x
1、定义域 . 2、值域
k>0
k<0
(, 0）（0，+）
(, 0）（0，+）
3、单调性 递减(,0)，(0，+) 递增(,0)，(0，+)
4、图象
二次函数 y ax2 bx c
1、定义域 2、值域 3、单调性
4、图象
a>0
a<0
.
4ac b2
[
, )
4a
R.
4ac b2
(,
]
4a
(, b ]减, [- b ,)增
真子集个数为
2n-1
非空真子集个数为
2n-2
2、集合相等： A B, B A A B
3、空集：规定空集是任何集合的子集，是任
何非空集合的真子集
3.集合间的关系:
子集：AB任意x∈A x∈B.
真子集：AB x∈A，x∈B，但存在
x0∈B且x0A. 集合相等：A＝B AB且BA. 空集：.
性质：②①AAA.，若③AA非B空，，B则CAA. C.
第一章 集合与函数概念 第二章 基本初等函数Ⅰ 第三章 函数应用
一、知识结构
集合
含义与表示
基本关系
基本运算
列举法 描述法 图示法 包含 相等 并集 交集 补集
一、集合的含义与表示
（一）集合的含义 1、集合：把研究对象称为元素，把一些元素组成的
总体叫做集合
2、元素与集合的关系： 或 3、元素的特性：确定、互异、无序
例1：判断函数f(x)=1/x在区间(0,+∞)上
是增函数还是减函数？并证明你的结论。 减函数
证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
f
( x1 )
1 x1
,
f
(x2 )
1 x2
11
f (x1)
x2
f (x2 )
x1
x1
x2
y
1 －1 1
O
－1
f（x）在定义域 上是减函数吗？
x
x1 x2
二、奇函数、偶函数的图象特点
1、奇函数的图象关于原点成中心对称图形。 2、偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
奇函数里的定值：如果奇函数y=f(x)的 定义域内有0，则f(0)=0.
如果函数的定义域不关于原点对称，则 此函数既不是奇函数，又不是偶函数。
奇函数关于原点对称的两个区间上的 单调性一致；偶函数则相反。
1.集合中元素的性质:
(1)确定性：集合中的元素必须是确定的. (2)互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的. (3)无序性：集合中的元素是没有先后顺序的.
ex1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x＝ -1
Hale Waihona Puke 2.常用的数集及其记法自然数集（非负整数集）：记作 N 正整数集：记作N*或N+ （不含0） 整数集：记作 Z 有理数集：记作 Q 实数集：记作 R
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否 关于原点对称； ②确定f(-x)与f(x)的关系 ③作出相应结论： 若f(-x)=f(x) 则f(x)是偶函数 若f(-x)=-f(x) 则f(x)是奇函数.
例12 判断下列函数的奇偶性
(1) f x x 1 x 1
三、函数的性质：单调性定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
y
如果对于定义域I内某个区间D上的
y=f(x)
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当
f(x2) x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么
f(x1)
就说函数f(x)在区间D上是增函数.
o x1 y
x2 x 区间D叫做函数的增区间。
logc N logc a
loga b • logb a 1
6 logam
Nn
n m
loga
N
指数函数与对数函数
函数 y = ax ( a＞0 且 a≠1 )
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 )
a＞1
0＜a＜1
a＞1
0＜a＜1
图
y
(0, 1)
1
象
0
x
y
y
(0, 1)
1
o
0
x
y
1
(1, 0)
(2) f x 3
x2
(3) f x x 1
x
(4) f x x2 , x 2,3
例题 已知 f ( x ) 是奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) = x 2 －2x，求当 x ＜ 0 时，
f ( x ) 的解析式，并画出此函数 f ( x ) 的图象。
解：∵ f ( x ) 是奇函数 ∴ f (－x ) = －f ( x )
(5)
( a )n b
an bn
(b
0,
n
Z)
1. 对数的运算性质:
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
⑴ log（ a MN） loga M loga N
(2) loga
M N
loga
M
loga
N
(3) loga M n n loga M (n R)
4
5
loga
N
如果对于定义域I内某个区间D上的
y=f(x) 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当
f(x1) f(x2) o x1 x2 x
x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.
3.(定义法)证明函数单调性的步骤:
设值 作差变形 判断差符号 下结论
反比例函数 y k
x
二、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 象 法
例10求下列函数的解析式
(1)已知f (x) x2 4x 3,求f (x 1换) 元法 (2)已知f (x 1) x2 2x,求f (x) (3)设 f (x)是一次函数，且
待定系数法
f [ f (x)] 4x 3,求f (x)
(
x
1)2
1
x0
o
x
例14 f x是定义在1，1上的减函数， 若f 2 a f 3 a 0,求a的取值范围
基本初等函数
基本初等函数
指数函数
对数函数
幂函数
指数幂的运算
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈Q)； ⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)； ⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈Q).
子集、真子集个数：
一般地，集合A含有n个元素， 则A的子集共有 2n 个; A的真子集共有 2n－1个; A的非空子集 2n-1 个; A的非空真子集 2n-2 个.
三、集合的并集、交集、全集、补集
1.并集: A B {x | x A，或x B} 2.交集: A B {x | x A，且x B}
3) y f (x 2)的定义域为{x|x 4}, 求y=f(x2 )的定义域
例8 若f (x) lg(ax2 4ax 3)的定义域为R 求实数a的取值范围。
当a 0时，函数的定义域为R;
当a
0， 16a2
12a
时，函数的定义域也为R. 0
函数的定义域为R，a的取值范围是0 a 3 . 4
y
即 f ( x ) = －f (－ x )
∵当 x ≥ 0 时， f ( x ) = x 2 －2x
∴ 当 x ＜ 0 时， f ( x ) = －f (－ x )
= －[ (－x ) 2 －2(－x ) ]
= －( x 2 + 2x )
故y
x2 2x
x2
2x
x0 x0
( x 1)2 1 x 0
4.当k 0, f (x)与kf (x)的增减性相同, k 0时, f (x)与kf (x)增减性相反.
5.在公共区间内,增函数 增函数 增函数, 增函数 减函数 增函数.
1. 函数f (x)=
2x+1, (x≥1) ４－x, (x＜1)
你知道函 数的最
则f (x)的递减区间为( B )
求 1、分式的分母不为零.
定 2、偶次方根的被开方数不小于零.
义 域
3、零次幂的底数不为零.
的 4、对数函数的真数大于零.
主 5、指、对数函数的底数大于零且不为1. 要
依 6、实际问题中函数的定义域
据
（一）函数的定义域
1、具体函数的定义域
例7.求下列函数的定义域
(1) f (x) x 1 x2
(2) f (x) log2 (x2 1) (3) f (x) log0.5 (4x 3)
函数
函数的概念
函数的基本性质
函数的单调性 函数的最值 函数的奇偶性
一、函数的概念：
B
A
思考:函数
C
x1
A.B是两个非空的数集值,域如C果与
y1
x2
按照某种对应法则f，集对合于B的
y2
x3
集合A中的每一个元素关x，系
y3
在集合B中都有唯一的元素y
x4
和它对应，这样的对应叫做
y4
x5
从A到B的一个函数。
（含0）
(二)集合的表示 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，并
放在{ }内
2、描述法：用文字或公式等描述出元素的特性，
并放在{x| }内
3.图示法 Venn图,数轴
二、集合间的基本关系
1、子集：对于两个集合A，B如果集合A中的任
何一个元素都是集合B的元素，我们称A为B的子集.