第二个线性变换中旧变量的个数，那么连续实行这
两个线性变换的结果（简称两个线性变换的乘积）
还是一个线性变换。如果用C=（Ckj）pxn代表线性 变换（2）与（4）的乘积变换的矩阵，
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那么C元素Ckj就是在Zk的表示式（5）中xi的
系数： Ckj = ∑bkiaij=bk1a1j+bk2a2j+......+bkmamj (k=1，2…，p；j=1,2...，n) 换句话说，矩阵c中位于第K行第j列的元素Ckj等 于矩阵B中第K行元素与矩阵A中第j列的对应元 素的乘积之和。
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C12=b11a12+b12a22+b13a32+b14a42 =1x1+0x1+3x0+(-1)x3 =-2 C13=b11a13+b12a23+b13a33+b14a43 =1x0+0x3+3x1+(-1)x4=-1 C21=...............................=9 C22=...............................=9 C23=...............................=11
9
二.矩阵的乘法
当在线性变换（2）之后施行线性变换即连 续施行两个线性变换：
Z1=b11y1+b12y2+……+b1mym Z2=b21y1+b22y2+……+b2mym …………… （4）
Zp=bp1y1+bp2y2+……+bpmym
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m
或
ZK= ∑bkiyi
i=1
(k=1, 2…, p)
(4’)
§1.4.4、线性代数及群论基础
§4.1. 线性代数基础选讲 §4.2. 群论基础 §4.3. 群论应用举例
1
§4.1. 线性代数基础选讲
什么是线性代数？
线性（ linear ），指量与量之间按比例、成 直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为 常数的函数；非线性 non-linear 则指不按比例、 不成直线的关系，一阶导数不为常数。 线性代数（ Linear Algebra ）是讨论矩阵理 论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变 换理论的一门学科。它的研究对象是向量，向 量空间（或称线性空间），线性变换和有限维 的线性方程组。
A = 1 2 3 4 是一个二级矩阵，
8
而行列式
1 3 2 4
之值等于-2，可以说矩阵A的行列式为-2，记作∣A∣=-2.
线性变换和它的矩阵是密切关联着的。它们之间存在一
一对应的关系。有线性变换（2）的系数唯一的确定一个m
行n列的矩阵A，反之，给定了一个m行n列的矩阵A，就有
唯一的一个以A为它的矩阵的线性变换（2）。
2
线性代数主要内容：
１、行列式 ２、矩阵（本课介绍） ３、向量组的相关性、矩阵的秩 ４、线性方程组 ５、相似矩阵与二次型
3
1.线性变换和线性变换的矩阵
在解析几何中，如图1把向量OP=(x，y)变为另一个向量 OP’=(x’，y’)或把点P (x，y)变为另一个点P’ (x’，y’)，即在 平面上绕原点O做角度α的旋转变换，此时新变量(x’，y’)与 旧变量的关系为： P’ (x’，y’) X’=X cos a + Y sin a Y α P (x，y) (1) Y’=-X sin a+ Y cos a 这种把新变量经由旧变量线性表出， 变量的这种代换通常称为线性变换。 O Z 图1
（3）的第i行第j列的元素，或矩阵（3）的（ij）元素。
通常用A代表矩阵（3），也可以把矩阵（3）记 作（aij）或（aij）m×n 或 A m×n ，特别如果 m = n， 则称（3）为n级方阵或n级矩阵。
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必须指出
从矩阵与行列式的记号外表来看，它们是很 类似的，但它们是两个完全不同的概念。一般 的说行列式是一个数量，只是为了方便，才把 它写成正方阵列外加两条垂直线的形状，至于 阵列，一般的说，它既不是数也不是一个函数， 而是有某些元素所排成的矩形阵列本身。 例如：
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例1.求矩阵
4 1 B= 0 3 -1 2 与 A= -1 2 1 0 1 1 0 3
2
1
0
3
1
4
的乘积BA。
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解：因为矩阵B是二行四列的，矩阵A是四 行三列的，所以乘积BA有意义，它是二行 三列的矩阵。其乘积：BA=C=（cij）2×3的 元素，据公式（6）有：
C11=b11a11+b12a21+b13a31+b14a41 =1x4+0x(-1)+3x2+(-1)x1=9
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所以
4 1 C=BA= 1 0 2 1 = 3 -1 0 2 0
-1 1 3
2 0 1 3 1 4
9 -2 -1
9 9 11
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定义3：两个矩阵
B =（bkj）pxm，A =（akj）mxn的乘积是指矩阵
C =（ckj）pxn
其中位于第k行第j列的元素Ckj等于矩阵B的第k 行元素与矩阵A的第j列的对应元素乘积之和，
它的对应矩阵是
b11 b12 … b1m b21 b22 … b2m ……………… bp1 bp2 ……bpm
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B=
把（2）中Y 1，Y2…Ym的表示式代入（4’）得到
m n n m
Zk=∑bki (∑ aijxj)= ∑(∑ bkiaij)xj
i=1 j=1 j=1 i=1
(5)Βιβλιοθήκη 因此，如果第一个线性变换中新变量的个数等于
4
X
2.线性变换定义
定义1 : 把新变量Y 1，Y2…Ym用旧变量 X 1，X2…Xn齐次线性表出的代换:
Y1=a11x1+a12x2+……+a1nxn Y2=a21x1+a22x2+……+a2nxn …… Ym=am1x1+am2x2+……+amnxn (2)
称为把变量X 1，X2…Xn换位新变量Y 1，Y2…Ym的线性变 换，其中aij（i =1,2…m; j = 1,2…n)是数。
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把线性变换（2）的系数aij按原有的相对位置 排成一个表就得一个m行n列的矩阵，称为线性变 换（2）的矩阵。
a11 a12 …… a1n a21 a22 …… a2n ........ am1 am2 …… amn
(3)
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定义2
mn个数所排成的m行n列的表（3）称为一个m行n列
的矩阵（简称m×n型矩阵），横的各排称为矩阵（3） 的行，而纵的排列称为矩阵（3）的列。Aij称为矩阵