圆知识点总结及归纳 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 2
第一讲 圆的方程 一、知识清单 （一）圆的定义及方程
定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)，半径：r
一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0)
圆心：－D2，－E2，
半径：12D2＋E2－4F
1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：
(x＋D2)2＋(y＋E2)2＝D2＋E2－4F4 ①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－D2，－E2)为圆心，12D2＋E2－4F为半径的圆； ②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－D2，y＝－E2，即只表示一个点(－D2，－E2)；③当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项.
3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
（二）点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： （1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. （2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. （3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)23
(三)直线与圆的位置关系 方法一：
方法二：
（四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 （五）圆的参数方程
（六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是： （1）B＝0； （2）A＝C≠0； （3）D2＋E2－4AF＞0. 2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （2）圆心在任一弦的中垂线上． （3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点
M(x，y)是线段AB的中点，则x＝122xx ，y＝122yy .
二、典例归纳 4
考点一：有关圆的标准方程的求法 【例1】 圆2220xaybmm的圆心是 ，半径是 .
【例2】 点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是( ) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
【例3】 圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
【例4】 圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为( ) A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
【变式1】已知圆的方程为12240xxyy，则圆心坐标为 【变式2】已知圆C与圆2211xy关于直线yx 对称，则圆C的方程为
【变式3】 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋y－732＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x－322＋(y－1)2＝1
【变式4】已知ABC的顶点坐标分别是1,5A，5,5B，6,2C，求ABC外接圆的方程.
方法总结： 5
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
考点二、有关圆的一般方程的求法 【例1】 若方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值范围是( ) A .14＜m＜1 B．m＜14或m＞1 C．m＜14 D．m＞1
【例2】 将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( ) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
【例3】 圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝0的距离为________． 【变式1】 已知点P是圆22:450Cxyxay上任意一点，P点关于直线
210xy的对称点也在圆C上，则实数a=
【变式2】 已知一个圆经过点3,1A、1,3B，且圆心在320xy上，求圆的方程.
【变式3】 平面直角坐标系中有0,1,2,1,3,4,1,2ABCD四点，这四点能否在同一个圆上为什么
【变式4】 如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切圆方程为________________．
方法总结： 1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D，E，F的方程组． 2．熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化
考点三、与圆有关的轨迹问题 【例1】 动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( ) A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16 C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
【例2】 方程225yx表示的曲线是（ ） A. 一条射线 B. 一个圆 C. 两条射线 D. 半个圆
【例3】 在ABC中，若点,CB的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是（ ） A. 223xy B. 224xy C. 2290xyy D. 2290xyx
【例4】 已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为12的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．
【变式1】 方程2111xy所表示的曲线是（ ） A. 一个圆 B. 两个圆 C. 一个半圆 D. 两个半圆
【变式2】 动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( ) A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16 C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16 【变式3】 如右图，过点M(－6,0)作圆C：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割线，交圆C于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹． 【变式4】 如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．
方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： （1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简． (2)定义法：根据直线、圆等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程． (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
考点四：与圆有关的最值问题 【例1】 已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________
【例2】 已知x，y满足x2＋y2＝1，则y－2x－1的最小值为________． 【例3】 已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是( ) A.95 B．1 C.45 D.135
【例4】已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________．
【变式1】 P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，则x2＋y2的最小值为________． 【变式2】 由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是( ) A．(－1,1) B．(0,2) C．(－2,0) D．(1,3)
【变式3】 已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．
【变式4】已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上． （1）求圆M的方程； （2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法 （1）形如u＝y－bx－a的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题 （2） 形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； （3）形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：dr （其中d为圆心到直线的距离）