-9)(t x 在单位电阻上消耗的能量x E 为：)(1041)(2132J d j X E x ⨯==⎰∞∞-ωωπ四、解：1. 先利用IDFT 求70],[≤≤n n x ：即]2cos 2)1(1[81])()()1(1[81)(81][7082nj j e k X n x n n n n k kn j ππ+-+=-++-+⨯==∑=计算得到： ⎩⎨⎧≤≤≠==70,4,0,04,0,5.0][n n n n x][~n x 是][n x 以周期为8的周期延拓，它的序列图形如图A-10所示。

图A-10即∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=l l l n l n x n x ]4[21]8[][~δ 或者，由于][~n x 是周期为4的周期序列，8点序列70],[~][≤≤=n n x n x ，包含了][~n x 的两个完整的周期。

根据DFT 的性质，4点序列30],[~][0≤≤=n n x n x ，的4点DFT 系数为：30,5.0)2(5.0)(0≤≤==k k X k X ，其中70),(≤≤k k X ，就是已知的8点DFT 系数，再利用4点序列的序列值：31,0][,5.0]0[00≤≤==n n x x 。

][~n x 是][0n x 以4的周期延拓，其序列图形如图A-10所示。

2. 解：先求离散时间LTI 系统的频率响应)(~Ωj e H令：)(~)2/sin(][11Ω−−→←=j DTFT e H n n n h ππ和)(~][)1(][21Ω−−→←-=j DTFT n e H n h n h ，则有⎪⎩⎪⎨⎧>Ω<Ω=Ω2/,02/,1)(~1ππj e H ，在主值区间),(ππ-内。

)(~1Ωj e H 图形如图A-11所示。

图A-11图A-12根据频域卷积性质和频移π的频移性质，则有)()(~)(~)2/1()(~11πδπ-Ω**=ΩΩΩj j j e H e H e H 。

)(~Ωj e H 的图形如图A-12所示。

因此，][~n x 的DFS 系数为：,3,2,1,0,8/1~±±±==k X k 谱线间隔为2/π=Ω][~n x 通过)(~Ωj e H 后的输出][n y 也是周期为4 的周期序列，它的DFS 系数为⎩⎨⎧±±±=±±±== ,10,6,2,16/1,5,3,1,32/1~k k Y k ，谱线间隔为2/π=Ω 由DFS 的合成公式或DTFT 反变换，输出序列][n y 为)]2cos()1[(161][321161][)2/()2/(n e e e n y n n j n j n j ππππ+-=++=-它的序列图形如图A-13所示。