2015-2016学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请从A，B，C，D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分．）1．已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}2．已知函数，则的值是（）A．B．9 C．﹣9 D．﹣3．若非零向量，满足，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+e x B．C．D．5．函数f（x）=x﹣3+log3x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（3，4）D．（4，+∞）6．在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，若，点E为线段AD的中点，，则λ=（）A．B． C．D．7．函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|在（﹣∞，a]上取得最小值﹣1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．C．D．[2，+∞）8．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且，则不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（）A．B．C．D．9．如图，在等腰直角三角形ABC中，，D，E是线段BC上的点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．设函数，则满足f（f（a））=2f（a）的a取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分，请将答案写在答题卷上）11．= ．12．已知定义在R上的偶函数f（x），当x＞0时，f（x）=0.001x，则= ．13．已知不论a为何正实数，y=a x+2﹣3的图象恒过定点，则这个定点的坐标是．14．设向量不平行，向量与平行，则实数λ=．15．若方程|2x﹣1|=a有唯一实数解，则a的取值范围是．16．如图，定圆C的半径为4，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C 不共线，且对任意的t∈（0，+∞）恒成立，则= ．17．设非空集合S={x|m≤x≤l}对任意的x∈S，都有x2∈S，若，则l的取值范围．18．已知关于x的函数y=（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]⊆D，f （x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b﹣a的最大值= ．三、解答题（本大题有4小题，共36分，请将解答过程写在答题卷上）19．已知函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数，x∈[0，9]的值域为集合B，（1）求A∩B；（2）若C={x|3x＜2m﹣1}，且（A∩B）⊆C，求实数m的取值范围．20．已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且向量与向量反向，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ．21．已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．22．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0），若对任意实数x，不等式2x≤f（x）（x+1）2恒成立．（1）求f（1）的值；（2）求a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+2a|x﹣1|，x∈[﹣2，2]的最小值为﹣1，求a的值．2015-2016学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请从A，B，C，D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分．）1．已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用直接法求解，分别求出两个集合的交集与并集，观察两个集合的包含关系即可．【解答】解：M∩N={1，2，3}∩{2，3，4}={2，3}故选C．【点评】本题主要考查了集合的交集与子集的运算，属于容易题．2．已知函数，则的值是（）A．B．9 C．﹣9 D．﹣【考点】函数的值．【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵，∴f（）==﹣2，∴=3﹣2=．故答案为：．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3．若非零向量，满足，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】对两边平方求出数量积与模长的关系，代入夹角公式计算．【解答】解：设=t，则2t2+2=t2，∴=﹣，∴cos＜＞==﹣．∴＜＞=．故选D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，夹角计算，属于基础题．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+e x B．C．D．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先求函数的定义域，看是否关于原点对称，再计算f（﹣x）与±f（x）的关系，即可判断出奇偶性．【解答】解：A．其定义域为R，关于原点对称，但是f（﹣x）=﹣x+e﹣x≠±f（x），因此为非奇非偶函数；B．