2013年高考理科数学安徽卷word解析版2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013安徽，理1)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z ＝( )．A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i2．(2013安徽，理2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )．A ．16B ．2524C ．34D ．11123．(2013安徽，理3)在下列命题中，不．是．公理的是( )． A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．(2013安徽，理4)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2013安徽，理5)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )．A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6．(2013安徽，理6)已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则f (10x )＞0的解集为( )．A ．{x|x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x|－1＜x ＜－lg 2}C ．{x|x ＞－lg 2}D ．{x|x ＜－lg 2}7．(2013安徽，理7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．A ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝18．(2013安徽，理8)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===nnf x f x f x x x x ()()()L ，则n 的取值范围是( )．A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}9．(2013安徽，理9)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R u u u r u u u r u u u r所表示的区域的面积是( )． A． B．C． D．10．(2013安徽，理10)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(2013安徽，理11)若8x ⎛+ ⎝的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝__________.12．(2013安徽，理12)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C＝__________.13．(2013安徽，理13)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为__________．14．(2013安徽，理14)如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且n所有梯形A n B n B n＋1A n＋1的面积均相等．设OA n＝a n.若a1＝1，a2＝2，则数列{a}的通项公式是__________．n15．(2013安徽，理15)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．时，S为四边形①当0＜CQ＜1时，S为等腰梯形②当CQ＝12时，S与C1D1的交点R满③当CQ＝34足C1R＝13④当3＜CQ＜1时，S为六边形4⑤当CQ＝1时，S的面积为2三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．＝4cos ωx ·πsin 4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．＝ax－(1＋a2)x2，其中a＞0，区间I＝{x|f(x)＞0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．2222=11x y a a+-的焦点在x 轴上． (1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．19．(2013安徽，理19)(本小题满分13分)如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD所成的角为60°.(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)求cos∠COD.20．(2013安徽，理20)(本小题满分13分)设函数f n (x )＝23222123nx x xx n-+++++L (x ∈R ，n ∈N *)．证明： (1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0； (2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0＜x n－x n ＋p ＜1n.21．(2013安徽，理21)(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则由·i+2=2z z z得(a＋b i)(a－b i)i＋2＝2(a＋b i)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2b i，所以2a＝2，a2＋b2＝2b，所以a＝1，b＝1，即z＝a＋b i＝1＋i.2．答案：D解析：开始2＜8，11s==，n＝2＋2＝4；0+22返回，4＜8，113s=+=，n＝4＋2＝6；244返回，6＜8，3111s=+=，n＝6＋2＝8；4612返回，8＜8不成立，输出11s=.123．答案：A解析：由立体几何基本知识知，B选项为公理2，C选项为公理1，D选项为公理3，A选项不是公理．4．答案：C解析：函数f(x)的图象有以下三种情形：a＝0 a＞0a ＜0由图象可知f (x )在区间(0，＋∞)内单调递增时，a ≤0，故选C. 5．答案：C解析：五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，五名男生成绩的方差为21s ＝22222869094908890929090905(-)+(-)+(-)+(-)+(-)＝8，五名女生成绩的方差为22s＝22288913939165(-)+(-)=， 所以2212s s >，故选C.6．答案：D解析：由题意知－1＜10x＜12， 所以x ＜1lg 2＝－lg 2，故选D. 7．答案：B解析：由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故选B. 8．答案：B解析：1212===n nf x f x f x x x x ()()()L 可化为1212000===000nnf x f x f x x x x ()-()-()----L ，故上式可理解为y ＝f (x )图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与y ＝f (x )的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为n ＝2，②为n ＝3，③为n ＝4.9．答案：D解析：以OA u u u r ，OB uuu r为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x 轴对称，由已知|OA u u u r |＝|OB uuu r |＝OA u u u r ·OB uuu r＝2，可得出∠AOB ＝60°，点A1)，点B，－1)，点D 0)．现设P (x ，y )，则由OPuuu r＝λOAu u u r ＋μOBuuu r 得(x ，y )＝λ1)＋μ1)，即,.x y λμλμ+)=-=⎪⎩ 由于|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R ，可得11,x y ⎧≤≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点P (x ，y )满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为10．答案：A解析：由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．如图所示，x 1＜x 2 x 2＜x 1 由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题．．．卷上答题无效．．．．．．．． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．答案：12 解析：∵8x ⎛⎝的通项为1838C ()r rrrxa x --883388=C C r r r rr rr ra xxa x----=， ∴8－r －3r＝4，解得r ＝3.∴338C 7a=，得12a =. 12．答案：2π3解析：∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .①又∵b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，53a b =，73c b =， ∴22222257133cos 52223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =. 13．答案：[1，＋∞)解析：如图，设C (x 0，2x )(2x ≠a )，A(a )，B，a )，则CA u u u r ＝(0x -，2a x -)，CB u u u r＝x ，2a x -)．∵CA ⊥CB ，∴CA u u u r ·CB u u u r＝0，即－(a －2x )＋(a －2x )2＝0，(a －2x )(－1＋a －2x )＝0，∴20x ＝a －1≥0，∴a ≥1. 14．答案：na = 解析：设11OA B S ∆＝S ，∵a 1＝1，a 2＝2，OA n ＝a n ， ∴OA 1＝1，OA 2＝2.又易知△OA 1B 1∽△OA 2B 2，∴1122221221124OA B OA B S OA SOA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭.∴1122A B B A S 梯形＝311OA B S ∆＝3S .∵所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等， 且△OA 1B 1∽△OA n B n ，∴1nOA OA ===∴1na a =，∴na=15．