第六章 线性变换映射：,X Y ≠∅≠∅，如果有一个法则σ，它使得X 中每个元素α，在Y 中有唯一确定的元素β与之对应，则称σ为X 到Y 的一个映射，记作:X Y σ→，()σαβ=，β称为α在σ下的象，α称为β在σ下的原象。

注：()(),X στασατα=⇔∀∈=对。

变换：一个集合到自身的映射。

线性变换的定义与性质定义 设V 是数域F 上的线性空间，σ是V 的一个变换，如果满足条件：（1）()()()βσασβασV,α,β+=+∈∀； （2）()()k F,αV,k αk σασ∀∈∀∈=， 则称σ是V 上的线性变换或线性算子。

(1), (2)等价于条件：,,,k l F V αβ∀∈∈ ()()()σk αl βk σαl σβ+=+。

例：设σ：n nR R →，定义为()c αασ=，c 为常数。

-----数乘变换或位似变换。

c =0-----零变换，记为o 。

c =1-----恒等变换，记为ε。

例：设σ是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转θ角的变换 设()()(),,,TTx y x y ασα''==，则cos sin sin cos x x y y x y θθθθ'=-⎧⎨'=+⎩记cos sin sin cos A θθθθ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则()A σαα=是一个线性变换。

例：判断下列变换是否是线性变换 (1) ()()12323,,1,,TTa a a a a σ=; (2) ()()12323,,0,,TTa a a a a σ=;(3) ()()12312231,,2,,T Ta a a a a a a a σ=-+; (4) ()()2123123,,,,3TTa a a a a a σ=.线性变换的基本性质（1）()θθσ=； （2）()()ασασ-=-； （3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若s s αk αk αk β+++=Λ2211，则1122s s βk αk αk ασσσσ=+++L ；若θ=+++s s αk αk αk Λ2211，则θσσσ=+++s s αk αk αk Λ2211。

（4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。

线性变换的运算()V L ----线性空间V 上所有线性变换的集合。

定义 设()V L ∈τσ,，它们的和τσ+定义为()()()().,V ∈∀+=+αατασατσ易证()V L ∈+τσ，即线性变换的和仍是线性变换。

F l k V ∈∈∀,,,βα，有()()()()()()k l k l k l k l k l k l σταβσαβταβσασβτατβσταστβ++=+++=+++=+++定义 设()F k V L ∈∈,σ，k 与σ的数量乘法σk 定义为()()().,V k k ∈∀=αασασ同样().V L k ∈σ可以直接验证，(),,,,,F l k V L ∈∈∀ρτσ下列性质成立： （1） ()()ρτσρτσ++=++； （2）σττσ+=+；（3） σσ=+0； （4） ()0=-+σσ； （5） σσ=1； （6） ()()σσkl l k =； （7） ()σσσl k l k +=+； （8） ()τστσk k k +=+.定理 ()L V 对于上述定义的加法和数量乘法构成数域F 上的线性空间。

定义 设()V L ∈τσ,，定义线性变换的乘积στ为()()()().,V ∈∀=αατσαστ易证()V L ∈στ，且()F k V L ∈∈∀,,,ρτσ，变换的乘积还有如下性质： （1） ()()ρσττρσ=； （2） ()σρσρρτσ+=+； （3） ()τρσρρτσ+=+； （4） ()()()τστσστk k k ==； （5） εσσε=；（6）o o o σσ==.注：线性变换的乘法交换律和消去律不成立。

定义 设()V L ∈σ，如果存在()V L ∈τ，使得ετσστ==则称σ是可逆的，τ称为σ的逆变换。

(逆变换是唯一的。

)σ的逆变换记为1-σ，且()V L ∈-1σ.规定：01,k k σεσσσ-==，则()()1,,nkmnm nm mnkσσσσσσσ+--===注意：()kk k στστ≠。

定义：设()[]1n f x F x +∈，且()1110n n n n f x a x a x a x a --=++++L ，给定()L V σ∈，称()1110n n n n f a a a a σσσσε--=++++L 为线性变换σ的多项式。

显然()()f L V σ∈。

线性变换在一组基下的矩阵定理1 设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换，n ααα,,,21Λ是V 的一组基，则V 中任一向量α的像()ασ由基的像()()()n ασασασ,,,21Λ所完全确定。

设n ααα,,,21Λ是V 的一组基，则(),1,2,i i n σα=L 可由n ααα,,,21Λ线性表出，设()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n nn αa αa αa ασαa αa αa ασαa αa αa ασΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222112212211111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211记()()()()()n n ασασασααασ,,,,,,2121ΛΛ=，则有()()A n n αααααασ,,,,,,2121ΛΛ=称A 为线性变换σ在基n ααα,,,21Λ下的矩阵。

