2019年海南省高考数学模拟试卷（理科）（十）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A． B．C．D．22．已知集合M={2，3，4，5}，N={x|sinx＞0}，则M∩N为（）A．{2，3，4，5}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3} 3．已知随机变量X服从正态分布N（a，4），且P（X＞1）=0.5，则实数a的值为（）A．1 B． C．2 D．44．设a，b为实数，则“ab＞1”是“b＞”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．若向量=（3，﹣1），=（2，1），且•=7，则等于（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或26．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．7．如图是一个算法的程序框图，当输入的x的值为7时，输出的y 值恰好是﹣1，则“？”处应填的关系式可能是（）A．y=2x+1 B．y=3﹣x C．y=|x| D．y=x8．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+19．如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（）A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x10．若tanα=lg（10a），tanβ=lga，且α﹣β=，则实数a的值为（）A．1 B． C．1或D．1或1011．已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R．若满足不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则实数a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＞﹣C．a≤﹣2 D．a＞﹣或a≤﹣212．定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=1，则方程f（x）﹣f′（x）=1的解所在区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2+b2=2c2，则C的最大角为．14．定义在R上的函数f（x）=，则不等式f（x）＜﹣的解集为．15．已知圆O：x2+y2=1与x轴负半轴的交点为A，P为直线3x+4y﹣a=0上一点，过P作圆O的切线，切点为T，若PT=2PT，则a的最大值为．16．设变量x，y满足约束条件，且目标函数z=2x+y的最大值为3，则k=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n }满足a 1=3，且a n +1﹣3a n =3n ，（n ∈N *），数列{b n }满足b n =3﹣n a n ．（1）求证：数列{b n }是等差数列；（2）设，求满足不等式的所有正整数n 的值．18．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，点E 在侧棱AA 1上，点F 在侧棱BB 1上，且AE=2，BF=． （I ） 求证：CF ⊥C 1E ；（II ） 求二面角E ﹣CF ﹣C 1的大小．19．某班同学利用五一节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）请补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；（2）在所得样本中，从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l 交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k=1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2+PB2的值与点P的位置无关，求k的值．21．已知函数f（x）=．其中a，b，c∈R．（1）若a=1，b=1，c=1，求f（x）的单调区间；（2）若b=c=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数a的取值范围；（3）若a＞0，b=0，c=1，若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：e＜f（x1）+f（x2）＜．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE 都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A． B．C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算性质、实部和虚部的定义即可得出．【解答】解：∵，∴2+2b=4﹣b，解得．故选：B．2．已知集合M={2，3，4，5}，N={x|sinx＞0}，则M∩N为（）A．{2，3，4，5}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3}【考点】交集及其运算．【分析】根据三角函数性质求出集合N，再与集合M进行交集运算即可．【解答】解：M={2，3，4，5}，N={x|sinx＞0}={x|2kπ＜x＜2kπ+π}，k∈Z，当k=0时，N=（0，π），当k=1时，N=（2π，3π），∴M∩N={2，3}，故选：D．3．已知随机变量X服从正态分布N（a，4），且P（X＞1）=0.5，则实数a的值为（）A．1 B． C．2 D．4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】画正态曲线图，由对称性得图象关于x=a对称且P（X＞a）=0.5，结合题意得到a的值．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（a，4），∴曲线关于x=a对称，且P（X＞a）=0.5，由P（X＞1）=0.5，可知μ=a=1．故选A．4．