新人教版八年级数学竞赛教程附练习汇总（共15套）1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“－”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“－”号后,多项式的各项都要变号。

解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如：当n 为自然数时,()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；,是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987+++⨯= =⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

分析：不要求解方程组,我们可以把2x y +和53x y -看成整体,它们的值分别是3和-2,观察代数式,发现每一项都含有2x y +,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有2x y +和53x y -的式子,即可求出结果。

解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式,求得代数式的值是-6。

4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n,323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是10的倍数即可。

323233222222n n n n n n n n ++++-+-=+--=+-+=⨯-⨯3312211035222n n n n ()()对任意自然数n,103⨯n 和52⨯n 都是10的倍数。

∴-+-++323222n n n n 一定是10的倍数5、中考点拨：例1。

因式分解322x x x ()()---解：322x x x ()()---=-+-=-+322231x x x x x ()()()()说明：因式分解时,应先观察有没有公因式,若没有,看是否能通过变形转换得到。

例2．分解因式：412132q p p ()()-+-解：412132q p p ()()-+- =-+-=--+=--+412121211212213222q p p p q p p q pq ()()()[()]()()说明：在用提公因式法分解因式前,必须对原式进行变形得到公因式,同时一定要注意符号,提取公因式后,剩下的因式应注意化简。

题型展示：例1. 计算：200020012001200120002000⨯-⨯精析与解答：设2000=a ,则20011=+a∴⨯-⨯200020012001200120002000=+++-++=+⨯-+⨯=+⨯-=a a a a a a a a a a a a [()()]()()()()()()1000011110000110001110001110001100010说明：此题是一个有规律的大数字的运算,若直接计算,运算量必然很大。

其中2000、2001重复出现,又有200120001=+的特点,可通过设未知数,将复杂数字间的运算转化为代数式,再利用多项式的因式分解化简求值,从而简化计算。

例2. 已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式,求b 、c 的值。

分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式,求得公因式后可求b 、c,但比较麻烦。

注意到x bx c 2++是362542()x x ++及3428542x x x +++的因式。

因而也是-+++()3428542x x x 的因式,所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。

解： x bx c 2++是362542()x x ++及3428542x x x +++的公因式∴也是多项式3625342854242()()x x x x x ++-+++的二次因式而362534285142542422()()()x x x x x x x ++-+++=-+b 、c 为整数得：x bx c x x 2225++=-+∴=-=b c 25，说明：这是对原命题进行演绎推理后,转化为解多项式1428702x x -+,从而简便求得x bx c 2++。

例3. 设x 为整数,试判断1052+++x x x ()是质数还是合数,请说明理由。

解：1052+++x x x ()=+++=++52225()()()()x x x x xx x ++25，都是大于1的自然数∴++()()x x 25是合数说明：在大于1的正数中,除了1和这个数本身,还能被其它正整数整除的数叫合数。

只能被1和本身整除的数叫质数。

【实战模拟】1. 分解因式：（1）-+-41222332m n m n mn（2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）（3）a a b a b a ab b a ()()()-+---3222222. 计算：()()-+-221110的结果是（ ） A. 2100 B. -210 C. -2 D. -13. 已知x 、y 都是正整数,且x x y y y x ()()---=12,求x 、y 。

4. 证明：812797913--能被45整除。

5. 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()…,且当x =0时,求原式的值。

【试题答案】1. 分析与解答：（1）-+-41222332m n m n mn=--+226122mn mn m n ()（2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--=+---ax ax bx cx d n 132()（3）原式=-+---a a b a a b ab a b ()()()322222=--+-=--=-a a b a b a b a a b a b a a b ()[()]()()()22222333注意：结果多项因式要化简,同时要分解彻底。

2. B3. x x y y y x ()()---=12∴-+=()()x y x y 12x y 、是正整数∴12分解成1122634⨯⨯⨯，，又 x y -与x y +奇偶性相同,且x y x y -<+∴-=+=⎧⎨⎩∴==⎧⎨⎩x y x y x y 2642说明：求不定方程的整数解,经常运用因式分解来解决。

4. 证明： 812797913-- =--=--=⨯=⨯⨯=⨯333393135335345282726262624224()∴--812797913能被45整除5. 解：逐次分解：原式=++++++()()()()111121995x x x x x x …=++++=++++++==+()()()()()()()()11111111219953419951996x x x x x x x x x x x …………∴当x =0时,原式=12 、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来,就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式a ab b a b 2222±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±⋅+()()补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()()=++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时,有a b c abc 3333++=（2）当c =0时,欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点,熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后,方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值,解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此,正确掌握公式法因式分解,熟练灵活地运用它,对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。

再利用平方差公式进行分解,最后得到()()a b a b -++2,故选择B 。

说明：解这类题目时,一般先观察现有项的特征,通过添加项凑成符合公式的形式。

同时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +,求m 的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算,可假设另一个因式,再用待定系数法即可求出m 的值。

解：根据已知条件,设221322x x m x x ax b -+=+++()()则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()() 由此可得21112023a a b m b+=-+==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()由（1）得a =-1 把a =-1代入（2）,得b =12把b =12代入（3）,得m =123. 在几何题中的应用。