定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x），因此为奇函数；C．定义域为x∈R，关于原点对称，又f（﹣x）==﹣f（x），因此为奇函数；D．定义域为x∈R，关于原点对称，又f（﹣x）==f（x），因此为偶函数；故选：A．【点评】本题考查了函数的定义域求法、函数奇偶性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．函数f（x）=x﹣3+log3x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（3，4）D．（4，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】根据零点的性质，依次验证每个选项即可得解【解答】解：∵y1=x单调递增，y2=log3x单调递增∴f（x）=x﹣3+log3x单调递增又∵f（1）=1﹣3+0＜0，f（3）=3﹣3+1=1＞0∴当x∈（0，1）时，f（x）＜f（1）＜0，当x∈（3，4）或x∈（4，+∞）时，f（x）＞f（3）＞0∴函数f（x）=x﹣3+log3x的零点在（1，3）内故选B【点评】本题考查函数的零点，要求熟练掌握零点的性质．属简单题6．在△AB C中，已知D是BC延长线上一点，若，点E为线段AD的中点，，则λ=（）A．B． C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；数形结合；转化思想；平面向量及应用．【分析】由=， =，，，代入化简即可得出．【解答】解： =， =，，，代入可得： =+=+，与，比较，可得：λ=．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|在（﹣∞，a]上取得最小值﹣1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．C．D．[2，+∞）【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由零点分段法，我们可将函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|的解析式化为分段函数的形式，然后根据分段函数分段处理的原则，画出函数的图象，进而结合图象数形结合，可得实数a的集合【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|=，其函数图象如下图所示：由函数图象可得：函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|在（﹣∞，a]上取得最小值﹣1，当x≥3时，f（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣1，解得x=2+，当x＜3时，f（x）=x2﹣4x+3=﹣1，解得x=2，实数a须满足2≤a≤2+．故实数a的集合是[2，2+]．故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中根据分段函数图象分段画的原则，画出函数的图象是解答本题的关键．8．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且，则不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（）A．B．C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据条件可以得到f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且，f（x）为奇函数，便有f（﹣x）=﹣f（x），从而不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0可变成xf（x）＜0，从而可得到，或，根据f（x）的单调性便可解出这两个不等式组，从而便求出原不等式的解集．【解答】解：f（x）为奇函数，在（0，+∞）上为增函数；∴f（x）在（﹣∞，0）上为增函数；∵f（）=0，∴；由x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0得，2xf（x）＜0；∴xf（x）＜0；∴，或；即，或；根据f（x）的单调性解得，或；∴原不等式的解集为．故选：B．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，两个因式乘积的不等式转化成不等式组求解的方法，根据增函数的定义解不等式的方法．9．如图，在等腰直角三角形ABC中，，D，E是线段BC上的点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】函数思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】建立平面直角坐标系，设D（x，0）则E（x+，0），则可表示为关于x的函数，根据x的范围求出函数的值域．【解答】解：以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），设D（x，0），则E（x+，0），﹣1≤x≤．∴=（x，﹣1），=（x+，﹣1），∴=x2+x+1=（x+）2+．∴当x=﹣时，取得最小值，当x=﹣1或时，取得最大值．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是常用解题方法，属于中档题．10．设函数，则满足f（f（a））=2f（a）的a取值范围是（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式进行讨论进行求解即可．【解答】解：当a≥3时，f（f（a））=f（2a）=，所以a≥3符合题意；当时，f（a）=3a﹣1≥3，所以f（f（a））=f（3a﹣1）=23a﹣1=2f（a），所以符合题意；当时，f（a）=3a﹣1＜3，所以f（f（a））=f（3a﹣1）=9a﹣4=23a﹣1，结合图象知：只有当时符合题意；综上所述，a的取值范围为．