设a，b为实数，则“ab＞1”是“b＞”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：当a=﹣2，b=﹣3时，由“ab＞1”⇒是“b＞”不成立，同样a=﹣2，b=3时，由“b＞”⇒“ab＞1”也不成立，故“ab＞1”是“b＞”的既不充分也不必要条件，故选：D．5．若向量=（3，﹣1），=（2，1），且•=7，则等于（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把•化为•（+），求出•的值代入可得•的值．【解答】解：∵=+，∴•（+）=7，∴•+•=7∴•=7﹣•=7﹣（2，1）•（3，﹣1）=2故选B．6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选D．7．如图是一个算法的程序框图，当输入的x的值为7时，输出的y 值恰好是﹣1，则“？”处应填的关系式可能是（）A．y=2x+1 B．y=3﹣x C．y=|x| D．y=x【考点】程序框图．【分析】根据程序框图可知，程序运行时，列出数值x的变化情况，从而求出当x=﹣1时，输出的y的值为﹣1，比较各个选项从而选出答案即可．【解答】解：模拟执行程序，依题意，可得：x=7不满足条件x≤0，执行循环体，x=5不满足条件x≤0，执行循环体，x=3不满足条件x≤0，执行循环体，x=1不满足条件x≤0，执行循环体，x=﹣1满足条件x≤0，执行“？”处应填的关系式，可得y的值为﹣1，则函数关系式可能为y=2x+1．故选：A．8．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】根据已知的a n+1=3S n，当n大于等于2时得到a n=3S n﹣1，两者相减，根据S n﹣S n﹣1=a n，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n 大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，a n+1=3S n，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．【解答】解：由a n+1=3S n，得到a n=3S n﹣1（n≥2），两式相减得：a n+1﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，则a n+1=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A9．如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（）A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x【考点】抛物线的标准方程．【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．故选D．10．若tanα=lg（10a），tanβ=lga，且α﹣β=，则实数a的值为（）A．1 B． C．1或D．1或10【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由α﹣β=，展开两角差的正切，代入tanα=lg（10a），tanβ=lga，可得lg2a+lga=0，求解关于lga的一元二次方程得答案．【解答】解：∵α﹣β=，且tanα=lg（10a），tanβ=lga，∴，∴lga=0或lga=﹣1，即a=1或．故选：C．11．已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R．若满足不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则实数a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＞﹣C．a≤﹣2 D．a＞﹣或a≤﹣2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由f（x）≥g（x），得22x﹣1+a•2x≥b（1+a•2x），令t=2x，则t1=4是方程的解，从而，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），∴由f（x）≥g（x），得2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），即22x﹣1+a•2x≥b（1+a•2x），令t=2x，则，由题意知t1=4是方程的解．∴8+4a（1﹣b）﹣b=0，得，又t1•t2=﹣2b，∴，即0，解得或a≤﹣2．故选：D．12．定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=1，则方程f（x）﹣f′（x）=1的解所在区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=1，求出f（x）=lnx+1，则方程f（x）﹣f′（x）=1的解可转化成方程lnx﹣=0的解，根据零点存在定理即可判断．【解答】解：令f（x）﹣lnx=t，由函数f（x）单调可知t为正常数，则f（x）=t+lnx，且f（t）=1，即t+lnt=1，解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值，设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=1，即lnt+t=1，解得：t=1，则f（x）=lnx+1，f′（x）=，∴f（x）﹣f′（x）=lnx+1﹣=1，即lnx﹣=0，则方程f（x）﹣f′（x）=1的解可转化成方程lnx﹣=0的解，令h（x）=lnx﹣，而h（2）=ln2﹣＞0，h（1）=ln1﹣1＜0，∴方程lnx﹣=0的解所在区间为（1，2），∴方程f（x）﹣f′（x）=e的解所在区间为（1，2），故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2+b2=2c2，则C的最大角为．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形后代入并利用基本不等式求出cosC的最小值，即可确定出C的最大值．【解答】解：∵a2+b2=2c2，即c2=，∴由余弦定理得：cosC===≥=（当且仅当a=b时取等号），∴C的最大值为．故答案为：14．定义在R上的函数f（x）=，则不等式f（x）＜﹣的解集为．【考点】其他不等式的解法；分段函数的应用．【分析】当x≤1时，由不等式可得，由此求得x的范围；当x＞1时，由不等式可得|x﹣3|﹣1＜﹣，由此求得x的范围．