《线性代数 》试卷A一.填空题（每小题4分，共20分）。
1.已知正交矩阵P 使得100010002T P AP ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，则2006()T P A E A P += 2.设A 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则det( 2A )=3.设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：4.若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t=5.231511523()5495827x D x xx -=-，则0)(=x D 的全部根为：二.选择题（每小题4分，共20分）1．行列式001010100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为（ ）。
A ， 1，B ，-1C ，(1)2(1)n n -- D ，(1)2(1)n n +-2．对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于（ ）。
A ， 左乘一个m 阶初等矩阵，B ，右乘一个m 阶初等矩阵C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，D ，右乘一个n 阶初等矩阵3．若A 为m ×n 矩阵，()r A r n =<，{|0,}nM X AX X R ==∈。
则（ ）。
A ，M 是m 维向量空间，B ， M 是n 维向量空间C ，M 是m-r 维向量空间，D ，M 是n-r 维向量空间4．若n 阶方阵A 满足，2A =0，则以下命题哪一个成立（ ）。
A ， ()0r A =，B ， ()2n r A =C ， ()2n r A ≥，D ，()2n r A ≤5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。
A ，矩阵A T为正交矩阵， B ，矩阵1A -为正交矩阵C ，矩阵A 的行列式是±1，D ，矩阵A 的特征根是±1三，解答题（每小题6分，共30分）1．若A 为3阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 求det (*A )2．计算行列式111111111111a a a a。
3．设020200,001A AB A B ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B 。
4、求向量组1234(1,2,1,2),(1,0,1,2),(1,1,0,0),(1,1,2,4)αααα====的一个最大无关组。
5.求向量ω=（1，2，1）在基)1,1,1(),1,1,0(),1,1,1(-===γβα下的坐标。
6、（12分）求方程组123451234512345223273251036x x x x x x x x x x x x x x x +-++=⎧⎪-+++=⎨⎪+--+=⎩ 的通解（用基础解系与特解表示）。
7、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵22123122313(,,)22f x x x x x x x x x =++-四、证明题（6分） 设0β≠，12,,,r ξξξ是线性方程组AX β=对应的齐次线性方程组一个基础解系， η是线性方程组AX β=的一个解，求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关。
《线性代数 》试卷A 参考答案一 填空题(1) 2-22006(2) λ12···λn 2 (3) r(A)=r(A,B)< n (4) t=-8 (5) 1,2,-3二 选择题(1) D (2) A (3) D (4) D (5) D三 解答题 (1) A ·A*=|A|·E, |A|·|A *|=|A 3||A *|=|A|2=|A ·A ’|=|A ·A -1|=1(2)3)1)(3(1010000101111)3(1111111111111)3(111111111111-+=---+=+=a a a a a a aa a a aa a a(3)由AB=A-B ，有A E A B A B E A 1)(,)(-+==+，111203312021()2100,330021002A E --⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭1242003333020212402000333300111000022B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021*********012142110011210121214321αααα 而021120011101020011101121≠-=== 故{1α，2α，3α}为一个极大无关组（5）令ω=（1，2，1）=x α+y β+z γ， 则有：121=++=-+=+z y x z y x z x 解得： 21023-===z y xω的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0,236 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0000001012102112114048404048402112116131051237213211221A 原方程组同解下面的方程组： 122243254321=--=++-+x x x x x x x x即： 432543212122x x x x x x x x ++=--+=+令0543===x x x ,求解得：（1，1，0，0，0）=η。
齐次方程组基础解系为：332211321),1,0,0,0,1(),0,1,0,1,2(),0,0,1,2,0(ηηηηηηηa a a +++-=-==通解为。
