等腰三角形 一、选择题 1． （2018•山东枣庄•3 分）如图是由 8 个全等的矩形组成的大正方形，线段 AB 的端点都 在小矩形的顶点上，如果点 P 是某个小矩形的顶点，连接 PA、PB，那么使△ABP 为等腰直角 三角形的点 P 的个数是（ ）

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论． 【解答】解：如图所示，使△ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是 3， 故选：B．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点 P 是解题的关键． 2 （2018•山东枣庄•3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为 D，AF 平分 ∠CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F．若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为（ ）

A． B． C． D． 【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分 线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出 答案． 【解答】解：过点 F 作 FG⊥AB 于点 G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF 平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF， ∵AF 平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG， ∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC，

∴=， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4，

∴=， ∵FC=FG， ∴=， 解得：FC= ， 即 CE ． 故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及 相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．

3. （2018•山东淄博•4 分）如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A，B，C 的距离分别为 3，4，5，则△ABC 的面积为（ ） A． B． D． 【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理． 【分析】将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得△BEA，根据旋转的性质得 BE=BP=4，AE=PC=5， ∠PBE=60°，则△BPE 为等边三角形，得到 PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP 中，AE=5，延 长 BP，作 AF⊥BP 于点 FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE 为直角三角形， 且∠APE=90°，即可得到∠APB 的度数，在直角△APF 中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长， 则在直角△ABF 中利用勾股定理求得 AB 的长，进而求得三角形 ABC 的面积． 【解答】解：∵△ABC 为等边三角形， ∴BA=BC， 可将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得△BEA，连 EP，且延长 BP，作 AF⊥BP 于点 F．如图，

∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°， ∴△BPE 为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠BPE=60°， 在△AEP 中，AE=5，AP=3，PE=4， ∴AE2=PE2+PA2， ∴△APE 为直角三角形，且∠APE=90°， ∴∠APB=90°+60°=150°． ∴∠APF=30°，

∴在直角△APF AP=，PF=AP=． ∴在直角△ABF ）2+（）2=25+12 ． 则△ABC •AB2=•（25+12 ． 故选：A． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前 后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距 离相等．

4. （2018•江苏扬州•3 分）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧做等腰 Rt△ABC 和等 腰 Rt△ADE，CD 与 BE、AE 分别交于点 P，M．对于下列结论： ①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．① C．①② D．②③ 【分析（1）由等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 三边份数关系可证；

（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD 即可；

（3）2CB2 转化为 AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证． 【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE ∴ ∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD 所以①正确 ∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD

∴ ∴MP•MD=MA•ME 所以②正确 ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD ∴P、E、D、A 四点共圆 ∴∠APD=∠EAD=90° ∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90° ∴△CAP∽△CMA ∴AC2=CP•CM ∵AC=AB ∴2CB2=CP•CM 所以③正确 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推 的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案． 5（2018·湖南省常德·3 分）如图，已知 BD 是△ABC 的角平分线，ED 是 BC 的垂直平分线， ∠BAC=90°，AD=3，则 CE 的长为（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理 求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答． 【解答】解：∵ED 是 BC 的垂直平分线， ∴DB=DC， ∴∠C=∠DBC， ∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°， ∴BD=2AD=6， ∴CE=CD×cos∠C=3， 故选：D． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上 的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

6. （2018·台湾·分）如图，锐角三角形 ABC 中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点 P， 使得∠BPC 与∠A 互补，其作法分别如下： （甲）以 A 为圆心，AC 长为半径画弧交 AB 于 P 点，则 P 即为所求； （乙）作过 B 点且与 AB 垂直的直线 l，作过 C 点且与 AC 垂直的直线，交 l 于 P 点，则 P 即 为所求 对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（ ）

A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【分析】甲：根据作图可得 AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知： ∠BPC+∠APC=180°，根据等量代换可作判断； 乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°． 【解答】解：甲：如图 1，∵AC=AP， ∴∠APC=∠ACP， ∵∠BPC+∠APC=180° ∴∠BPC+∠ACP=180°， ∴甲错误； 乙：如图 2，∵AB⊥PB，AC⊥PC， ∴∠ABP=∠ACP=90°， ∴∠BPC+∠A=180°， ∴乙正确， 故选：D．

【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题 意是解题的关键． 7．（2018•湖北荆门•3 分）如图，等腰 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 2，O 为 AB 的中点，P 为 AC 边上的动点，OQ⊥OP 交 BC 于点 Q，M 为 PQ 的中点，当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路线长为（ ）

A． B． C．1 D．2 【分析】连接 OC，作 PE⊥AB 于 E，MH⊥AB 于 H，QF⊥AB 于 F，如图，利用等腰直角三角形 的性质得 ，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明 Rt△AOP

≌△COQ 得到 AP=CQ，接着利用△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形得到 AP=CQ， QF= BQ，所以 BC=1，然后证明 MH 为梯形 PEFQ 的中位线得到 ，即可判定 点 M 到 AB ，从而得到点 M 的运动路线为△ABC 的中位线，最后利用三角形中位 线性质得到点 M 所经过的路线长． 【解答】解：连接 OC，作 PE⊥AB 于 E，MH⊥AB 于 H，QF⊥AB 于 F，如图， ∵△ACB 为到等腰直角三角形，

∴AC=BC=AB= ，∠A=∠B=45°， ∵O 为 AB 的中点， ∴OC⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1， ∴∠OCB=45°， ∵∠POQ=90°，∠COA=90°， ∴∠AOP=∠COQ， 在 Rt△AOP 和△COQ 中

， ∴Rt△AOP≌△COQ， ∴AP=CQ， 易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，