再把以上两个x的范围取并集，即得所求．【解答】解：当x≤1时，，∴；当x＞1时，，∴不等式的解集为，故答案为：．15．已知圆O：x2+y2=1与x轴负半轴的交点为A，P为直线3x+4y﹣a=0上一点，过P作圆O的切线，切点为T，若PT=2PT，则a的最大值为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设P（x，y），由PA=2PT，把原题转化为直线3x+4y﹣a=0与圆有公共点，由此能求出a的最大值．【解答】解：设P（x，y），由PA=2PT，得（x+1）2+y2=4（x2+y2﹣1），化简得，转化为直线3x+4y﹣a=0与圆有公共点，所以，解得．∴a的最大值为．故答案为：．16．设变量x，y满足约束条件，且目标函数z=2x+y的最大值为3，则k=．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线y=﹣2x可得结论．【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影三角形），目标函数z=2x+y可化为y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x可知，当直线经过点A（k，2k）时，截距z取最大值3，∴2k+2k=3，解得k=，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}满足a1=3，且a n+1﹣3a n=3n，（n∈N*），数列{b n}满足b n=3﹣n a n．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）设，求满足不等式的所有正整数n的值．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【分析】（1）由b n=3﹣n a n得a n=3n b n，则a n+1=3n+1b n+1．由此入手，能够证明数列{b n}是等差数列；（2）因为数列{b n}是首项为b1=3﹣1a1=1，公差为等差数列，所以，a n=3n b n=（n+2）×3n﹣1．由此能手能够求出满足不等式的所有正整数n的值．【解答】（1）证明：由b n=3﹣n a n得a n=3n b n，则a n+1=3n+1b n+1．代入a n+1﹣3a n=3n中，得3n+1b n+1﹣3n+1b n=3n，即得．所以数列{b n}是等差数列．（2）解：因为数列{b n}是首项为b1=3﹣1a1=1，公差为等差数列，则，则a n=3n b n=（n+2）×3n﹣1．从而有，故．则，由，得．即3＜3n＜127，得1＜n≤4．故满足不等式的所有正整数n的值为2，3，4．18．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA上，点F在侧棱BB1上，且AE=2，BF=．（I）求证：CF⊥C1E；（II）求二面角E﹣CF﹣C1的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）欲证C1E⊥平面CEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证C1E与平面CEF内两相交直线垂直，根据勾股定理可知EF⊥C1E，C1E⊥CE，又EF∩CE=E，满足线面垂直的判定定理，最后根据线面垂直的性质可知CF⊥C1E；（II）根据勾股定理可知CF⊥EF，根据线面垂直的判定定理可知CF ⊥平面C1EF，而C1F⊂平面C1EF，则CF⊥C1F，从而∠EFC1即为二面角E ﹣CF ﹣C 1的平面角，在△C 1EF 是等腰直角三角形，求出此角即可．【解答】解：（I ）由已知可得CC 1=，CE=C 1F=，EF 2=AB 2+（AE ﹣BF ）2，EF=C 1E=，于是有EF 2+C 1E 2=C 1F 2，CE 2+C 1E 2=C 1C 2，所以EF ⊥C 1E ，C 1E ⊥CE ．又EF ∩CE=E ， 所以C 1E ⊥平面CEF由CF ⊂平面CEF ，故CF ⊥C 1E ； （II ）在△CEF 中，由（I ）可得EF=CF=，CE=，于是有EF 2+CF 2=CE 2，所以CF ⊥EF ，又由（I ）知CF ⊥C 1E ，且EF ∩C 1E=E ，所以CF ⊥平面C 1EF 又C 1F ⊂平面C 1EF ，故CF ⊥C 1F于是∠EFC 1即为二面角E ﹣CF ﹣C 1的平面角由（I ）知△C 1EF 是等腰直角三角形，所以∠EFC 1=45°，即所求二面角E ﹣CF ﹣C 1的大小为45°19．某班同学利用五一节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）请补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；（2）在所得样本中，从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由题意及统计图表，利用图表性质得第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，在有频率定义知高为，在有频率分布直方图会全图形即可；（II）由题意及（I）因为[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人，并且由题意分出随机变量X服从超几何分布，利用分布列定义可以求出分布列，并利用分布列求出期望．【解答】解：（Ⅰ）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为．频率直方图如下：第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，所以．由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以．第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．，，，．所以随机变量X的分布列为∴数学期望．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l 交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k=1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2+PB2的值与点P的位置无关，求k的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题设知a=2，e==，由此能求出a=2，b=1．