2 ⎨ ⎩2河北省衡水中学 2018 高三第一次模拟理科数学试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. 设全集为实数集 R ， Mx2， N x 1 x ，则图中阴影部分表示的集合是( )A ． {x -2 ≤ x < 1}B ． {x -2 ≤ x ≤ 2} C ． {x 1 < x ≤ 2}D ． {x x < 2}2. 设 a ∈ R , i 是虚数单位，则“ a = 1 ”是“a + i为纯虚数”的（ ）a - iA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3．若{a n } 是等差数列，首项 a 1 > 0, a 2011 + a 2012 > 0 ， a 2011 ⋅ a 2012 和 S n > 0 成立的最大正整数 n 是（）A ．2011B ．2012C ．4022D ．4023< 0 ，则使前 n 项 4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不超过 5 人”， 根据连续 7 天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）①平均数 x ≤ 3 ；②标准差 S ≤ 2 ；③平均数 x ≤ 3 且标准差 S ≤ 2 ； ④平均数 x ≤ 3 且极差小于或等于 2；⑤众数等于 1 且极差小于或等于 1。

A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤5. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，对角线 B 1D 与平面A 1BC 1 相交于点E ，则点 E 为△A 1BC 1 的（ ）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心⎧3x - y - 6 ≤ 0, 6.设 x , y 满足约束条件 ⎪x - y + 2 ≥ 0, ⎪x , y ≥ 0, a 2 + b 2 的最小值是（ ）若目标函数 z = ax + b y (a , b > 0) 的最大值是 12，则A. 6 13B. 36 5C. 6 5D. 36137.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 （ ）A ．16B ．4C ．8D ．2 8．已知函数 f ( x ) = 2 s in(x +) (ω > 0, -π < ϕ < π) 图像的一部分（如图所示），则ω 与ϕ 的值分别为（ ）A ． 11 , -5π B ． 1, - 2π C ． 7 , - π D ． 10 6 4 , - π 5 33 10 6 9. 双曲线 C 的左右焦点分别为 F 1, F 2 ,且 F 恰为抛物线 y 2= 4x 的焦点,设双 曲线C 与该抛物线的一个交点为 A ,若 ∆AF 1F 2 是以 AF 1 为底边的等腰三角形, 则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．1 +C ．1 +D ． 2 + 10. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数 x 1, x 2 ，不等式2 3 31线 3 x 1 f (x 1 ) + x 2 f (x 2 ) < x 1 f (x 2 ) + x 2 f (x 1 ) 恒成立，则不等式 f (1 - x ) < 0 的解集为()A. (-∞,0)B. (0,+∞)C. (-∞,1)D. (1,+∞)11. 已知圆的方程 x 2 + y 2 = 4 ，若抛物线过点 A (0，－1)，B (0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( ) x 2 y 2 x 2 y2 A.3 ＋4 ＝1(y ≠0) B. 4 ＋ 3 ＝1(y ≠0) x 2 y 2 x 2 y 2C. 3 ＋ 4 ＝1(x ≠0)D. 4 ＋ 3＝1 (x ≠0) 12. 设 f (x ) 是定义在R 上的函数，若 f (0) = 2008 ，且对任意 x ∈ R ，满足f (x + 2) - f (x ) ≤ 3⋅ 2x ， f (x + 6) - f (x ) ≥ 63⋅ 2x ，则 f (2008) =（） A. 22006 + 2007 B ． 22008 + 2006 C ． 22008 + 2007 D ． 22006 + 2008二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 在区间[－6，6]，内任取一个元素 x O ，若抛物线 y=x 2 在 x=x o 处的切线的倾角为，则⎡ 3⎤∈ ⎢ , ⎥ 的概率为 。

⎣ 4 4 ⎦14. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S 的值是 15. 在 ∆ABC 中， P 是 BC 边中点，角 A ， B ， C 的对边分别是a， b ， c ， 若 + + =， 则∆ABC 的 形 状 为 。

c AC aPA bPB 0 16. 在 x 轴的正方向上，从左向右依次取点列 {A j }, j = 1,2, ，以及在第一象限内的抛物 y 2 = 3x 上从左向右依次取点列2{B k }, k = 1,2, ，使 ∆A k -1B k A k （ k = 1,2, ）都是等边三角形，其中 A 0是坐标原点，则第 2005 个等边三角形的边长是。

