高中数学基础知识汇总第一章 集合与常用逻辑用语一．集合与元素(1)集合中元素的三个特征： 性、 性、 性．(2)元素与集合的关系是 或 两种，用符号 或 表示． 集合与集合的关系是 或 两种，用符号 或 表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法1．若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为 ，真子集的个数为 . 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .3．A ∩(∁U A )＝∅；A ∪(∁U A )＝U ；∁U (∁U A )＝A . 四、充分条件与必要条件若q p ⇒，p 是q 的________条件,q 是p 的________条件；若q p ⇔，p 是q 的________条件。

口诀： 方法： 五、全称命题与存在性命题（求否定的口诀： ）:);(,:p x p A x p ⌝∈∀_________________________ :);(,:p x p A x p ⌝∈∃_________________________第二章 函数一、函数定义域的常见求法（1）分式的分母 ；（2）偶次方根的被开方数 ； （3）对数函数的真数 ； （）若函数()fx 由几个部分的数学式子构成的，定义域为使各个式子有意义的实数的集合的 集；二、求函数解析式的常见求法①待定系数法：一次函数f （x ），且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求f （x ） ②配凑法：,1)1(22xx xx f +=-求f （x ）；③换元法：x x x f 2)1(+=+，求f （x ） ○4消元法： 三、函数的单调性1、定义：增函数：)()(],,[,x 212121x f x f x x b a x <⇒<∈对任意的减函数：)()(],,[,x 212121x f x f x x b a x 〉⇒<∈对任意的2、.函数单调性的判定方法(A) 定义法：步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性：四、函数的奇偶性1.定义：设 y=f(x)，，如果对于任意x ∈A ，都有 f (-x ) = f (x ) ，则称 y=f(x)为 函数。

如果对于任意x ∈A ，都有f(-x)=-f(x)，则称y=f(x)为 函数。

其他书写形式：f(x) －f(-x)=0⇔ f(x) =f(-x) ⇔f(x)为 函数。

f(x)+f(-x)=0⇔ f(x) =－f(-x) ⇔f(x) 函数。

2.性质：①偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称,②若奇函数 f(x)的定义域中包含0，则3．奇偶性的判断两看：①看 ②看四、函数的周期性对于定义域中的任意一个x ，都有f(x ＋T)＝f(x)(T ≠0)，则f(x)是周期函数，T 是它的一个周期；常用结论：○1若f(x ＋a)＝f(x ＋b )(a ≠b)，则f(x)是周期函数，则T=○2或或,T= ○3若f(x ＋a)＝f(x-a)，则T= ； ○4 若f(x)是偶函数，且图像关于x=a 对称，则T= ； 若f(x)是奇函数，且图像关于x=a 对称，则T= ；五、函数的对称性1、轴对称：○1若f(x ＋a)＝f(b －x)，则函数f(x)的图象关于直线x ＝ 对称． 特别地，若f(a ＋x)＝f(a －x)，则函数f(x)的图象关于直线 对称； ○2若f(x+a))(a>0)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线 对称； 2、中心对称：○1若f(x ＋a)+f(b －x)=0，则函数f(x)的图象关于点 对称． 特别地，若f(a ＋x)+f(a －x)=0，则函数f(x)的图象关于点 对称； ○2若f(x+a))(a>0)是奇函数，则函数f(x)的图象关于直线 对称； 六、函数图像的变换1、平移变换：2、伸缩变换：()−−−−−−→−倍横坐标变为原来的a x f3、对称变换：f(x)f(x)f(x))0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ()()f x a f x +=-1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠f(x)特别的：函数和的图象关于直线 对称.如指数函数和对数函数七、重要函数1、一次函数（正比例函数）图像及其性质：2、反比函数图像及其性质：3、二次函数图像及其性质：①对称轴 ，顶点坐标 ②二次函数与一元二次方程关系：)(x f y =)(1x f y -=八、指数函数及其性质1、指数与指数幂的运算(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩○2n a=○30,,,mna a m n N+=>∈④1()0,,,m mn na a m n Na-+==>∈⑤a0=1 (a ≠0)⑥a-p= 1/a p⑦(0,,)r s r sa a a a r s R+⋅=>∈⑧()(0,,)r s rsa a a r s R=>∈⑨()(0,0,)r r rab a b a b r R=>>∈2、指数函数的概念1、对数与对数的运算① M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2 =N Malog M a log －N a log ； ○3 n a M log n =M a log )(R n ∈． ④ M a M a nnlog 1log =⑤ b ba a =log ⑥b a b a=log ⑦log a 1=0 ⑧log a a=1 ⑨a log a N=N ⑩ log a a b =b注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．推论(利用换底公式)①b m nb a n a m log log =； ②a b ba log 1log =．2、对数函数1、对数函数的概念：函数 ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：x y 2log 2=，5log5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ② 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．1、幂函数的定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．2、幂函数的性质:①、过定点：过点(1,1)．②、单调性：①如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数． ②如果0α<，幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 、y 轴 ③、奇偶性：⑴当α为奇数时，幂函数为奇函数，⑵当α为偶数时，幂函数为偶函数．第三章 数列二、求数列通项公式的方法1、公式法：等差数列、等比数列2、涉及前ｎ项和S n 求通项公式，利用a n 与S n 的基本关系式来求。

即n a = 例1、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且2n n S =,求通项n a . 练1、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且n n a 32S -=,求通项n a 3、已知递推公式，求通项公式。

