数量关系一、数量思维1.选项关联：不是填空题注意观察选项之间的倍数关系。

2.代入排除：应用范围：多位数范围、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问题、复杂行程问题和差倍比问题,优先代入整数选项。

3.整除思想：必须将题目式子转化成 A ＝B ×C 两两相乘的形式整除判定法则：①拆分法517＝470＋47；②因式分解 6＝2×3 ；③常用的 2、3、5、7、11和13 整除判定法则。

4.特值思想：数字特值：题目没具体数字，只有相互比例关系等，常用于计算题、浓度问题、工程问题或行程问题。

数字特值计算题优先考虑-1，0，1，工程与行程等问题优先考虑最小公倍。

图形特值：比如特殊的长方形——正方形。

5.奇偶特性：题目中出现平均、总和、差，尤其是不定方程的时候 奇偶判定：①加减运算：同奇同偶比得偶，一奇一偶只能奇；②乘除运算：一偶就是偶，双奇才是奇。

二、基础代数公式和方法1.基础代数公式：完全平方：（a ±b)2＝a 2±2ab ＋b 2平方差： a 2－b 2＝（a ＋b ）×（a －b ） 完全立方：（a ±b)3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b3立方和差： a 3±b 3＝（a ±b)(a 2ab ＋b 2)阶乘： a m×a n＝am ＋na m ÷a n ＝a m －n (a m )n ＝a mn (ab)n ＝a n ×b n2.常用方法：公式法（记住常用的公式） 因子法（整除特性结合）放缩法（用于判定计算的整数部分）n1-n 32＝1n!）（⨯⋯⨯⨯⨯构造法 特值法三、等差数列1.n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，d 为公差，s n 为等差数列前n 项的和 通项公式：a n ＝a 1＋（n －1）d求和公式：s n ＝ ＝na 1+ n(n-1)d项数公式：n ＝ ＋1等差中项：2A ＝a ＋b （若a 、A 、b 成等差数列） 2.若m+n ＝k+i ，则：a m +a n ＝a k +a i3.前n 个奇数：1，3，5，7，9，…（2n —1）之和为n 2四、等比数列1.n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，q 为公比，s n 为等差数列前n 项的和 通项公式：a n ＝a 1qn －1求和公式：s n ＝ （q ≠1）等比公式：G 2＝ab （若a 、G 、b 成等比数列）2.若m+n ＝p+q ，则：a m ×a n ＝a p ×a q3.a m -a n ＝(m-n)d ＝q(m-n)五、周期问题一周7天，5个工作日。

一年平均365天（52周+1天），闰年366天（52周+2天）。

心竺提醒：闰年：四年一闰，百年不闰，四百年再闰。

平年365天，365÷7＝52…1 大月31天，小月30天，平月（2月）28或29天。

212)(1n a a n +⨯da a n 1-qq a n -11 ·1）－（nma a心竺提醒：星期每7天一循环；“隔N 天”指的是“每（N+1)天”。

循环周期问题：若一串实物以T 为周期，且A ÷T ＝N …a ，那么第A 项等同于第a 项。

六、行程问题1.平均速度型：平均速度＝ （心竺提醒：常由于上下坡题型）；路程＝速度×时间；平均速度＝总路程÷总时间2.相遇追及型：相遇问题：相遇距离＝（大速度＋小速度）×相遇时间 追及问题：追击距离＝（大速度-小速度）×追及时间 背离问题：背离距离＝（大速度＋小速度）×背离时间3.环形运动型：反向运动：环形周长＝（大速度＋小速度）×相遇时间 同向运动：环形周长＝（大速度-小速度）×相遇时间 4.流水行船型：顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速-水速 顺流行程＝顺流速度×顺流时间＝（船速＋水速）×顺流时间 逆流行程＝逆流速度×逆流时间＝（船速-水速）×逆流时间 船速=（顺水速度＋逆水速度）÷2水速=（顺水速度-逆水速度）÷25.火车过桥型：列车在桥上的时间＝（桥长-车长）÷列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度 列车速度＝（桥长＋车长）÷过桥时间6.扶梯上下型：扶梯总长＝人走的阶数×（1± ），（顺行用加、逆行用减）7.电梯问题：同向运动：S ＝（V 人＋V 电梯）×T21212v v v v +人梯u u反向运动：S ＝（V 人-V 电梯）×T 8.队伍行进型：对头→队尾：队伍长度＝（u 人+u 队）×时间 队尾→对头：队伍长度＝（u 人－u 队）×时间 9.典型行程模型：等距离平均速度： （U 1、U 2分别代表往、返速度）等发车前后过车：核心公式： ； 等间距同向反向：两岸相遇：单岸型： ；两岸型： （s 表示两岸距离）无动力顺水漂流：漂流所需时间＝ （其中t 顺和t 逆分别代表船顺流所需时间和逆流所需时间）10.多次相遇型：1.钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的 ，分针每小时可追及 ；2.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180o为 22次；3.钟表一圈分成12格，时针每小时转一格（300），分针每小时转12格（3600）； 4.时针一昼夜转两圈（7200），1小时转圈 （300）；分针一昼夜转24圈，1小时转1圈； 5.钟面上每两格之间为300，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。

