五、直线边界附近的井流计算
前面学习的地下水向井的运动，都是在无限含水层中，下面讨 论边界附近井的地下水运动。 在解析解中，我们只能将边界概化为；补给边界(供水边界)和 隔水边界(不透水边界)。
(一)映射法原理
没有边界时，抽水井的水位线为最下边的漏斗线；在补给边界 附近时，水头线为中间的线，相当于在补给边界的另一侧有一 注水井，然后进行叠加的结果
s Q ln r2
2T r1 2T r2
2T r1
2.潜水井
Dupuit公式为：H
2 0

h2

Q
K
ln
R0 r
是非线性的，不能直接进行叠加，所以设
u=H02-h2，方程变为：u

Q
K
ln
R0 r
实井产生的
影响为：u1

Q
K
ln
R0 r1
虚井产生的
影响为：u2

Q
K
ln
a-潜水井；b-承压水井
二、水井周围的水位降深
从水井中抽水时，水井周围含水层中的地下水流入 井中，将引起地下水位的下降，水位的下降值称为 降深(s)。 井附近的不同地点，s值不同。井中心最大，离井越 远，s值越小。
抽水时，水井附近的水位总体上形成漏斗状的水头 下降区，被称为降落漏斗。
潜水井抽水后的水位下降意味着含水层被疏干后变 薄，称为重力释放；而承压水井抽水后的水位降低 不产生含水层疏干，称为弹性释放。
虚井的工作时间和实井相同。
(二)直线补给边界附近的井流计算
1. 承压井
设抽水井的流量为Q，井中心至边界的垂直距离为a，由 于边界为补给边界，在边界另一侧的虚拟井为注水井，其
流量为-Q。
由实井产生的降深：s1

Q
2T
ln
R0 r1
由虚井产生的降深：s2

Q
2T
ln
R0 r2
由叠加原理，P点的总降深为：s Q ln R0 Q ln R0
(两个观测孔)
Q 2.732 KM (s0 s1 ) lg r1 r0
(一个观测孔)
上述两式叫做Thiem(蒂姆)公式。
二、潜水完整井的裘布依公式
1.公式推导时的假定条件
与承压水井时的条件完全相同。 ① 地下水运动为稳定流，符合达西定律，即：Q＝KFI； ② 含水层均质、等厚，各向同性； ③ 含水层的隔水底板水平，天然水力坡度为零； ④ 边界条件为环形补给边界（半径为R）； ⑤ 抽水井流量稳定不变。
a-裸井；b-下过滤器的井；c-填砾的井
§2－2 单井出水量的稳定流计算
一、承压完整井的出水量计算
1863年法国水力学家裘布依(Dupuit)首先应用直线渗透定律研 究了地下水向完整井的稳定运动规律，推导出了著名的裘布 依(Dupuit)公式。
1.公式推导时的假定条件
① 地下水运动为稳定流，符合达西定律，即：Q＝KFI； ② 含水层均质、等厚，各向同性； ③ 含水层的隔水底板水平，天然水力坡度为零； ④ 边界条件为环形补给边界(半径为R)； ⑤ 抽水井流量稳定不变。
Rj rij
当i点落在各井井壁处时，即干扰井群对各抽水井 产生的降深：

sw1

Q1
2T
ln
R1 rw1

n j2
Qj
2T
ln
Rj r1 j

sw2

Q2
2T
ln
R2 rw2

n Qj
j1 2T
j2
ln
Rj r2 j

四、Dupuit公式的讨论
1. Q-s的关系
承压水： Q 2
Ts 0 R
令
ln
r0
则有： Q qs0
为一条过坐标原点的直线。
q 2.732 KM lg R r0
潜水： Q 1.364K
(2H s0 )s0 lg R0
1.364K
2H lg R
s0
1.364K R
lg
s2 0
(二) 直线隔水边界附近的井流
隔水边界，虚井为抽水井。 承压水井：s Q ln R0 Q ln R0
2T r1 2T r2

s
Q
R2 ln
2T r1r2
潜水井：u

Q
K
ln
R0 r1

Q
K
ln
R0 r2

H
2 0
h2

Q
K
ln
R2 r1r2
如果P点位于抽水井井壁上时，r1=rw，r2=2a， 代入上式得：
干扰的影响因素：含水层的性质（K的大小，M的 大小）补给和排泄条件等；井的数量、间距和布 井方式等。
(二)、干扰井群问题的解算方法
解干扰井群问题可用叠加原理来求解。例如：在 某含水层中有两眼开采井同时抽水，则该问题的 解可用如下的方法求得。
将该问题的解分解为以下二个模型。
第一个模型：P1井流量为A,P2井流量为0,解得降深 s1(x,y)； 第二模型：P1井流量为0，P2井流量为B，解得降深 s2(x,y)。 二个降深叠加就得到边界条件和抽水井共同作用 下的总降深。
承压水：sw

