因数和倍数奥数题荟萃
总体难度有点大，如果有兴趣可以试试！
1、某校举行数学竞赛，共有20道题。
评分标准规定，答对一题给 3 分，不答给1 分。
答错一题倒扣 1 分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？
2、有四个连续奇数的和是2008，则其中最小的一个奇数是 ______ 。
3、张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得 1 个苹果和 3 个橘子。
最后橘子分完了，苹果还剩下12个。
那么一共分给了 ______ _名小朋友。
4、小华同学为了在“希望杯”数学大赛中取得好成绩，自己做了四份训练题
（每份训练题满分为120分）。
他第一份训练题得了90 分，第二份训练题得了100 分，那么第三份训练题至少要得________ 分才能使四份训练题的平均成绩达到105 分。
5、三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.
6、自然数123456789 是质数，还是合数？为什么？
7、一个数用3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少？
8、一个两位数去除251，得到的余数是41. 求这个两位数。
9、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？
10、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13 小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
答案：
1、解：以一个学生得分情况为例。
如果他有m 题答对，就得3m 分，有n 题答错，则扣n 分，那么，这个学生未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m- n）分。
所以，这个学生得分总数为：
3m-n+（20-m-n）
=3m-n+20-m-n
=2m-2n+20 =2（m-n+10）
不管（m-n+10）是奇数还是偶数，则2（m-n+10）必然是偶数，即一个学生得分为偶数。
由此可见，不管有多少学生参赛，得分总和一定是偶数。
2、解：499。
2008÷4—3=499
3、解：6。
12÷（3 —1）=6（名）。
4、解：110。
当第四份训练题得满分即120 分时，对第三份训练题的得分要求最低，所以第三份训
练题至少要得105×4一（90+100+120）=110（分）。
5、解：∵ 210=2×3×5×7
∴可知这三个数是5、6和7。
6、解：123456789是合数。
因为它除了有约数 1 和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。
7、分析由题意可知，要求的数是3、4、5 的公倍数，且是最小的公倍数。
解：∵[ 3，4，5] =3× 4× 5=60，
∴用3、4、5 除都能整除的最小的数是60。
8、分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。
解：∵被除数÷除数=商⋯余数，
即被除数=除数×商+余数，
∴251=除数×商+41，
251-41=除数×商，
∴210=除数×商。
∵210=2×3×5×7，
∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70 大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。
9、解法1：∵相邻两个奇数相差2，
∴150是这个要求数的 2 倍。
∴这个数是150÷2=75
解法2：设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a≥1）. 则有
（2a+1）x- （2a-1）x=150，
2ax+x-2ax+x=150，
2x=150，
x=75。
∴这个要求的数是75。
10、分析根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。
解：顺水速度：208÷8=26（千米/ 小时）
逆水速度：208÷13=16（千米/ 小时）
船速：（26+16）÷2=21（千米/小时）
水速：（26-16）÷2=5（千米/小时）
答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时 5 千米
习题五
1•有100个自然数，它们的和是偶数•在这100个自餓数中，奇数的个数比偶数的个数多•问：这些数中至多有多少个偶数？
2•有一串数，最前面的四个数依次是1、9、%、7•从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字•问；在这一串数中，会依次岀现X 9、8、8这四个数吗？
3•求证‘四个连续奇数的和一定杲8的倍数。
4.把任意6个整数分别填入右图屮的6个小力格内，试说明一定有一个矩形，它的四个角上四个水方格中的四个数之和为偶数。
5.如果两个人通一次电话，每人都记通话一次，在24小时以内，全世界通话次数是奇数的那些人的总数为—O
（A）必为奇数，（B）必为偶数，（C）可能是奇数，也可能是偶数。
6.-次宴会上，客人们相互握手•问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数。
7.有12张卡片，其中有3张上面写着1,有3张上面与着3,有3张上面写着5,有3张上面写着7•你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为20?为什么？
8.有10只杯子全部口朝下放在盘子里.你能否每次翻那只杯子，经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上？
9.电影厅每排有19个座位，共23排，要求每一视介都仅和它邻近（即前、后、左、右）一人交换位置•问：这种交换方袪是否可行？
10•由14个大小相同的方格组成下列图形（石图），请证明；不论怎样剪法，总不能把它剪成7个由两个相邻方格组成的长方形.
习题五解答
1.偶数至多有48个。
2.提示：先按规律写岀一些数来，再找其奇、偶性的擀列规律，便可得到答秦=不会依次岀现L、9、& 8这四个数。
3.设四个连续奇数是2n+ 1, 2n+3, 2n+ 5, 2n+7, n为整数，则它们的和是
C2n+1) + (2n+3) + (2n+ 5)+(2n + 7)
= 2n×4+16 = 8n+16=8 (n+2)。
所以，四个连续奇数的和是2的倍数。
4.证明2设填入数分别为①、S a r a r屯、*有
假设要证明的结论不成立，则有=
Y偶数工奇数，•••假设不成立，命题得证。
5.应选择CB).参考例3。
6.是偶数.参考例3。
了.不能.因为5个奇数的和为奇数，不可能等于20。
8. ⅛g.例如
第一次78910
第二次3456
第三次2345
第四次13 45
9.这种交换方法是帀可行的•参考例12。
10•利用黑白相间染色方袪可以证明；不可能剪成由7个相邻两个方格组成的檢方形，因为图形中一种颜色有8卷另一神颜色有6枱而每个相邻两个方格组成的长方形是一黑格一白怖7个这样的长方形知黑格7白格.与图形相才盾.。