第二章练习题(答案)一、单项选择题1. 已知连续型随机变量X 的分布函数为3.若函数f(x)是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是(C ) A. f(x)的定义域是[0, 1] B. f(x)的值域为[0,1]4.设X - N(l,l),密度函数为f(x),则有(C )5.设随机变量X ~ N (/M6), Y 〜N 仏25)，记 P1 = P (X <//-4), p 2 = P (Y> “ + 5), 则正确的是(A)对任意“，均有Pi = p 2 (B)对任意“，均有Pi v p?(c)对任意〃，均有Pl > Pi (D )只对“的个别值有P1 = P26.设随机变量x 〜N(10^s 2) 9 则随着s 的增加 P{|X- 10|< s} ( C )F(x) =o,kx+b 、 x<0 0 < x< x>则常数&和〃分别为 (A) k = —b = 0龙， (B) k = 0,b 丄 (C) k = —,b = 0 (D) k = 0,b= 1 n In In2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数(A ) z 7fl -cosx ； 2 0, f sinx,A. f(x)』沁,xnO C. f (x)= a (a>0);B. f (x)1, x < 0[cosx, — - < X < - 1 2 2 D. f (x) 其他 0, 0 < X < 7T 其他 —-< x < - 2 2 其他 C- f(x)非负D. f (x)在(-叫+00)内连续A. P {X <O }=P {X >O }B. f(x)= f(-x)C. p{x<l}=p{x>l} D ・ F(x) = l-F(-x)A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设片3与E（力分别为随机变量X、兀的分布函数，为使F（沪aF©—胡（力是某一随机变量的分布函数，在下列给定的多组数值中应取（A ）&设心与人是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为ft （力和f2（力，分布函数分别为川力和E （力，则（A）亡（力+負（力必为某个随机变量的概率密度；（B） f心）临（力必为某个随机变量的概率密度；（C）川力+£（力必为某个随机变量的分布函数；（D）FAx）吠（力必为某个随机变量的分布函数。

9.设连续随机变量X的密度函数满足f（x） = f（-x） , F（x）是X的分布函则P( XI > 2004)=(D )(A) 2-F(2004) ；(B) 2F(2004)-1 ； (C) l-2F(2004)；(D) 2[l-F(2004)].10.每次试验成功率为p（Ovpvl）,进行重复试验，直到第十次试验才取得4次成功的概率为(B )A、C^p4(l-p)6B、C^p4(l-p)6C、C^p4(l-p)5D、C；p“l-p)611-设随机变量x的概率密度为f（週严（弋GV+J则其分布函数F (x)是(B )(A) F (x) =■1 X .2e，X<(B) F (x)=J,x>0A|e\x<0l--e_x,x>022D.1 , -e\x<02 (D) F (x) =<l--e~x ,O<x<l2Lx>0 二、填空题1.设随机变量x 的概率密度为1 .a f(x) = — e 4 , -oo<x<oo 2五KY=aX + b 〜N(0,1) (a >0),贝(|a= —, b= 41 ・_ -----------0 x<-l2. 已知随机变量X 的分布函数F(x)=二"J,则X 的分布律为0.7 l<x<31 x>3X -1 1 3F 0.4 0.3 0.33. 设三次独立试验中，事件川出现的概率相等，如果已知力至少出现一 次的概率等于菩，则事件虫在一次试验中出现的概率为1/3・4. X 〜B(2, p),Y 〜B(4, p),已知 p{X^l} = |,则 p{Y>l} = go 1 三、计算题1.设连续型随机变量X 的分布函数为F(x)= A+Barctanx,-8VXV+00.求⑴ 常数虫和〃；(2) X 落入区间(71)的概率；(3)X 的概率密度f(x)(1) A=1/2,B=1/TT ; (2)1/2; (3) f(x)=i 宀 (-oo<x <oo)71 1+X 2、 1- —e"x (c) F (x) =r 2 ' l,x>0 x<00, x<-a, 2・设连续型随机变量无的分布函数为F(x) = < A+Barcsm-, -a<x<a,其中 a 1, x>a,a>0,求：(1)常数人 B\(2)P {|X |<^}； (3)概率密度 f (x)・(1) A=1/2,B=1/TT ; (2) 1/3; (3) f(x)二 n 傅二0,|x| > a3.若©〜U[0, 5],求方程x2+« x +l=0有实根的概率.求(1)系数 k ； (1) § 的分布函数；(3) Pfe<l},P{e = l}.P{l<^<2}.(2) Y=e-2X (3) Y=X ，的概率分布.6.设X 〜N (0, 1)求丫次的概率密度。

7•进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p,试求以下事件的概 率：(1)直到第「次才成功；(2) 第】次成功之前恰失败k 次；(3) 在D 次中取得r(l<r<n)次成功；(4) 直到第1】次才取得r(l<r <n)次成功。