Q
2T
ln
R2 2arw
潜水：
H
2 0

h2

Q
K
ln
R2 2arw
六、干扰井群的出水量计算
(一) 干扰井群
干扰井群：无论供水或排水,均利用井群抽水。一 般为了便于管理井间距不宜太大。当井间距小于 影响半径时，彼此间的降深和流量会发生干扰。
干扰作用：若保持流量不变，干扰情况下，井的 降深比不干扰时要大；若保持降深不变，干扰情 况下，井的流量比不干扰时要小。
3.水跃及其影响
当潜水流入水井时,井壁水位高于井中水位(水跃)。 产生原因有二：
①井附近地下水的流线为曲线，等水头面为曲面， 只有井壁和井中有水位差时，水才能进入井中。
②水跃的存在，保证了水井有适当的过水断面，有 足够的流量进入水井中。
根据对水跃的研究，原来认为降深为含水层厚度的 一半时，水井的涌水量最大是错误的。现在一般是 认为降深为含水层厚度的80%时，最为合理。
r0
r0
r0
为一条过坐标原点的二次抛物线。
需要说明的是：利用dupuit公式计算的降深值与
抽水井中测得的降深值是不一致的，主要有以下原 因造成。
①含水层释放水量引起的地下水位下降，这是 Dupuit公式的计算值； ② 施工质量问题造成水头损失：如洗井不彻底；
③ 过滤器损失；
④ 管内损失。
后两项统称为井损。
因此，边界的影响可用虚井的影响代替，把实际上有界的 渗流区化为虚构的无限渗流区，把求解边界附近的单井抽 水问题，化为求解无限含水层中实井和虚井同时抽(注)水 问题，利用叠加原理求解。
映射后虚井应具有的特征：
虚井和实井的位置对于边界是对称的； 虚井的流量与实井相等； 虚井的性质取决于边界性质，对于定水头补给边界，虚 井性质和实井相反；如实井为抽水井，则虚井为注水井； 虚井和实井性质相同，都是抽水井；

swn

Qn
2T
ln
Rn rwn
n 1

Qn
j1 2T
ln
Rn rnj
当各井的抽水量和影响半径均相等时，即：
Q1=Q2=…=Qn=Q R1=R2=…=Rn=R i点的降深为：
n
si
Q
2T
n ln R r j1 ij
Q ln Rn
2T ri1 ri2
rin
2.推导过程
地下水流向为指向水井中心的放射状直线，等水位线 为以水井为中心的同心圆柱面，且：Qr1=Qr2=…=Q
根据达西（Darcy）定律，有：Q 2rhK dh
dr
分离变量并移项： 2hdh Q 1 dr
K r
积分得：
h2 Q ln r c
K
代入定解条件：
h H (r R)
(两个观测孔)
Q
1.364K
(2H

s0 lg
s1 )(s0 r1

s1
)
(一个观测孔)
r0
三、Dupuit公式的应用
1. 解正问题
已知含水层的参数，包括M，K，R。 求Q或s；
2 .解逆问题
根据抽水试验获取的数据(M,s,Q等)，求水文地质 参数(K或T)。 注意：参数要尽量用Thiem公式来求,因为R不好确 定。此外，观测孔不能距抽水井太远；抽水时间 也不能太短。
计算中要想办法消除上述影响。但有些是无法准确 计算的，因此实际工作中经常用Q-s关系的经验公式 来计算涌水量。
2.井径与出水量的关系
抽水井流量和井径的关系,到目前为止还没有 统一的认识和公认的公式。但有一点是接受 的，即Dupuit公式中井径与流量的关系不符 合实际情况。
在Dupuit公式中,井径是以对数形式出现的， 因此对流量的影响不大。如井径增大1倍，而 流量只增加10%；井径增大10倍，流量只增 加40%，但实际情况远非如此。
(三) 干扰井群的计算
1. 任意布置的干扰井群 承压水 假设有n口干扰井，其抽水量分别为Q1、Q2、…、 Qn，抽水达到稳定后，第j口抽水井单独抽水对任
一点i产生的降深为：sij

Qj
2T
ln
Rj rij
n口井抽水时i点产生的总降深为：
si

n
sij
j 1

nБайду номын сангаасQj
j1 2T