2．2《平面向量的线性运算》教学设计【教学目标】1．掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义；2．会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.【导入新课】 设置情景：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、 情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+（4）船速为AB ，水速为，则两速度和：AC =+ 新授课阶段 一、向量的加法A B CACABCOAaaa bb b１．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a.探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加.例1 已知向量a 、b ，求作向量a +b .作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）；A B Ca +ba +ba ab b aｂｂ ａa２）向量加法的交换律：a +b =b +a .５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ). 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =，则(a +b ) +c =AD CD AC=+，a + (b +c ) =AD BD AB =+. ∴(a +b ) +c =a + (b +c ).从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 二、向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 a .（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a ) = 0.如果a 、b 互为相反向量，则a =b ， b =a ， a +b = 0（3） 向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a b = a + (b )，求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b . 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a b . ∵(ab ) + b = a + (b ) + b = a + 0 = a ，作法：在平面内取一点O ， 作OA = a ， AB = b . 则BA = a b .即a b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1AB 表示a b .强调：差向量“箭头”指向被减数，2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b ).显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.OAaB’ b bBa + (b )abOabBabab4探究：１） 如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b a.２）若a ∥b ， 如何作出a b ？例2 已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b 、c d .解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作BA ， DC ，则BA = a b ， DC = c d .例3 平行四边形ABCD 中，=a ，=b ， 用a 、b 表示向量、.A BD CABCbad cDOab AABBB’Oa b a a b bO AOBab a bBAOb解：由平行四边形法则得：AC = a + b ， DB = AD AB = a b .变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与ab 垂直？（|a | = |b |）变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a b |？（a ， b 互相垂直）变式三：a +b 与a b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）三、向量数乘运算 1．定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考） 可根据小学算术中3333335的解释，类比规定：实数λ与向量a 的积就是λa ，它还是一个向量，但要对实数λ与向量a 相乘的含义作一番解释才行.实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa . 它的长度和方向规定如下： （1）||||||λa λa . （2）0λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ时，λa 的方向与a 的方向相反；特别地，当0λ或0a时，0λa.2．运算律：问：求作向量2(3)a 和6a （a 为非零向量）并进行比较，向量2()a b 与向量22a b相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）生：2(3)6a a ，222()a b a b .师：设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有： （1）()λμa λa μa ； （2）()()λμa λμa ； （3）()λa b λa λb .通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律. 3．向量平行的充要条件： 请同学们观察a m n ，22b m n ，回答a 、b 有何关系？生：因为2ba ，所以a 、b 是平行向量.引导：若a 、b 是平行向量，能否得出bλa ？为什么？可得出aλb 吗？为什么？生：可以！因为a 、b 平行，它们的方向相同或相反.师：由此可得向量平行的充要条件：向量b 与非零向量a 平行的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得bλa .对此定理的证明，分两层来说明： 其一，若存在实数λ，使b λa ，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知λb 与a 平行，即b 与a 平行.其二，若b 与a 平行，且不妨令0a，设||||b μa （这是实数概念）．接下来看a 、b 方向如何：①a 、b 同向，则b μa ，②若a 、b 反向，则记b μa ，总而言之，存在实数λ（λμ或λμ）使b λa .例4 如图：已知3AD AB ，3DE BC ，试判断AC 与AE 是否平行． 解：∵333()3AEAD DEABBCABBC AC ，∴AE 与AC 平行. 4）单位向量：单位向量：模为1的向量. 向量a （0a）的单位向量：与a 同方向的单位向量，记作0a .思考：0a 如何用a 来表示？ （0||a a a 01||a a a ） 例5 已知,,,,OA a OBb OCc ODd OEe =====，设t R ∈，如果3,2,a c b d ==()e t a b =+，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？解：由题设知，23,(3)CD d c b a CE e c t a tb =-=-=-=-+，,,C D E 三点在一条 直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE kCD =，即(3)32t a tb ka kb -+=-+， 整理得(33)(2)t k a k t b -+=-. ①若,a b 共线，则t 可为任意实数；②若,a b 不共线，则有330,20,t k t k -+=⎧⎨-=⎩解之，得65t =.综上，,a b 共线时，则t 可为任意实数；,a b 不共线时，65t =. 例6 在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为BF 与DE 的交点，若AB a =， AD b =，试以a ，b 表示DE 、BF 、CG ．解：1122DE AE AD AB BE AD a b b a b =-=+-=+-=-， 1122BF AF AB AD DF AB b a a b a =-=+-=+-=-，G 是△CBD 的重心，111()333CG CA AC a b ==-=-+.课堂小结（1）λ与a 的积还是向量，λa 与a 是共线的；（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路.该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项. 作业P88-89习题3 A 组 2、3、4、5. P89习题3 B 组 2、3. 拓展提升1.设00,a b 都是单位向量，则下列结论中正确的是 A ．00a b = B ．001a b ⋅= C ．00||||2a b += D ．00||2a b +=2.已知正方形的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++= A. 0 B. 3 C. 22 D. 23. 已知向量,a b ，且2(43)3(54)03a c cb -+-=，则c = .(用,a b 表示)4..已知,OA a OB b ==，C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上距C 较近的一个三等分点，则用b a,表示OD 的表达式为A. )54(91b a+ B . )79(161b a + C. )2(31b a + D. )3(41b a +5. 已知向量,a b 不共线，,m n 为实数，则当0ma nb +=时，有m = ， n = .6. 若菱形ABCD 的边长为2，则AB CB CD -+= .7.已知||8,||5AB AC ==,则||BC 的取值范围是 . 参考答案1．提示：因为是单位向量，00||1,||1a b == 2．提示：AB BC AC +=， ∴|||2|a b c c ++=. 3．8123913a b -+ 4．提示：AB b a =-，22,,33DB CB CB AB == ∴55()99AD AB b a ==-，OD OA AD =+.5．提示：若,m n 不全为0，比方0m ≠，则有na b m=-，从而,a b 共线. 6．2 提示： 2AB CB CD AB BC CD AC CD AD -+=++=+== 7．[3,13]提示:||||||||||AB AC BC AB AC -≤≤+.。