t ）
tt
（
）
碰撞前后 A，B 系统平均分子动能差的变化量为：
（
）
’
’
tt
（
）
取微分形式： （
积分得：
）
（t t）
Ce （ t t ）t
其中，C、C1 为积分常量， C 因为：
Ce t Ce （ t t ）。
晦
所以
晦晦
C e−t
lim 晦 晦 0
t
由此可知，随时间的增长，A、B 系统的温度趋向于相同。 即能量会自发的由温度较高的系统向温度较低的系统转移。
解得： 碰撞前 vBx 的概率是：
所以是：
碰撞后，参与碰撞的 n 个 A 分子的平均动能为：
碰撞后，A 系统的总分子平均动能为：
’
t
t
同理，碰撞后，B 系统的总分子平均动能为：
’
t
t
碰撞时间为 ，碰撞后 A、B 系统的平均分子动能差：
’
’
t
t
t （
热力学第二定律的证明 证明思路:由速度分布方程入手，仅使用经典力学的相关定理，分析热力学系统界面处的分
子碰撞。推导两系统平均分子动能与时间的关系，进而得到温度与时间的关系。
一、速率分布方程的变形形式 速度分量的麦克斯韦分布函数：
晦
晦
(1.1)
晦
晦
(1.2)
晦
晦
(1.3)
已知平均分子动能与温度的关系:
晦 由能量按自由度均分定理可知:
即: 晦
带入 1.1、1.2、1.3 可得：
晦 (2)
(2.1)
(2.2)
(2.3)
二、热力学第二定律的证明 假设有相同分子构成的 A、B 两个热力学系统，温度分别为 TA、TB，且 A、B 内部均已
达到热力学平衡。
推导满足以下条件： 1、麦克斯韦速率分布方程成立 2、分子碰撞前后满足动能、动量守恒定律 3、A、B 系统被一理想界面隔开，该界面无厚度，不允许分子通过，但不影响分子碰撞 4、分子在界面处只发生两两碰撞 设在理想界面处参与碰撞的 A、B 分子数均为 n（条件 4），只考虑一个维度。 由条件 2 有：