（2）（i）由（1）得，椭圆C的方程为+y2=1．设点P（m，0）（﹣2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若k=1，则直线l的方程为y=x﹣m．联立直线l与椭圆C的方程，得x2﹣2mx+m2﹣1=0．|AB|=•，点O到直线l的距离d=，由此求出S△取得最大值1．OAB（ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣m）．将直线l与椭圆方程联立，得（1+4k2）x2﹣8mk2x+4（k2m2﹣1）=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出k的．【解答】（本小题满分16分）解：（1）由题设知a=2，e==，所以c=，故b2=4﹣3=1．因此，a=2，b=1．…（2）（i）由（1）可得，椭圆C的方程为+y2=1．设点P（m，0）（﹣2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若k=1，则直线l的方程为y=x﹣m．联立直线l与椭圆C的方程，即．将y消去，化简得x2﹣2mx+m2﹣1=0．解得x1=，x2=，从而有，x1+x2=，x1•x2=，而y1=x1﹣m，y2=x2﹣m，因此，|AB|===•=•，点O到直线l的距离d=，所以，S△OAB=×|AB|×d=×|m|，因此，S2△OAB=（5﹣m2）×m2≤•（）2=1．…又﹣2≤m≤2，即m2∈[0，4]．所以，当5﹣m2=m2，即m2=，m=±时，S△OAB取得最大值1．…（ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣m）．将直线l与椭圆C的方程联立，即．将y消去，化简得（1+4k2）x2﹣8mk2x+4（k2m2﹣1）=0，解得，x1+x2=，x1•x2=．…所以PA2+PB2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22=（x12+x22）﹣2m（x1+x2）+2m2+2=（*）．…因为PA2+PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，所以有﹣8k4﹣6k2+2=0，解得k=±．所以，k的值为±．…21．已知函数f（x）=．其中a，b，c∈R．（1）若a=1，b=1，c=1，求f（x）的单调区间；（2）若b=c=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数a的取值范围；（3）若a＞0，b=0，c=1，若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：e＜f（x1）+f（x2）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）若a=1，b=1，c=1，求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（2）若b=c=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，先确定a≥0，在分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数a的取值范围；（3）令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2=，再结合基本不等式，即可证明结论．【解答】（1）解：a=1，b=1，c=1，f′（x）=，∴0＜x＜1，f′（x）＜0，x＜0或x＞1时，f′（x）＞0，∴函数的单调减区间是（0，1），单调增区间是（﹣∞，0），（1，+∞）；（2）解：若b=c=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，则a≥0．a=0，f（x）=，f′（x）=≥0，∴f（x）min=f（0）=1；a＞0，f′（x）=，0＜a≤，f（x）min=f（0）=1；a≥，f（x）在[0，]上为减函数，在[[，+∞）上为增函数，f（x）min＜f（0）=1，不成立，综上所述，0≤a≤；（3）证明：f（x）=，f′（x）=．∵f（x）存在两个极值点x1，x2，∴4a2﹣4a＞0，∴a＞1．令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2=，f（x1）+f（x2）=＞e，∵＜＜，∴e＜f（x1）+f（x2）＜．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE 都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此==4；（2）根据切割线定理证出AB2=AD•AE，所以AC2=AD•AE，证出=，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【解答】解：（1）∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．因此△CGF∽△CDE，可得=，又∵CG=1，CD=4，∴=4；证明：（2）∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AC2=AD•AE，可得=，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠ADC=∠EGF，因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，∴，又直线过点（1，2），故结合t的几何意义得=，∴|PA|+|PB|的最小值为．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=，分类讨论，求得f （x）＞2的解集．（Ⅱ）由f（x）的解析式求得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，再根据f（﹣1）≥t2﹣，求得实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|=，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．。