【课后作业】
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1.已知等腰三角形的两边长分别为 6 ㎝、3 ㎝，则该等腰三角形的周长是（ ）
A.9 ㎝
B．12 ㎝
C．12 ㎝或 15 ㎝
D．15 ㎝
2.如果 a b ，那么下列各式一定正．确．的是（ ）
A. a 2 b 2
B. a b 22
3.下列命题中正确的是 ( )
（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）
【例 1】、如图，在△ABC 和△DCE 中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，将△DCE 绕点 C 旋转 （0°<∠ACD<180°），连结 BD 和 AE： （1）求证：△BCD≌△ACE； （2）试确定线段 BD 和 AE 的数量关系和位置关系； （3）连接 AD 和 BE，在旋转过程中，△ACD 的面积记为 S1，△BCE 的面积记为 S2，试判断 S1 和 S2 的 大小，并给予证明．
（3）当 AM+BM+CM 的最小值为
时，求正方形的边长。
【费马点问题】
费马点：是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。
1.若三角形 3 个内角均小于 120°，那么 3 条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的 张角相等，均为 120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
题型五、图形的平移
【例】、如图，∠MAN=45°，点 C 在射线 AM 上，AC=10，过 C 点作 CB⊥AN 交 AN 于点 B，P 为线段 AC 上一个动点，Q 点为线段 AB 上的动点，且始终保持 PQ=PB．
（1）如图 1，若∠BPQ=45°，求证：△ABP 是等腰三角形； （2）如图 2，DQ⊥AP 于点 D，试问：此时 PD 的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请计 算其长度； （3）当点 P 运动到 AC 的中点时，将△PBQ 以每秒 1 个单位的速度向右匀速平移，设运动时间为 t 秒， B 点平移后的对应点为 E，求△ABC 和△PQE 的重叠部分的面积．
【变式练习】
【操作发现】如图 1，△ABC 为等边三角形，点 D 为 AB 边上的一点，∠DCE=30°，将线段 CD 绕点 C
顺时针旋转 60°得到线段 CF，连接 AF、EF，请直接写出下列结果：
①∠EAF 的度数为
；
②DE 与 EF 之间的数量关系为
；
【类比探究】如图 2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点 D 为 AB 边上的一点，∠DCE=45°，
题型三、半角旋转模型
秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等
【例 1】、正方形 ABCD 中，点 E,F 分别在边 BC,CD 上，且∠EAF=45°，AE,AF 与 BD 分别交于 M,N ，（1）求证：BM2+DN2=MN2 （2）求证：△CEF 的周长为定值。
【练习】如图，在四边形 ABCD 中，角 ABC=30°，角 ADC=60°，AD=CD，求证：BD²=AB²+BC²
题型四、旋转与最值问题
【例 1】如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM
绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM。 （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小； ②当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；
△BCD、△DCE、△ACE 这三个三角形的面积之比．
【变式练习】如图，正方形 OABC 的边 OA，OC 在坐标轴上，点 B 的坐标为（-4，4）．点 P 从点 A 出 发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向点 O 运动；点 Q 从点 O 同时出发，以相同的速度沿 x 轴的正 方向运动，规定点 P 到达点 O 时，点 Q 也停止运动．连接 BP，过 P 点作 BP 的垂线，与过点 Q 平行于 y 轴的直线 l 相交于点 D．BD 与 y 轴交于点 E，连接 PE．设点 P 运动的时间为 t（s）． （1）∠PBD 的度数为______，点 D 的坐标为______（用 t 表示）； （2）当 t 为何值时，△PBE 为等腰三角形？ （3）探索△POE 周长是否随时间 t 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
（托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于 120°的三角形 ABC 的每一条边为底边，向外作 正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所 要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。）
2.若三角形有一内角大于等于 120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对 称。
4、中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个
图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 考点四、坐标系中对称点的特征
专点二：图形的旋转 1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿着某个方向（顺时针或逆时针）旋转一定
的角度，这样的图形运动成为旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。 2.旋转的性质：
（1）旋转不改变图形的形状和大小：即旋转前后的图形是一组全等形。 （2）旋转后的图形与原来的图形的对应线段相等，对应角相等。 （3）经过旋转，图形上的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度。
将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段 CF，连接 AF、EF．
①则∠EAF 的度数为
；
②线段 AE，ED，DB 之间有什么数量关系？请说明理由；
【实际应用】如图 3，△ABC 是一个三角形的余料，小张同学量得∠ACB=120°，AC=BC，他在边 BC
上取了 D、E 两点，并量得∠BCD=15°、∠DCE=60°，这样 CD、CE 将△ABC 分成三个小三角形，请求
【练习】、如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°． （1）操作发现 如图 2，固定△ABC，使△DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： ①线段 DE 与 AC 的位置关系是______； ②设△BDC 的面积为 S1，△AEC 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是______． （2）猜想论证 当△DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试 分别作出了△BDC 和△AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点 D 是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB 交 BC 于点 E（如图 4）．若在射线 BA 上存在点 F，使 S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的 BF 的长．
【例】已知：点 P 是三角形 ABC 内任意一点，连接 PA、PB、PC． （1）如图 1，当△ABC 是等边三角形时，将△PBC 绕点 B 顺时针旋转 60°到△P′BC′的位置．若 AB 的长为 a，BP 的长为 b（b＜a），求△PBC 旋转到△P′BC′的过程中边 PC 所扫过区域（图 1 中阴影 部分）的面积．（用 a、b 表示） （2）如图 2，若△ABC 为任意锐角三角形，问：当∠APC、∠APB 和∠BPC 满足什么大小关系时，AP+BP+CP 的和最小，并说明理由．
1.平移作图的一般步骤： （1）确定平移的方向和距离； （2）确定构成图形的关键点（线段两个端点，三角形三个顶点，n 边形 n 个顶点）； （3）按照平移的方向和距离平移各个关键点； （4）顺次连接各个关键点的对应点，所得的图形就是平移后的图形。 2.旋转作图的一般步骤： （1）确定旋转中心、旋转角及旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）旋转个关键点，得到对应点； （4）依次连接各关键点的对应点，所得的图形就是旋转后的图形。 3.图形之间的变换关系： 在图形变换中，最常见的变换有轴对称、平移、旋转，它们都是把一个图形变成另外一个图形， 并且这些变换都只是改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 平移、旋转、轴对称的主要区别是： ①三种变换的运动方式不同，具体体现：“平移”、“旋转”、“翻折”； ②三种变换的对应线段、对应角之间和关系不同； ③平移、旋转、轴对称作图需要的条件不同：平移需要确定方向和距离；旋转需要确定旋转方向、 旋转中心、旋转角度；轴对称需要确定对应点到对称轴的距离。
题型二、手牵手旋转模型
包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残
缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）
（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）
（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）
【例 2】在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系 xoy，△ABC 的三个顶点都在格点上， 点 A 的坐标是（4，4 ），请解答下列问题： （1）将△ABC 向下平移 5 个单位长度，画出平移后的 A1B1C1，并写出点 A 的对应点 A1 的坐标； （2）画出△A1B1C1 关于 y 轴对称的△A2B2C2； （3）将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 90°，画出旋转后的△A3B3C3。 （4）△A3B3C3 沿直线折叠，刚好和△A2B2C2 重合，请直接写出直线的解析式为
【练习】如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1），B（4，2），C（3，4） （1）请画出将△ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的图形△A1B1C1； （2）请画出△ABC 关于原点 O 成中心对称的图形△A2B2C2； （3）在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，请直接写出点 P 的坐标．