（1）叠加法：递推关系式形如()n f a a n 1n =-+型例2、已知数列｛n a ｝中，1a 1=，n a a n 1n =-+，求通项n a 练习2、在数列｛n a ｝中，3a 1=，nn 1n 2a a +=+，求通项n a（2）叠乘法：递推关系式形如 型 例3、在数列｛n a ｝中，1a 1=， ，求通项n a 练习3、在数列｛n a ｝中，3a 1=，nn 1n 2a a •=+，求通项n a（3）构造等比数列：递推关系式形如B Aa a n 1n +=+(A,B 均为常数，A ≠1,B ≠0) 例4、已知数列｛n a ｝满足4a 1=，2a 3a 1n n -=-，求通项n a 练习4、已知数列｛n a ｝满足3a 1=，3a 2a n 1n +=+，求通项n a （4）取倒数法例5、在数列{a n }中，已知1a 1=, ,求数列的通项n a三、求数列的前n 项和的方法1、公式法2、错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列 .[例1] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. [例2] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S3、分组求和法：主要用于求数列{a n +b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列[例3] 求数列： ,21n ,,813,412,211n ++++的前n 项和 [例4] 求和：()()()()n a 3a 2a 1a n32-++-+-+-()n f a a n1n =+n 1n a 1n na +=+2a a 2a n n1n +=+4、裂项相消法： （1）=+=)1(1n n a n （2）=+=)(1k n n a n（3）=++=n n a n 11 （4）)n k n (k1n k n 1a n -+=++=[例5] 数列{a n }中，1n n1n 21n 1a n ++++++= ，又1n n n a a 2b +•=，求{b n }的前n 项的和.第四章 三角函数与解三角形一、基础知识1、三角函数的定义：以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，r=则sin = ， csc = cos = ， sec = tan = ， cot =2、弧长公式与扇形面积公式：弧度制与角度制的换算：L 弧长= =S 扇形= = =3、同角三角函数基本关系式：4、诱导公式：十字口诀为：5、特殊角的三角函数值：3、三角函数在各象限中的符号αα),(y x P r αααααα二、三角基本公式1、两角和与差的三角函数公式：（口诀： ） （口诀： ） （口诀： ）3、二倍角公式：sin2=cos2= = = tan2= 。

4、降幂公式是： 。

5、辅助角公式：三、三角函数的图象与性质、变换：1、正弦、余弦、正切函数的图象和性质可归纳为下表：=±)sin(βα=±)cos(βα=±)tan(βαααα________________sin 2=α_________________cos 2=α__________cos sin =+θθb a周期性单调性对称性2、函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的相关概念：函数定义域值域 振幅 周期 频率 初相 )sin(ϕω+=x A y注意：函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0). )sin(ϕω+=x A y 的图象与x y sin =的关系：①振幅变换：x y sin = x A y sin =②周期变换：x y sin = x y ωsin =③位变换：x y sin = )sin(ϕ+=x y3、相关题型:⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴：令ωx+φ= ; 对称中心：令ωx+φ= ; 单调增区间：令ωx+φ=⑵)cos(ϕω+=x A y ：对称轴：令ωx+φ= ; 对称中心：令ωx+φ= ; 单调增区间：令ωx+φ=四、解三角形1.正弦定理： = = = （其中R 是三角形外接圆的半径）2.变形： 1）基本变形：；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CAc a = 2）边化角：a= b= c= 3）角化边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===3.三角形面积：三.余弦定理C B A c b a sin :sin :sin ::=当A 时，图象上各点的纵坐标 到原来的 倍 当A 时，图象上各点的纵坐标 到原来的 倍 当时，图象上各点的纵坐标 到原来的 倍当时，图象上各点的纵坐标 到原来的 倍 当时，图象上的各点向 平移个单位当时，图象上的各点向 平移个单位1.余弦定理：a 2 = ;b 2 =c 2 =2.变形： acb c a B 2cos 222-+=3．利用余弦定理判断三角形形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若，，所以为锐角②若为直角A a b c ⇔=+222③若， 所以为钝角4、三角形中常见的结论①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；②在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔> ③ sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-第五章 平面向量一．平面向量的概念：①在平面内，具有大小和方向的量称为 .②向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作 ．③模（或长度）为0的向量称为 ；模为1的向量称为 ． ④与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作 ． ⑤方向相同且模相等的向量称为 ． 二．向量的线性运算：三．平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e．三角形法则 平行四边形法则向量的加法首位相连写b a - baba 口诀： 向量的减法不共线的向量1e 、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．四．坐标运算：（1）设()()2211,,,y x b y x a ==→→，则 数与向量的积：λ= ，数量积：= （1）、设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， （2）则 .=（3=（4）、平面向量的数量积： =， 注意：00=⋅→→a ，→→=⋅00a ，0)(=-+a a（4）、向量()()2211,,,y x b y x a ==→→的夹角θ，则cos = 六、重要结论：（1）、两个向量平行： →→→→=⇔b a b a λ// )(R ∈λ，⇔→→b a // （2）、两个非零向量垂直a ⊥b ⇔ （3） 中点坐标公式第六章 不等式一、不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)可加性：c b c a b a +>+⇒>； （4）同向可加性：d b c a d c b a +>+⇒>>, (4)可乘性：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,（5）同向同正可乘性：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)可倒性：ba ab b a 110,<⇒>>(6)可乘性：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)可开方性：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且二．均值不等式： 1、若0,>b a ，则ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取等号） 2.基本变形：①≥+b a ；②若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ 3.基本应用：求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。