]
[u]T
[m][u]
2mL2 0
0
2mL2
[K
]
[u]T
[k
][u]
2mgL 0 0 2mgL
运动方程已解耦。
2020年8月6日 20
《振动力学》
多自由度系统振动的基本知识
教学内容
4.1 广义坐标 4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式 4.3 线性变换和坐标耦合 4.4 无阻尼自由振动，特征值问题 4.5 模态向量的正交性和展开定理 4.6 系统对初始激励的响应
{x(t)} [u]{(t)}
代入运动方程，则有:
[m][u 2020年8月6日 ]{} [k ][u]{} {P(t)} 17 《振动力学》
4.3 线性变换与坐标耦合
左乘 [u]T
[u]T [m][u]{}[u]T [k][u]{} [u]T {P(t)}
记 [M ] [u]T [m][u] [K ] [u]T [k][u] {N (t)} [u]T {P(t)}
其中，[m]，[c]，[k]为n维矩阵，分别为质量矩阵，阻尼矩
阵和刚度矩阵。
其中，刚度矩阵为：
2020年8月6日 《振动力学》
k11...k1 j ...k1n
[k
]
k21...k2
j
...k2
n
.....................
kn1...knj ...knn
5
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
k3
x2
P2
(t)
0 0 m3 x3 0
k3
k3 k4 x3 P3(t)
矩阵形式为：
2020年8月6日 [m]{x} [k]{x} {P(t)} 15 《振动力学》
多自由度系统振动的基本知识
教学内容
4.1 广义坐标 4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式 4.3 线性变换和坐标耦合 4.4 无阻尼自由振动，特征值问题 4.5 模态向量的正交性和展开定理 4.6 系统对初始激励的响应
因此，只有两个坐标独立。
L2
2
m2
y
(x2 , y2 )
能完备的描述系统运动的一组独立的坐标叫广义坐标。
本例202中0年8，月6可日 选(x1, x2 ) 作为广义坐标。 3
本例《振中动力，学》也可选(θ1,θ2 ) 作为广义坐标。
多自由度系统振动的基本知识
教学内容
4.1 广义坐标 4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式 4.3 线性变换和坐标耦合 4.4 无阻尼自由振动，特征值问题 4.5 模态向量的正交性和展开定理 4.6 系统对初始激励的响应
例如： k12 k2
k13 0
3.刚度矩阵为对称矩阵。
例如： k12 k21
k1
k2
k3
kn
m1
m2
m3
mn
c12020年8月6日 c2
c3
cn
7
《振动力学》
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
4.阻尼矩阵和刚度矩阵规律相同。
例如： c22 c2 c3
c23 c3
5.取系统质心为坐标原点，则质量矩阵为对角矩阵。
(2 ) kij 2mij 0
本式称为系统的频率方程，该行列式叫特征行列式。
2020年8月6日 25
《振动力学》
4.4 无阻尼自由振动，特征值问题
展开的频率方程为:
k11 2m11 k21 2m21
k12 2m12 k22 2m22
k1n 2m1n k2n 2m2n 0
kn1 2mn1 kn2 2mn2
第四章
多自由度系统振动的基本知识
多自由度系统振动的基本知识
教学内容
4.1 广义坐标 4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式 4.3 线性变换和坐标耦合 4.4 无阻尼自由振动，特征值问题 4.5 模态向量的正交性和展开定理 4.6 系统对初始激励的响应
2020年8月6日 2
《振动力学》
4.1 广义坐标
4.1 广义坐标
先看一个例子
图示双摆，质量m1， m2在平面摆动。
可以取四个直角坐标 (x1, y1) (x2 , y2 ) 来描述系统的运动。 但这四个直角坐标不独立，有：
x 1
L1
m1 (x1, y1 )
x12 + y12 = L12 (x2 - x1)2 + ( y2 - y1)2 = L22
n
n
{x(t)} Cr{x(t)(r)} Cr{u(r)}cos(rt r )
r 1
r 1
2020年8月6日 27
《振动力学》
4.4 无阻尼自由振动，特征值问题
例: 求图示系统的自然频率。
x1
x2
2k m
k
k
m
x3
2k m
解：系统的质量矩阵为
m 0 0
[m]
0
m
0
系统的刚度矩阵为 0 0 m
10
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
P1(t)
x1 P2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
m2
刚度矩阵为：
[k
]
k1 k2
k2
k2
k2
k3
激励向量为：
2020年8月6日
{P(t
)}
P1(t) P2 (t)
11
《振动力学》
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
例2： 直接写出图示系统的刚度矩阵。
刚度矩阵 [k] 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产 生
单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力
kij
Qi
qj qr
1 0(r
1, 2..., n, r
j)
例如
Q1
k11 Q1 k1 k2
k1 1
m1
k21 Q2 k2
k1
k2
m1
m2
c12020年8月6日 c2
《振动力学》
knn 2mnn
n 阶方阵 A 正定 A >0
是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 yT Ay 0 成立
并且等号仅在 y 0 时才成立
若系统的质量矩阵和刚度矩阵正定，则有频率方程可解得 n个
正实根：
1 2 ... n
2最020小年8的月6日 称为基频。
《振动力学》 1
i 称为第i阶自然频率。
j 1, 2..., n
其中，u j ( j 1, 2..., n) 是一组常数。
即为同步振动: xj (t) u j =const xi (t) ui
i, j 1, 2..., n
同20步20年振8月动6日：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时
间《变振动化力学的》规律都相同的运动
22
4.4无阻尼自由振动，特征值问题
三自由度系统
振动形式1
振动形式2
振动形式3
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时 间变化的规律都相同的运动
2020年8月6日 23
《振动力学》
4.4 无阻尼自由振动，特征值问题
将同步解代入运动方程:
n
n
f (t) miju j f (t) kiju j 0
j 1
j 1
i 1, 2..., n
k3
0
k3
k3 k4
2020年8月6日 14
《振动力学》
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
k5
P2(t)
k6
k1
P1(t) k2 m2
k3
P3(t) k4
m1
m3
系统的运动方程为：
m1 0 0 x1 k1 k2
k2
0 x1 P1(t)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
m2
0
x2
k2
k2 k3 k5 k6
2020年8月6日 21
《振动力学》
4.4 无阻尼自由振动，特征值问题
4.4 阻尼自由振动，特征值问题
无阻尼系统的运动方程：
[m]{x(t)}[k]{x(t)} {0}
一般形式为：
n
n
mij x j (t) kij x j (t) 0
j 1
j 1
i 1, 2..., n
设其有同步解: x j (t) u j f (t)
12
0 0
若有线性变换:
{
(t)}
1 1
11{(t)}
计算变换以后的质量矩阵和刚度矩阵。
解：
mL2 0
[m] 0
mL2
mgL ka2 ka2
[k
]
ka
2
mgL
ka2
2020年8月6日 19
《振动力学》
4.3 线性变换与坐标耦合
[u]
1 1
1 1
[u]T
1 1
1 1
则:
[M
2020年8月6日 9
《振动力学》
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
P1(t)
x1 P2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
m2
直接写出矩阵形式的运动微分方程：
[m]{x}[k]{x} {P(t)}
其中，质量矩阵为：
[m]
m1 0
0
m2
位移向量为：
2020年8月6日 《振动力学》
{x}
x1(t) x2 (t)
3k k 0
[k] k
2k
k
2020年8月6日
0 k 3k
28