注1：A 不一定是可逆矩阵。

注2：()()()()()1212,,,,,,n n A A σααασασασα=⎡⎤⎣⎦L L 。

定理2 设线性变换σ在基n ααα,,,21Λ下的矩阵为A ，向量α和()ασ在这组基下的坐标分别是()Tn,x ,,x x x Λ21=和()Tn ,y ,,y y y Λ21=，则 y=Ax .证明：因为()12,,,n x αααα=L()()12,,,n y σαααα=L()()A n n αααααασ,,,,,,2121ΛΛ=()()()()121212,,,,,,,,,n n n x xAxσασααασαααααα∴==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=L L L即y=Ax .例 设线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵为123456789A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求σ在基321,,ααα下的矩阵B 。

例 设123,,ααα是3R 的一组基，σ是3R 的线性变换，且()()()132231,,σαασαασαα===，求σ在这组基下的矩阵；若α在123,,ααα下的坐标为()2,1,1T-，求()σα在这组基下的坐标。

线性变换与矩阵的一一对应关系引理 设n ααα,,,21Λ是n 维线性空间V 的一组基，则对任意给定的n 个向量n βββ,,,21Λ都存在线性变换σ，使得()(),n ,,i βασi i Λ21==。

证明：设γ是任一n 维向量，1122=n n c c c γααα+++L 定义一个变换σ为：()11221=nn n i i i c c c c σγββββ=+++=∑L则有()=,1,2,,i i i n σαβ=L 。

以下证明σ是一个线性变换。

设11221122=,=n n n n x x x y y y ααααβααα++++++L L ，则()()()()()111111n nn i i i i i i i i i i n n ni i i i i i i i i i x y x y x y x y σαβσαασαβββσασβ======⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=+∑∑∑∑∑∑()()1111n n i i i i i i nni i i i i i k k x kx kx k x k σασασαββσα====⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===∑∑∑∑定理1设n ααα,,,21Λ是n 维线性空间V 的一组基，()ij a A =是任一n 阶矩阵，则有唯一的线性变换σ满足 ()()A n n αααααασ,,,,,,2121ΛΛ=。

证明：构造向量如下：1122=,1,2,,j j j nj n a a a j n βααα+++=L L由引理，存在线性变换σ，使得()=,1,2,,i i i n σαβ=L ，于是()()()121212,,,,,,,,,n n n A σαααβββααα==L L L即存在线性变换σ在基n ααα,,,21Λ下的矩阵是A 。

如果有两个线性变换,στ在基n ααα,,,21Λ下的矩阵都是A 则()()()121212,,,,,,,,,n n n A σαααααατααα==L L L 即()(),1,2,,.i i i n σαταστ==⇒=L例 已知()()2121,2,1,3T TR αα=-=是的一组基，求(1)线性变换σ，使σ在这组基下的矩阵是1234⎛⎫⎪⎝⎭; (2) 求线性变换σ，使得()()()()121,0,0,1T Tσασα==。

定理2 设V 是F 上n 维线性空间，则L (V )与M n (F )同构。

证明：在V 中取一组基n ααα,,,21Λ，设,()L V στ∈，则 ()()1212,,,,,,n n A σαααααα=L L()()1212,,,,,,n n B ταααααα=L L定义映射:()n L V M ϕ→，使得()A ϕσ=。

易证ϕ是双射，且()()()()()()()()121212121212,,,,,,,,,,,,,,,,,,n n n n n n A B A B στααασαααταααααααααααα+=+=+=+L L L L L L即()()()ϕστϕσϕτ+=+。

对任意的k F ∈，有()()()()()121212,,,,,,,,,n n n k k A kA σααααααααα==L L L即()()k k ϕσϕσ=所以ϕ是同构映射，即L (V )与M n (F )同构。

例 设V 是数域F 上的n 维线性空间，证明由V 的全体线性变换组成的线性空间L (V )是n 2维的。

以二维线性空间为例，写出L (V )的一组基。

定理3 设()()F M V :L n →ϕ是同构映射，则对()V L σ,τ∈∀， ()()()τϕσϕστϕ=。

证明：设()(),A B ϕσϕτ==，则()()()()()()()()()()()121212121212,,,,,,,,,,,,,,,,,,n n n n n n B B A B AB σταααστααασααασααααααααα=====L L L L L L 即()()()τϕσϕστϕ=。