人寿保险是以人的生命为保险标的， 以被保险人在指定时期的生存或死亡作为保险金给付条 件。因此，被保险人的寿命分布状况，也就是被保险人能存活多久，他在各年龄段上的死亡 率有多大的是保险人所关心的问题。 从概率论和数理统计角度出发、根据大数定律原则，研究人的寿命概率分布和生存函数，建 立描述各年龄段死亡率的生命表来弥补生存函数的不足，从而形成较完善的生存（死亡）分 布理论。研究人类寿命的分布规律，讨论生命表构造情况是寿险精算学的基础。
Pr (30 X 60) S (30) S (60) Pr ( X 30) S (30)
(1
30 60 ) (1 ) 100 100 3 ； 30 7 1 100
3、寿命的密度函数 对分布函数求导，就得到密度函数： f(x ) 了某人在 x 岁死亡的可能性。 密度函数具有如下性质：
第一节 寿命与生存分布
寿险公司的承保对象是数以万计的保险人，如此众多的人的生存（死亡）率，必定存在着某 种统计规律，这就是所谓“大数法则”。寿险精算就是要利用这种大数法则，从概率论和数 理统计的角度来研究和揭示这些统计规律性，用以解决寿险精算中的实际问题。
一、寿命的分布函数、生存函数和密度函数 1、寿命的分布函数
x
105
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dx
x2
2 105
|105 0 52.5


0
x 2f(x ) dx

105
x2
0
105
dx
x3
3 105
|105 0 3675
D(X ) E(X 2 ) [E(X )]2 5512.5 52.52 918.75 。
二、剩余寿命 这里记 ( x) 为 x 岁的人， ( x) 还能继续存活的时间称为 ( x) 的剩余寿命，简记为 T ( x) 。 从统计分析的角度而言，剩余寿命是条件概率问题。对于寿险业务而言，最关注的是被保险 人投保之后的寿命分布规律，也就是说寿险精算学中主要研究剩余寿命的分布规律。 1、剩余寿命的分布函数 记 Fx (t ) 为 ( x) 的剩余寿命分布函数， 它表示 x 岁的人在将来的 t 年内去世的概率。 换言之， 它描述一个能够获到 x 岁的人活不过 x t 岁的概率。用概率可表示为：
第二章 生存分布理论
学习重点： 掌握生存函数及其相互关系、 了解三种常用非整数年存活函数估计方法和几个死 亡时间的解析分布、掌握生命表基本函数及其相互关系、了解生命表的编制方法及分类。
“如果算命先生能算出人的寿命，那么还要精算师干什么？” “既然‘天有不测风云、人有旦夕祸福’，那么精算师能算出人的寿命吗？” “算一个人的寿命‘不可能’，算一群人的寿命‘可能’”
Fx (t ) PT (T ( x) t ) Pr ( X x t | X x)
Pr ( x X x t ) S ( x) S ( x t ) Pr ( X x) S ( x)
为了区别于无条件寿命分布，这里引入国际通用精算符号，其中 Fx (t ) 记为 t q x 。此后，我 们用 t q x 表述已经活到 x 岁的人活不过 x t 岁的概率。特别地有， I、 II、 III、 IV、
一个人的寿命是从出生到死亡的时间长度， 它是无法事先确定的， 这在概率论中称为随机变 量，记为 X ( X 0) 。人的寿命总是有限的，假设人的寿命极限为 ，则 0 X 。 寿命随机变量 X 的分布函数为： F ( x) Pr ( X x) ， x 0
F ( x) 在统计中称为累积分布函数， 它的概率意义是随机变量 X 小于等于一个给定值 x 的概
X 表示一个0岁的人将来的寿命， F ( x) 可以理解为0岁的人在 x 之前死亡的概率。 率。 在此，
显然有： F (0) 0
， F () 1 。
2、寿命的生存函数
寿命随机变量 X 的生存函数为： S ( x) Pr ( X x) ， x 0 在此， X 表示一个0岁的人将来的寿命， S ( x) 可以理解为0岁的人能活过 x 岁的概率。或者 说一个人寿命大于 x 岁的概率。 生存函数与分布函数具有如下补函数关系： S ( x) Pr ( X x) 1 Pr ( X x) 1 F ( x) 显然有： S (0) 1
50 1 ) ； 100 2
II、 Pr ( X 80) S (80) 1
80 1 ； 100 5
III、 Pr (60 X 70) S (60) S (70) (1 IV、
60 70 1 ) (1 ) ； 100 100 10
Pr (60 X | X 30)
F '(x ) [1 S(x )]' S '(x )，它体现
dx F(x )； f(x ) dx S(x )； f ( x) 0 ； f(x )
0
x

x


0
dx E(X ) f(x ) dx 1 ； xf(x )
0

其中， E ( X ) 为人寿随机变量 X 的数学期望值，即平均寿命。同时可用 D( X ) 表示人类寿 命方差。由数理统计知识可知， D( X ) E ( X ) [ E ( X )] 。
2 2
【例2.2】假设某人群的生存函数为 S ( x) 1 差 D( X ) 。 解： f ( x) S ( x) '
x ， 0 x 105 ，求平均寿命 E ( X ) 及方 105
1 （密度函数为均匀分布）； 105
105
E(x )
E(x 2 )

105
0
xf(x ) dx
， S () 0 。
x ， 0 x 100 ，求； 100
【例2.1】假设某人群的生存函数为 S ( x) 1 I、一个新生婴儿活不到50岁的概率； II、一个新生婴儿的寿命超过80岁的概率； III、一个新生婴儿在60-70岁间死亡的概率； IV、一个活到30岁的人活不到60岁的概率； 解： I、 Pr ( X 50) F (50) 1 S (50) 1 (1