1211121121121212u u u u u +=1212t t t t u u -+=人车21212t t tt T +=2121u u u u t t -+=反同2321s s s +=213s s s -=顺逆顺逆tt t t -2追及公式： ，T 为追及时间、T 0为静态时间（假设时针不动，分针和时针达到条件要求的虚拟时间）。

八、工程问题1.基本公式：工作量＝工作效率×工作时间 工作效率＝工作量÷工作时间工作时间＝工作量÷工作效率 总工作量＝各分工作量之和 心竺提醒：在解决实际问题时，常设最小公倍数2.多人合作问题：设工作总量为特值（完成工作所需时间或工作效率的最小公倍数），求各自的效率或者时间，求题目所问。

3.轮流工作问题：计算每人的工作效率，得到一个周期的工作量。

做除法，看工作总量包含几个周期的工作量，还剩余多少工作量分析剩余工作量，得出最终答案。

九、溶液问题1.基本公式：溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量 溶液浓度＝溶质质量÷溶液质量溶液质量＝溶质质量÷溶液浓度 溶质质量＝溶液质量×溶液浓度2.浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M 、N ，交换质量L 后浓度都变成c %，则：N M N b M a c +⨯+⨯=%%% NM MNL +=3.混合稀释型：①溶液倒出比例为a 的溶液，再加入相同的溶质，则浓度为②溶液加入比例为a 的溶剂，在倒出相同的溶液，则浓度为 4.常用方法：十字交叉、不变量、比例、赋值、调和平均数。

5.反复操作型：先看第一次，抓住不变量。

十、容斥原理1.两集合标准型：总个数 — 两者都不满足的个数 ＝ 满足条件I 的个数 ＋ 满足条件II 的个数 — 两者都满足的个数原浓度次数⨯+)1(a 原浓度次数⨯+)11(aCB AC A C B B A C B A +---++CB A2.三集合标准: ＝3.三集和图标标数型：利用图形配合，标数解答 A①特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别；②特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形； B C③标数时，注意由中间向外标记。

4.三集和整体重复型：假设满足三个条件的元素分别为ABC ，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W ，其中：满足一个条件的元素数量为x ，满足两个条件的元素数量为y ，满足三个条件的元素数量为z ，可以得以下等式： ①W ＝x ＋y ＋z ②A ＋B ＋C ＝x ＋2y ＋3z十一、利润问题1.利润＝销售价（卖出价）－成本利润率＝ ＝ ＝ －1销售价＝成本×（1＋利润率） 成本＝ 2.利息＝本金×利率×时期 本金＝本利和÷（1+利率×时期）本利和＝本金＋利息＝本金×（1＋利率×时期）＝ 月利率＝年利率÷12 月利率×12＝年利率例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10.2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？ ∴2400×（1＋10.2％×36）＝2400×1.3672＝3281.28（元） 3.常用方法：方程、比例4.分段计算：水费电费、纳税金额、出租车乘车费等5.折扣十二、排列组合1.计算原理：分类——相加；分步——相乘2.排列、组合：CA BA CB CB A 期限利率）（本金+⨯1成本销售价成本利润成本销售价－成本＋利润率销售价1另外: C＝C ＝A ÷A ＝（规定 ＝1） 3.常用方法： 4.错位排列：一般都是停车位的问题，主要记3、4和5 5.环形模型： 6.隔板模型：题干特征：①n 个相同的元素； ②分给m 个不同对象； ③每个对象至少一个。

Cn-mnn C m n m nm n m m十三、概率问题十四、几何问题2223.平面图形的周长与面积公式：rn 180n πr（弧长）4.立体图形的表面积与体积公式：5.图形等比缩放型：一个几何图形，若其尺度变为原来的m 倍，则： ①所有对应角度不发生变化； ②所有对应长度变为原来的m 倍； ③所有对应面积变为原来的m 2倍；④所有对应体积变为原来的m 3倍。

6.一些特殊性质： ①三角形三边关系在一个三角形中，任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边； ②多边形内角和多边形内角和公式：n 边形内角和等于 。

7.常用方法：①平面几何：割补法、平移法。

②几何重构：数个数：整体涂－内部没涂＝至少一面涂； 挖部分：原体积－挖掉的体积； 长短线：勾股定理。

8.几何极限理论：①平面中：周长一定，面积越大越靠近圆。

②立体中：表面积一定，体积越大越靠近球。

十五、方程问题1.定方程：一个方程、一个未知量2.定方程组：特征：多个方程、多个未知量（未知量个数等于方程个数） 方法：带入消元，加减消元︒⨯-180)2(n3.不定方程：特征：一个方程、多个未知量；求某个未知量的值 方法：奇偶特性→因子分析→尾数判定→赋值验证 4.不定方程（组）：特征：多个方程、多个未知量（未知量的个数多余方程个数）；求一个整体的值 方法：整体分析法——凑整；赋 0法简化计算；数字特性法十六、不等式1.一元二次方程求根公式：ax 2+bx+c ＝a(x-x 1)(x-x 2)其中：x 1＝ ；x 2＝ （b 2-4ac ≥0）根与系数的关系：x 1+x 2＝- ， x 1·x 2＝2.3. 推广： nn 4.一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。