D. 1 −
）
1−3
B.
5
−1−3
5
3.祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等
高处的水平截面的面积恒等，则这两几何体的体积相等.设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为
1 , 2 ，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为 1 , 2 ，则“ 1 = 2 恒成立”是
①若 // ， // ， // ，则 // ；②若 // ， // ， // ，则 // ；
③若 ⊥ ， ⊥ ， ⃗ ⊥ ⃗⃗ ，则 ⊥ ；④若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⃗ ⊥ ⃗⃗ .
其中真命题的序号是（
A. ①②
称轴，即可得出正确选项.
8.【答案】 B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】设 = , = ，
因为矩形的面积为 4 ，所以 = 4 ，
5 / 13
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
所以围成矩形 所需要的篱笆长度为
4
4


2 + = 2 + ≥ 2√2 ⋅ = 4√2 ，
22.设函数 () = cos ， () = 2 − 2 .

（1）当 ∈ [0, 3 ] 时，求 () 的值域；
′
()
（2）当 ∈ [0, +∞) 时，不等式 () ≥ 2
恒成立（ ′ () 是 () 的导函数），求实数 的取

值范围.
5
即解集为： [− 3 , −1) ∪ (4, +∞)
故选：A.
1
【分析】利用幂函数 = 2 的定义域 {| > 0} 和单调递增，列式，解不等式即可得出解集.
6.【答案】 B
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：①若 // ， // ， // ，则 ⊥ 或者 // ，也有可能是相交的；故
（1）若 = 30∘ ， = 75∘ ， √3 + √2 = 5 ，求 , 的长；
（2）若 + > 90∘ ，求证： < .
19.如图（1），在平面五边形 中，已知四边形 为正方形， 为正三角形.沿着 将
四边形 折起得到四棱锥 − ，使得平面 ⊥ 平面 ，设 在线段 上且满
）
B. ③④
7.函数 = 4 − 2 + 1 的图象大致为（
C. ②③
）
1 / 13
D. ③
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A.
B.
C.
D.
8.如图所示，矩形 ABCD 的边 AB 靠在墙 PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为 4，则围成矩
形 ABCD 所需要篱笆的（
3 / 13
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
规定：打分不低于90分的为优良级.
（1）①试估计该企业库存的100000件产品为优良级的概率；
②请估计该企业库存的100000件产品的平均得分.
（2）从该企业库存的100000件产品中随机抽取4件，请估计这4件产品的打分之和为350分的概率.
解：由祖暅原理知，若 1 ， 2 总相等，则 1 ， 2 相等成立，即充分性成立，
若 1 ， 2 相等，则只需要底面积和高相等即可，则 1 ， 2 不一定相等，即必要性不成立，
即“ 1 = 2 恒成立”是“ 1 = 2 ”的充分不必要条件.
故选：A.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可．
1−
1+2
+
6−2
5
=
(1−)(1−2)
5
+
6−2
5
=
−1−3
5
+
6−2
5
=1− .
故选：D.
【分析】根据复数的除法运算，化简即可.
3.【答案】 A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】根据祖暅原理，由“ 1 = 2 恒成立”可得到“ 1 = 2 ”，反之不一定.

10.如图为函数 = sin(2 − 3 ) 的图象， , , 为图象与 轴的三个交点， 为函数图象在 轴右
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ⋅ (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 的值为（
侧部分上的第一个最大值点，则 (
A. − 2
B. + 4
C. 2 − 2
7.【答案】 A
【考点】函数的图象
【解析】【解答】当 = 0 时， = 1 ，排除 ，
3
令 2 = ≥ 0 ， = 2 − + 1 ≥ 4 ，
1
3
1
当且仅当 = 2 ，即 || = √2 > 时， = 4 ，排除 选项.
2
2
故选：A.
【分析】观察选项中的图象，代入特殊值 = 0 时， = 1 ，排除 ，根据换元求二次函数最值和对
①错误，
②若 // ， // ， // ，则 // 或者异面，也有可能相交；故②错误，
③若 ⊥ ， ⊥ ， ⃗ ⊥ ⃗⃗ ，则 ⊥ ；故③正确，
④若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⃗ ⊥ ⃗⃗ ，故④正确，
故选：B.
【分析】根据线面和面面平行垂直的性质分别进行判断即可．
“ 1 = 2 ”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
4.将函数 = sin2 的图象向左平移

4
C. 充要条件
个单位长度后得到曲线 1 ，再将 1 上所有点的横坐标伸长到
原来的 2 倍得到曲线 2 ，则 2 的解析式为（
A. = sin
B. = cos
1
1
5
件产品中随机抽取1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行打分：1级或2级产品打100
分；3级或4级产品打90分；5级、6级、7级或8级产品打70分；其余产品打60分.现在有如下检测统计表：
等级 1 2 3
4
5
6
7
8
9 10
频数 10 90 100 200 200 100 100 100 70 30
）
D. 2 + 4
11.已知 > 1 ，若存在 ∈ [1, +∞) ，使不等式 3ln < ( + 1)ln 成立，则 的取值范围是（
5
B. (4 , +∞)
A. (1, +∞)
3
C. (2 , +∞)
）
D. (2, +∞)
2
2 + + , ≤ 0,
() = 2 − 1 .若 (−1) = (−3) ， (0) = 2 ，则函数 =
该四棱锥的外接球的体积为________.
16.顶角为 36∘ 的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观.如图所示， 是黄金
三角形， = ，作 ∠ 的平分线交 于点 ，易知 也是黄金三角形.若 = 1 ，
则 = ________；借助黄金三角形可计算 sin234∘ = ________.
足 = 2 ， 在线段 上且满足 = ， 为 的重心，如图（2）.
（1）求证： // 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.某大型企业生产的某批产品细分为10个等级，为了了解这批产品的等级分布情况，从仓库存放的100000
3
80
3
， 2 = log 3
27
3
< log 3
80
3
< log 3
81
3
=3 ，
√2
所以 2 < < 3 ， = 2 2 < 21 = 2 ， = 2log210 = 10 > 3 .
4.【答案】 B
【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换
4 / 13
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【解析】【解答】将函数 = sin2 的图象向左平移

4
个单位长度后,

得到曲线 1 ， 1 的解析式为 = sin[2( + 4 )] = cos2 ，
4
当且仅当 2 = , 即 = √2 时，等号成立.
故选：B.
【分析】设 = , = ，得到 = 4 ，所求的篱笆长度为 2 + ，根据基本不等Байду номын сангаас，得到最小
值.
9.【答案】 C
【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点
3
【解析】【解答】因为 = log 1 80 = log 3
( − 2), > 0,
[()] 在 (−∞, 2]( ∈ ) 上的零点之和为（ ）
12.已知函数 () = {3
A. 2 + 2
B. 22 + − 1
C. 22 + 3 + 1
二、填空题
2 / 13
D. 2 + 4 + 1
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
海南省天一大联考 2020 届高三数学第一次模拟考试试卷