故选：D【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据条件进行分类讨论是解决本题的关键．二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分，请将答案写在答题卷上）11．= 0 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数运算法则求解．【解答】解：==log21=0．故答案为：0．【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则的合理运用．12．已知定义在R上的偶函数f（x），当x＞0时，f（x）=0.001x，则= ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先由函数是偶函数得f（﹣x）=f（x），再利用x＞0时，f（x）=0.001x，即可求出．【解答】解：∵函数y=f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∵x＞0时，f（x）=0.001x，∴=f（）=．故答案为：．【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，以及将未知转化为已知的转化化归思想，是个基础题．13．已知不论a为何正实数，y=a x+2﹣3的图象恒过定点，则这个定点的坐标是（﹣2，﹣2）．【考点】指数函数的图象变换．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】令x+2=0，则由a0=1恒成立可得答案．【解答】解：令x+2=0，则x=﹣2，y=﹣2，故y=a x+2﹣3的图象恒过定点（﹣2，﹣2），故答案为：（﹣2，﹣2）【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，熟练掌握不论a为何正实数，a0=1恒成立，是解答的关键．14．设向量不平行，向量与平行，则实数λ=．【考点】平行向量与共线向量．【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据向量平行的共线定理，列出方程求出λ的值．【解答】解：∵向量与平行，∴存在μ∈R，使+λ=μ（3+2），∴，解得μ=，λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量共线定理的应用问题，是基础题目．15．若方程|2x﹣1|=a有唯一实数解，则a的取值范围是a≥1或a=0 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作函数y=|2x﹣1|的图象，从而结合图象讨论方程的根的个数即可．【解答】解：作函数y=|2x﹣1|的图象如下，，结合图象可知，当a=0时，方程|2x﹣1|=a有唯一实数解，当0＜a＜1时，方程|2x﹣1|=a有两个实数解，当a≥1时，方程|2x﹣1|=a有唯一实数解，故答案为：a≥1或a=0．【点评】本题考查了函数的图象与方程的根的关系应用及数形结合方法的应用．16．如图，定圆C的半径为4，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C 不共线，且对任意的t∈（0，+∞）恒成立，则= 16 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】函数思想；综合法；平面向量及应用．【分析】对=||两边平方，得到关于t的二次不等式在（0，+∞）上恒成立，讨论判别式和根的范围列出不等式解出．【解答】解：∵=||，∴﹣2t+t2≥﹣2+，∴8t2﹣t+﹣8≥0在（0，+∞）上恒成立，△=（）2﹣32（﹣8）=（﹣16）2≥0，若△=0， =16，则8t2﹣t+﹣8≥0在R上恒成立，符合题意；若△＞0，≠16，则8t2﹣t+﹣8=0的最大解x0=≤0．当＞16时，x0=≤0，解得=8（舍去）．当＜16时，x0=1，不符合题意．综上， =16．故答案为16．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数恒成立问题，属于中档题．17．设非空集合S={x|m≤x≤l}对任意的x∈S，都有x2∈S，若，则l的取值范围．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】计算题；转化思想；集合思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】由m的范围求得m2=∈S，再由题意列关于l的不等式组，解该不等式组即得l的范围．【解答】解：由m=﹣时，得m2=∈S，则，解得：≤l≤1；∴l的范围是[，1]．故答案为：．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，正确理解题意是关键，是基础题．18．已知关于x的函数y=（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]⊆D，f （x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b﹣a的最大值= ．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的单调性可得a=f（a），且b=f（b），故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的两个同号的实数根．由判别式大于0，容易求得t∈（﹣1，）．由韦达定理可得b﹣a==，利用二次函数的性质求得b﹣a的最大值．【解答】解：关于x的函数y=f（x）==（1﹣t）﹣的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且函数在（﹣∞，0）、（0，+∞）上都是增函数．