解：(1) P = p(i-p)T (2) P = c ；；i_1P r d-P )k(3) P = c ；p r (i-P )M (4) P = c ：：p 「(i_p )円8•投掷“次均匀硬币，求出现正反面次数相等的概率。

解 若口为奇数，显然，出现正反面次数不可能相等，故所求概率为0; 若为偶数，“出现正反面次数相等”等价于“出现正反面次数各口/2次”，投掷n 次均匀硬币，可以看作伯努里概型，故这时概率为:[0, n 为奇数 ----- 2分故所求为：(c ：「2T, n 为偶数 12分 9•某科统考成绩近似服从4.设连续型随机变量歹的概率密度为f(x)=o;2:2 < < >- XXX <- 5-已知随机变量才的概率密度为f(x) = e"\x>0, a x<0-求随机变量(1) Y=2X,N(70, 102),在参加统考的人数中，及格者100人(及格分数为60分)，计算(1)不及格人数；(2)成绩前10名的人数在考生中所占的比例；(3)估计排名第10名考生的成绩。

解，设考生的统考成绩为X, X〜N(70, 1O2).设参加统考的人数为n, 则P{x^6O}=l-0(^^)=0 (1) =0.8413,—=0.8413.10 11(1)不及格人数占统考人数的15.87%,不及格人数为0.1587n^l9Ao ⑵ 前10名考生所占比例为更4%II(3)设第10 名考生成绩为X。

分,P{XMx。

}二0・ 08413, P{X<x o}=0. 91587 0(^)=0.91587,千尹=1.37, x0=83.7^84 分。

O x<- 110•离散型随机变量X的分布函数F(x)=(a，-1 S x VI,且P(x=2)= 1.-a, 1 < x<2la + b, x > 2求a,b及x的分布律.11•巴拿赫火柴盒问题：波兰数学家巴拿赫(Banach)随身带着两盒火柴,分别放在左右两个衣袋里，每盒各有Ji根火柴。

每次使用时，他随机地从其中一盒中取出一根。

试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下K根火柴的概率。

解：A：“取左衣袋盒中火柴”，B：“取右衣袋盒中火柴”。

P(A)=P(B)=l/2. 若Banach首次发现他左衣袋盒中火柴用完，这时事件A已经是第n+1次发生了，而此时他右衣袋盒中火柴恰好剩k根一相当于他在此前已在右衣袋中取走了n-k根火柴，即B发生了n-k次，即一共做了n-k+n+l=2n k+1次随机试验，其中A发生了n+1次，B发生了n-k次，在这2n-k+l次试验中，第2n—k+l次是A发生，前面的次试验中，A发生了n次，B发生了"k 次,这时概率为P(A)C人/P(A))n(P(B))n-k =ic?n_k(i)2n-k由对称性知，他右衣袋盒中火柴用完，而左衣袋盒中火柴恰好剩k根的概率也是扌C人亠匚所以，将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下k根火柴的概率为Cn /1、2n_k2n - °四.应用题1.某家电维修站保养本地区某品牌的600台电视机，已知每台电视机的故障率为0. 005 o(1)如果维修站有4名维修工，每台只需1人维修，求电视机能及时维修的概率。

(2)维修站需配备多少维修工，才能使及时维修的概率不少于96%。

解：设同一时刻发生故障的电视机台数为X, X~B(600, 0. 005),由于n很大，而P较小，可以利用泊松定理计算。

A=np=3,所以P{X^4}=l-0.1847=0. 8153 (査表)P{XWn} M0. 96,査表知n=6,即需配备6名维修工。

2•人寿保险问题：某单位有2500个职工参加某保险公司的人寿保险。

根据以前的统计资料，在1年内每个人死亡的概率为0.0001 o每个参保人1年付给保险公司120元保险费,而在死亡时其家属从保险公司领取20000元,求(不计利息)下列事件的概率。

(A)保险公司亏本。

(B)保险公司1年获利不少于十万元。

解：设这2500人中有k个人死亡。

则保险公司亏本当且仅当20000k>2500*120,即k>15.由二项概率公式知，1年中有k个人死亡的概率为C^soo (0. OOOl)k (0.9999)2500-k.k=0,l,2, ,2500所以，保险公司亏本的概率P(A)吃聲％° (0.0001)k (0・9999严007^0.000001 (由此可见保险公司亏本几乎不可能)保险公司1年获利不少于十万元等价于2500*120-20000k^ 1(^ 即k^lO保险公司1年获利不少于十万元的概率为P(B)=Sk=o C愿oo (0 0001)k (0.9999严^0.999993662 (由此可见保险公司1年获利不少于十万元几乎是必然的) 对保险公司来说，保险费收太少了，获利将减少，保险费收太多了，参保人数将减少，获利也将减少。