三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17．（本小题满分 12 分）在 △ ABC 中 ， a , b , c 是 角 m • n = ( + 2)ab .（1）求角C ； A , B , C 对 应 的 边 ， 向 量 m = (a + b , c ) , n = (a + b ,-c )， 且 （2）函数 f (x ) = 2 sin( A + B ) cos 2 (x ) - cos( A + B ) sin(2x ) - 1 > 0）的相邻两个极值的横 （ 2坐标分别为 x 0 - 2、 x 0 ，求 f (x ) 的单调递减区间.18.（本小题满分 12 分）已知四边形 ABCD 满足 AD / / B C , BA = AD = DC = 1BC = a ，E 是 BC 的中点，将△BAE2沿 AE 翻折成 ∆B 1 AE , 使面B 1 AE ⊥ 面AECD ，F 为 B 1D 的中点.（1） 求四棱锥 B 1 - AECD 的体积；3 （2） 证明： B 1E / /面ACF ；（3） 求面 ADB 1与面ECB 1 所成锐二面角的余弦值.19.（本小题满分 12 分）现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性， 约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. （1） 求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； （2） 求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （3） 用 X ，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 ξ＝|X －Y |，求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 Eξ. 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x ) 是定义在[-e , 0) ⋃(0, e ] 上的奇函数,当 x ∈(0, e ]时, 是自然界对数的底, a ∈ R )（1） 求 f (x ) 的解析式; f (x ) = ax + ln x (其中 e（2） 设 g (x ) =, ，求证：当 a = -1 时，且 x ∈[- e ,0) ， f (x ) > g (x ) + 1 恒成立； 2（3）是否存在实数 a ，使得当 x ∈[-e , 0) 时， f (x ) 的最小值是 3 ？如果存在，求出实数 a的值；如果不存在，请说明理由。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用 2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.21. （本小题满分 10 分） 选修 4—1：几何证明选讲已知 PQ 与圆 O 相切于点 A ，直线 PBC 交圆于 B 、C 两点，D 是圆上一点，且 AB ∥CD ，DC 的延长线交 PQ 于点 Q（1） 求证： AC 2 = CQ ⋅ AB（2） 若 AQ=2AP ，AB= ,BP=2，求 QD.22．(本小题满分 10 分) 选修 4—4：坐标系与参数方程ln xx⎩+)2在平面直角坐标系中，曲线 C 1 的参数方程为 ⎧x = a c os⎨y = b s in （a ＞b ＞0，为参数），以 Ο为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线 C 1 上的点 M (2,3) 对应的参数= ， =3与曲线 C 2 交于点 D ( 42, )4（1）求曲线 C 1，C 2 的方程；11（2）A （ρ1，θ），Β（ρ2，θ+ ）是曲线 C 1 上的两点，求123．(本小题满分 l0 分) 选修 4—5：不等式选讲2 的值。

2已知关于 x 的不等式| 2x +1| - | x -1|≤ log 2 a （其中 a > 0 ）．（1） 当 a = 4 时，求不等式的解集； （2） 若不等式有解，求实数 a 的取值范围数学（理科）答案一、选择题 （A ）卷 CACDD DBABC CC （B ）CCADD BDACB CC 二、填空题 13、1114 、 -115、等边三角形 16. 2005122三、解答题17、解:（1）因为 m = (a + b ,c ), n = (a + b ,-c ), m ⋅ n = (+ 2)ab ，所以a 2 + b 2 - c 2=3ab ，故cos C = 32 , 0 < C <,∴C = 6. ------------ 5 分（2） f (x ) = 2 sin(A + B ) cos 2 (x ) - cos(A + B ) sin(2x ) - 12= 2 sin C cos 2 (x ) + cos C sin(2x ) - 12= cos 2 (x ) + 3 sin(2x ) - 12 2 = sin(2x + ------------------------8 分) 6因为相邻两个极值的横坐标分别为 x 0 - 2、 x 0 ，所以f (x ) 的最小正周期为T =,= 1所以f (x ) = sin(2x +--------------------10 分 6由 2k + < 2x + < 2k + 3, k ∈ Z2 6 2所以 f (x ) 的单调递减区间为[k + , k + 2], k ∈ Z .----------------- 12 分6 3 18、解:（1）取 AE 的中点 M ，连结 B M ，因为1，△ABE 为等边三角形，1BA=AD=DC= BC=a 2则 B 1M= 3a ，又因为面 B 1AE ⊥面 AECD ，所以 B 1M ⊥面 AECD ， 2所 以 V= 1 ⨯ 3 a ⨯ a ⨯ a ⨯ sin = a 2 3 4---------4 分 （2）连结 ED 交 AC 于 O ，连结 OF ，因为 AECD 为菱形，OE=OD 所以 FO ∥B 1E ， 所以 B 1E / /面ACF 。