故有a=f（a），且b=f（b），即 a=，b=．即 a2+（t﹣1）a+t2=0，且 b2+（t﹣1）b+t2=0，故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的两个同号的实数根．由判别式大于0，容易求得t∈（﹣1，）．而当t=0时，函数为y=1，不满足条件，故t∈（﹣1，）且t≠0．由韦达定理可得b﹣a==，故当t=﹣时，b﹣a取得最大值为，故答案为：．【点评】本题主要考查求函数的定义域，以及二次函数的性质，求函数的最值，属于中档题．三、解答题（本大题有4小题，共36分，请将解答过程写在答题卷上）19．已知函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数，x∈[0，9]的值域为集合B，（1）求A∩B；（2）若C={x|3x＜2m﹣1}，且（A∩B）⊆C，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】（1）由对数函数的定义域求出集合A，由函数，x∈[0，9]的值域求出集合B，则A∩B可求；（2）由集合C化为且（A∩B）⊆C得到不等式，求解不等式即可得到实数m的取值范围．【解答】解：（1）已知函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数，x∈[0，9]的值域为集合B，则A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|x＜﹣1或x＞2}∩{x|0≤x≤3}={x|2＜x≤3}；（2）∵且（A∩B）⊆C，∴，即m＞5．【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了函数的定义域及值域的求法，考查了交集及其运算，是中档题．20．已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且向量与向量反向，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）令，根据模长关系列方程解出λ；（2）将展开求出，代入夹角公式计算．【解答】解：（1）设∵∴，∴．（2）∵||=，，∴2=5， 2=．∵，∴22+3﹣22=+3=，∴．∴，∴．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，模长计算，属于基础题．21．已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．【专题】综合题；函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可；（2）根据函数单调性的定义判断其单调性，从而求出函数的最小值，求出m的范围．【解答】解：（1）在函数f（x）的定义域R上任取一自变量x因为=﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数；┅（3分）（2）当a＞1时，在[﹣1，1]上任取x1，x2，令x1＜x2，=，∵0≤x1＜x2≤1，∴f（x1）﹣f（x2）＜0所以函数f（x）在x∈[﹣1，1]时为增函数，┅（4分）当0＜a＜1时，同理可证函数f（x）在x∈[﹣1，1]时为增函数，，所以m≤1┅（3分）【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性、奇偶性问题，是一道基础题．22．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0），若对任意实数x，不等式2x≤f（x）（x+1）2恒成立．（1）求f（1）的值；（2）求a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+2a|x﹣1|，x∈[﹣2，2]的最小值为﹣1，求a的值．【考点】二次函数的性质．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）在给出的不等式中，令x=1，根据这个条件可求出f（1）的值；（2）联立f（1）=2，即可求出a+c与b的关系式．由f（x）﹣2x≥0恒成立，即：ax2+（b ﹣1）x+c≥0对于一切实数x恒成立，只有当a＞0，且△=（b﹣2）2﹣4a c≤0时，求得a=c＞0，再由f（x）（x+1）2恒成立，可得二次项系数小于0，判别式小于等于0，解不等式即可得到a的范围；（3）讨论当1≤x≤2时，当﹣2≤x＜1时，去掉绝对值，运用二次函数的对称轴和区间的关系，求得最小值，解方程可得a的值．【解答】解：（1）令x=1，由2x≤f（x）（x+1）2可得，2≤f（1）≤2，∴f（1）=2；（2）由f（1）=2可得a+b+c=2，即为b=2﹣（a+c），∵对于一切实数x，f（x）﹣2x≥0恒成立，∴ax2+（b﹣2）x+c≥0（a≠0）对于一切实数x恒成立，∴，即．可得（a﹣c）2≤0，但（a﹣c）2≥0，即有a=c＞0，则f（x）=ax2+bx+a，f（x）（x+1）2恒成立，即为（a﹣）x2+（b﹣1）x+（a﹣）≤0，可得a﹣＜0，且△=（b﹣1）2﹣4（a﹣）2≤0，由b﹣1=1﹣2a，即有△=0成立；综上可得a的范围是（0，）；（3）函数g（x）=f（x）+2a|x﹣1|=ax2+（2﹣2a）x+a+2a|x﹣1|（0＜a＜），当1≤x≤2时，g（x）=ax2+2x﹣a在[1，2]递增，可得x=1时，取得最小值2；当﹣2≤x＜1时，g（x）=ax2+（2﹣4a）x+3a，对称轴为x=，当≤﹣2，即为0＜a≤时，[﹣2，1）递增，可得x=﹣2取得最小值，且为4a﹣4+8a+3a=﹣1，解得a=；当＞﹣2，即＜a＜时，x=，取得最小值，且为=﹣1，解得a=∉（，）．综上可得，a=．【点评】此题考查的是二次函数解析式问题，题中还涉及了二次函数的性质、二次函数与不等式的联系，以及不等式恒成立问题的解法；抓住不等式恒成立的条件，考查二次函数最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，属于中档题．。