7.解：1λ,2λ,1λ)1λ)(2λ)(1λ(1λ0101λ111λλ11011110Χ'Χ),,(321321===+====A EA A x x x f当11=λ时，由()03211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110当12λ=时，由()03212=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111当13-=λ时，由()03213=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛616162,313131,21210 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=61312161312162310U ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100020001'AU U若,UY =X 则2322212'y y y A -+=X X 。
六，证明证：设0)()(11=+++⋅⋅⋅++ηηξηξb a a r r ，则0)(111=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ηξξb a a a a r r r ， 于是：0))((111=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ηξξb a a a a A r r r , 即：0)(1=++⋅⋅⋅+ηA b a a r但0≠=βηA ，故 η)(1b a a r ++⋅⋅⋅+=0。
从而 r r a a ξξ+⋅⋅⋅+11=0。
但r ξξ，，⋅⋅⋅1线形无关，因此r a a ,,1⋅⋅⋅全为0，于是b=0,由此知： ηηξηξ,,,1+⋅⋅⋅+r 线形无关。
《线性代数 》试卷B一、填空题（每小题4分，共20分）。
1． 已知正交矩阵P 使得100010002T P AP ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，则20061()T P A A A P -+= 2．设A 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则det( T A )=3．设A 是n m ⨯矩阵，则方程组B AX =对于任意的m 维列向量B 都有无数多个解的充分必要条件是：4．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩不为3，则t=5．23151315227()5439583x D x xx =，则0)(=x D 的全部根为：二、选择题（每小题4分，共20分）1．n 阶行列式111110100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为（ ）。
B ， 1-， B ，(1)n -C ，(1)2(1)n n -- D ，(1)2(1)n n +-2．对矩阵n m A ⨯施行一次列变换相当于（ ）。
B ， 左乘一个m 阶初等矩阵， B ，右乘一个m 阶初等矩阵C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，D ，右乘一个n 阶初等矩阵3．若A 为m ×n 矩阵，()r A r n =<，{|0,}n M X AX X R ==∈。
则（ ）。
A ，M 是m 维向量空间， B ， M 是n 维向量空间 C ，M 是m-r 维向量空间， D ，M 是n-r 维向量空间 4．若n 阶方阵A 满足，2A =E ，则以下命题哪一个成立（ ）。
A ， ()r A n =， B ， ()2n r A =C ， ()2n r A ≥，D ，()2n r A ≤5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。
A ，矩阵-A T 为正交矩阵， B ，矩阵-1A -为正交矩阵 C ，矩阵A 的行列式是实数， D ，矩阵A 的特征根是实数三、解下列各题（每小题6分，共30分） 1．若A 为3阶正交矩阵， 求det (E-2A )2．计算行列式a b b b b a b b b b a b b b b a。
3．设020200,001A AB A B ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵A-B 。
4、求向量组1234(1,2,1,2),(1,0,1,2),(1,1,0,0),(1,1,2,4)αααα====的的秩。
5、向量ω在基)1,1,1(),1,1,0(),1,1,1(-===γβα下的坐标（4，2，-2），求ω在,,αββγγα+++下的坐标。
四、（12分）求方程组123451234512345223273251036x x x x x x x x x x x x x x x +-++=⎧⎪-+++=⎨⎪+--+=⎩ 的通解（用基础解系与特解表示）。
五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵2123123(,,)4f x x x x x x =+六、证明题（6分） 设0β≠，12,,,r ξξξ是线性方程组AX β=对应的齐次线性方程组一个基础解系， η是线性方程组AX β=的一个解，求证对于任意的常数a ，12,,,,r a a a ξηξηξηη+++线性无关。
《线性代数 》试卷B 参考答案一 填空题（1） 2-2-5*22005（2）λ1···λn（3）m=r(A)=r(A,B)< n （4）t=-8 （5））1,2,-3 二 选择题(1) D (2) D (3) D (4) A (5) D三 解答题(1) 3阶的正交矩阵必有一个实特征根，这个特征根为1或者-1， 所以 det (E-2A )= det （E-A ）· det （E+A ） =0（2）311(3)111000(3)(3)()000a b b b b b b b a b b a b b a b b b a b b a b b b b a b b ab b ba b a b a b a b a b a b=+=-+=+---(3)由AB=A-B ，有A E A B A B E A 1)(,)(-+==+，111203312021()2100,330021002A E --⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭1242003333020212402000333300111000022B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4248003333020248420000333300111000022A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021100110101012142110011210121214321αααα而021120011101020011101121≠-=== 故秩为3。