答案：①②③⑤ 解析：当CQ ＝12时，D 1Q 2＝211D C ＋C 1Q 2＝54，AP 2＝AB 2＋BP2＝54，所以D 1Q ＝AP ，又因为AD 1∥2PQ ，所以②正确；当0＜CQ ＜12时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；图(1)如图(2)，当CQ ＝34时，由△QCN ∽△QC 1R 得11C Q C RCQ CN =，即114314C R =，C 1R ＝13，故③正确；图(2)如图(3)所示，当34＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF ，所以④错误；当CQ ＝1时，截面为APC 1E ，图(3)可知AC1EP ，且四边形APC 1E 为菱形，S 四边形APC 1E三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ωx ·cos ωx ＋2ωx(sin 2ωx ＋cos 2ωx )π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2ω，故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝π2sin 24x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭若0≤x ≤π2，则ππ5π2444x ≤+≤.当πππ2442x ≤+≤，即π08x ≤≤时，f (x )单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤，即ππ82x ≤≤时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．17．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221a x a =+，故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a+. (2)设d (a )＝21a a +，则d ′(a )＝22211a a -(+).令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k ≤a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增；当1＜a ≤1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得． 而23223211211111211kd k k k k k d k k kk -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)，故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122kk k--+. 18．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14， 解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为2288=153x y +.(2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c =由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率1F Pk ＝0y x c +，直线F 2P 的斜率2F Pk ＝0y x c -，故直线F 2P 的方程为y ＝00()y x c x c --．当x ＝0时，y ＝00cy c x-， 即点Q 坐标为00(0,)cyc x-. 因此，直线F 1Q 的斜率为1F Qk ＝0yc x-. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以11F PF Qk k ⋅＝000y yx c c x⋅+-＝－1. 化简得222(21)y x a =--．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上． 19． (1)证明：设面PAB 与面PCD 的交线为l . 因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内， 所以AB ∥面PCD .又因为AB ⊂面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l .由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行． (2)解：设CD 的中点为F .连接OF ，PF .由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD .因为OP ⊥底面，CD ⊂底面， 所以OP ⊥CD .又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD.从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ， 故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角． 由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP ·tan∠OPF ＝h. 根据题设有∠OCP ＝22.5°，得tan tan 22.5OP hOC OCP ==∠︒. 由1＝tan 45°＝22tan 22.51tan 22.5︒-︒和tan 22.5°＞0， 可解得tan 22.5°＝2－1， 因此1)OC h ==.在Rt △OCF 中，cos ∠COF＝OFOC ==，故cos ∠COD ＝cos(2∠COF)＝2cos 2∠COF －1＝21=17--.20．证明：(1)对每个n ∈N *，当x ＞0时，f ′n (x )＝11+2n x x n-++L ＞0，故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增． 由于f 1(1)＝0，当n ≥2时，f n (1)＝22211123n +++L ＞0，故f n (1)≥0.又2222221121131 ()3334334kk n n n k k f k ==⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=-++≤-+=-+⎪⎝⎭∑∑·2112213312023313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅< ⎪⎝⎭-，所以存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0.(2)当x ＞0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋121n x n +(+)＞f n (x )，故f n ＋1(x n )＞f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增知，x n ＋1＜x n ，故{x n }为单调递减数列，从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p ＜x n .对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝222102n n n nx x x n-++++=L ，① f n ＋p (x n ＋p )＝2122221+021n n n p n p n p n p n p n px x x x xn n n p ++++++-++++++=(+)(+)L L ＋.②①式减去②式并移项，利用0＜x n ＋p ＜x n ≤1，得x n －x n ＋p ＝222211k kkkn pn pnn pnn p n p k k n k n x x x xk k k +++++==+=+-+≤∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+.因此，对任意p ∈N *，都有0＜x n －x n ＋p ＜1n. 21．解：(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝11C C k n k nkn--=，故P (A )＝P (B )＝1k n -，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn k P n n -⎛⎫=--=⎪⎝⎭.(2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k ＜n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n.当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：事件{X ＝m }所含基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m k nkn knkn k------=. 此时P (X ＝m )＝22C C C C C (C )C k k m m k m k m k nk n k k n kk k nn------=.当k ≤m ＜t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔CC m k m k k n k---≤11CC m km k k n k+-+--⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )(2k －m )⇔m ≤2(1)22k k n +-+. 假如k ≤2(1)22k k n +-+＜t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k ≤2(1)22k k n +-+2(1)212k k n +<+-+≤t .故P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n +-+和m ＝2(1)212k k n ++-+处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦处达最大值．(注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k ≤2(1)22k k n +-+＜t . 因为1≤k ＜n ，所以2(1)22k k n +-+－k ＝221111222kn k k k k k n n n --(+)---≥=≥+++.而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++，故2k －k ＋12n ＋2＜n .显然2(1)22k k n +-+＜2k .因此k ≤2(1)22k k n +-+＜t .。