§4 数据的数字特征
4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差
4.2标准差
双基达标(限时20分钟)
1．已知一组数据20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )．A．平均数>中位数>众数
B．平均数<中位数<众数
C．中位数<众数<平均数
D．众数＝中位数＝平均数
解析中位数、平均数、众数都是50，从中看出一组数据的中位数、众数、平均数可以相同．
答案 D
2．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )．A．81.2，4.4 B．78.8，4.4
C．81.2，84.4 D．78.8，75.6
解析由题意得原来数据的平均数是80＋1.2＝81.2，方差为4.4.
答案 A
3．某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的平均值为( ) A．150.2克B．149.8克
C．149.4克D．147.8克
解析这车苹果单个重量的平均值为
x－＝150＋152＋…＋147
10
＝149.8(克)．故选B.
答案 B
4．已知数据a，a，b，c，d，b，c，c，且a<b<c<d，则这组数据的众数为________，中位数为________，平均数为________．
解析把数据按从小到大的顺序排成一列为：a，a，b，b，c，c，c，d，众数
为c，中位数为b＋c
2
，平均数为
2a＋2b＋3c＋d
8
.
答案c b＋c
2
2a＋2b＋3c＋d
8
5．已知样本方差由s2＝
1
10
∑
i＝1
10
(x i－5)2求得，则x1＋x2＋…＋x10＝________．
解析由s2＝
1
10
∑
i＝1
10
(x i－5)2得x
－
＝5，
∴x1＋x2＋…＋x10＝10×5＝50.
答案 50
6．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货时间(单位：天)：
甲：10 9 10 10 11 11 9 11 10 10
乙：8 10 14 7 10 11 10 8 15 12
估计两个供货商的交货情况，并判断哪个供货商的交货时间短一些，哪个供货 商的交货时间比较具有一致性与可靠性．
解 x －甲＝110
(10＋9＋10＋10＋11＋11＋9＋11＋10＋10)＝10.1(天)， s 2甲＝
110[(10－10.1)2＋(9－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2＋(11－10.1)2
＋(11
－10.1)2＋(9－10.1)2＋(11－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2]＝0.49(天2)；
x －乙＝110
(8＋10＋14＋7＋10＋11＋10＋8＋15＋12)＝10.5(天)， s 2
乙＝
110[(8－10.5)2＋(10－10.5)2＋(14－10.5)2＋(7－10.5)2＋(10－10.5)2
＋(11－
10.5)2＋(10－10.5)2＋(8－10.5)2＋(15－10.5)2＋(12－10.5)2]＝6.05(天2)．
从交货时间的平均数来看，甲供货商的交货时间短一些；从交货时间的方差来 看，甲供货商的交货时间较稳定，因此甲供货商的交货时间比较具有一致性与可靠性.
综合提高 （限时25分钟）
7．为了了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为
1.60m ；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50m ．由此可推断我国13岁男孩的平均身高为
( )． A ．1.54m B ．1.55m C ．1.56m D ．1.57m
解析 x －＝300×1.60＋200×1.50300＋200
＝1.56(m)．
答案 C
8．下列说法中，正确的是 ( )．
A ．数据5，4，4，3，5，2的众数是4
B ．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
C ．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
D ．数据2，3，4，5的标准差52
是数据4，6，8，10的标准差5的一半 解析 A 中数据的众数是4和5；方差是标准差的平方，故B 不正确；方差越 大，射击的稳定性就越差，射击水平不会很高，故C 不正确；通过计算D 正 确．
答案 D
9．对划艇运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(单
位：m/s)的数据如下：
甲 27，38，30，37，35，31；
乙 33，29，38，34，28，36.
根据以上数据，可以判断________更优秀．
解析 x －甲＝16
(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33(m/s)． s 2甲＝1
6[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝
946≈15.7(m/s)． x －乙＝16
(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33(m/s)， s 2乙＝1
6×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝
766≈12.7(m 2/s 2) ∴x －甲＝x －乙，s 2甲>s 2乙，说明甲乙两人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳
定，乙比甲更优秀．
答案 乙
10．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列数字
表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天中甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.
解析 甲每天加工零件个数的平均数为
19＋18＋20×2＋21＋22＋23＋31×2＋3510
＝24， 乙每天加工零件个数的平均数为
19＋17＋11＋21＋22＋24×2＋30×2＋3210
＝23. 答案 24 23
11．一位中学生在30天中坚持每天记忆英语单词，其中有2天的日记忆量是51
个，有3天日记忆量是52个，有6天的日记忆量是53个，有8天的日记忆量是54个，有7天的日记忆量是55个，有3天的日记忆量是56个，有1天的日记忆量是57个，计算这位中学生在这30天里的平均日记忆量是多少？
解 观察数据，发现数据都在50附近，将原数据51，52，53，54，55，56， 57同时减去50得一组新的数据：1，2，3，4，5，6，7，它们出现的频率依 次是2，3，6，8，7，3，1，那么这组新数据的平均数是：
x －1＝1×2＋2×3＋…＋7×130＝11830
≈3.9， 所以x －＝x －1＋50≈53.9(个)．
即这位中学生在这30天里的平均日记忆量约是54个．
12．(创新拓展)一名射击运动员射击8次所中环数如下：
9．9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7
(1)求这8次射击的平均环数x －是多少？标准差是多少？
(2)环数落在①x －－s 与x －＋s 之间；②x －－2s 与x －＋2s 之间的各有几次，所占
百分比各是多少？
解 (1)x －＝
9.9＋10.3＋9.8＋10.1＋10.4＋10＋9.8＋9.78＝10(环)； s 2＝18[(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.8－10)2＋(10.1－10)2＋(10.4－10)2＋
(10－
10)2＋(9.8－10)2＋(9.7－10)2]
＝18
(0.01＋0.09＋…＋0.09) ＝0.448
＝0.055(环2) 所以s ＝0.055≈0.235(环)
(2)①x －－s ＝10－0.235＝9.765，x －＋s ＝10＋0.235＝10.235，在这两个数据
之
间的数有5个，
占到58
＝62.5%； ②x －－2s ＝10－0.235×2＝9.53，x －＋2s ＝10＋0.235×2＝10.47，在这两个数
据之间的数有8个，占到100%.。